Pertidaksamaan nilai mutlak sering terlihat sederhana. Kita hanya melihat dua garis vertikal yang mengapit suatu bentuk aljabar, misalnya
$$\displaystyle |x-3|<5$$
Namun, apa sebenarnya arti dua garis tersebut?
Apakah kita cukup “menghilangkan” tanda nilai mutlak? Apakah tanda pertidaksamaan harus dibalik? Mengapa beberapa soal menghasilkan satu interval, sedangkan soal lain justru menghasilkan dua daerah yang terpisah?
Pertanyaan-pertanyaan tersebut menjadi jauh lebih mudah dijawab jika kita memahami satu gagasan penting:
Nilai mutlak sebenarnya berbicara tentang jarak.
Dari konsep sederhana inilah hampir seluruh aturan pertidaksamaan nilai mutlak dapat dipahami tanpa perlu menghafal terlalu banyak rumus.
Pada artikel ini kita akan mempelajari konsep tersebut secara bertahap, mulai dari pengertian dasar, sifat-sifat penting, cara menentukan himpunan penyelesaian, hingga berbagai contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak dari tingkat dasar sampai bentuk yang lebih menantang.
Mengapa Nilai Mutlak Berkaitan dengan Jarak?
Perhatikan bilangan \(5\) dan \(-5\).
Keduanya terletak pada sisi yang berbeda dari nol, tetapi jaraknya terhadap nol sama-sama \(5\) satuan.
Karena itu,
$$\displaystyle |5|=5$$
dan
$$\displaystyle |-5|=5$$
Secara umum,
$$\displaystyle |x|$$
menyatakan jarak bilangan \(x\) terhadap nol pada garis bilangan.
Karena jarak tidak mungkin negatif, selalu berlaku
$$\displaystyle |x|\geq0$$
Gagasan ini menjadi lebih menarik ketika bentuk di dalam nilai mutlak bukan hanya \(x\), tetapi misalnya
$$\displaystyle |x-3|$$
Bentuk tersebut bukan lagi menyatakan jarak \(x\) terhadap nol.
Sebaliknya,
$$\displaystyle |x-3|$$
menyatakan jarak bilangan \(x\) terhadap \(3\).
Misalnya,
$$\displaystyle |7-3|=4$$
karena jarak antara \(7\) dan \(3\) adalah \(4\) satuan.
Demikian juga,
$$\displaystyle |-1-3|=|-4|=4$$
Bilangan \(7\) dan \(-1\) ternyata memiliki jarak yang sama terhadap \(3\).
Inilah ide dasar yang nantinya membuat pertidaksamaan nilai mutlak menjadi jauh lebih mudah dipahami.
Dari Jarak Menjadi Pertidaksamaan
Sekarang perhatikan
$$\displaystyle |x-3|<5$$
Jika \(|x-3|\) berarti jarak \(x\) terhadap \(3\), maka pertidaksamaan tersebut dapat dibaca:
Jarak \(x\) terhadap \(3\) kurang dari \(5\) satuan.
Bayangkan titik \(3\) pada garis bilangan.
Jika kita bergerak sejauh \(5\) satuan ke kiri, kita sampai pada
$$\displaystyle 3-5=-2$$
Jika bergerak sejauh \(5\) satuan ke kanan, kita sampai pada
$$\displaystyle 3+5=8$$
Karena jarak \(x\) terhadap \(3\) harus kurang dari \(5\), maka \(x\) harus berada di antara \(-2\) dan \(8\).
Dengan demikian,
$$\displaystyle -2<x<8$$
Perhatikan bahwa kita tidak sedang menghafal rumus.
Kita hanya menerjemahkan jarak menjadi daerah pada garis bilangan.
Dari sinilah sifat-sifat pertidaksamaan nilai mutlak muncul.
Empat Bentuk Dasar Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Misalkan \(a>0\). Ada empat bentuk dasar yang perlu dipahami.
Bentuk \(|x|<a\)
Jika
$$\displaystyle |x|<a$$
artinya jarak \(x\) dari nol kurang dari \(a\).
Karena itu, \(x\) harus berada di antara \(-a\) dan \(a\).
Maka
$$\displaystyle -a<x<a$$
Sebagai contoh,
$$\displaystyle |x|<4$$
menghasilkan
$$\displaystyle -4<x<4$$
Bentuk \(|x|\leq a\)
Jika
$$\displaystyle |x|\leq a$$
artinya jarak \(x\) terhadap nol tidak lebih dari \(a\).
Dengan demikian,
$$\displaystyle -a\leq x\leq a$$
Contoh:
$$\displaystyle |x|\leq6$$
memberikan
$$\displaystyle -6\leq x\leq6$$
Perbedaan utama dengan tanda \(<\) adalah titik batas ikut menjadi bagian dari himpunan penyelesaian.
Bentuk \(|x|>a\)
Sekarang pola yang terjadi berbeda.
Jika
$$\displaystyle |x|>a$$
artinya jarak \(x\) terhadap nol lebih dari \(a\).
Berarti \(x\) harus berada jauh di sebelah kiri \(-a\) atau jauh di sebelah kanan \(a\).
Maka
$$\displaystyle x<-a$$ atau $$\displaystyle x>a$$
Sebagai contoh,
$$\displaystyle |x|>3$$
menghasilkan
$$\displaystyle x<-3$$ atau $$\displaystyle x>3$$
Di sinilah salah satu pola paling penting muncul:
Nilai mutlak “kurang dari” menghasilkan daerah di tengah, sedangkan nilai mutlak “lebih dari” menghasilkan daerah di luar.
Bentuk \(|x|\geq a\)
Jika
$$\displaystyle |x|\geq a$$
maka jarak \(x\) terhadap nol sedikitnya \(a\).
Dengan demikian,
$$\displaystyle x\leq-a$$
atau
$$\displaystyle x\geq a$$
Sebagai contoh,
$$\displaystyle |x|\geq7$$
menghasilkan
$$\displaystyle x\leq-7$$
atau
$$\displaystyle x\geq7$$
Pola yang Lebih Umum: \(|x-a|\)
Sekarang kita naik satu tingkat.
Perhatikan
$$\displaystyle |x-a|<r$$
Karena \(|x-a|\) menyatakan jarak \(x\) terhadap \(a\), pertidaksamaan tersebut berarti:
Jarak \(x\) terhadap \(a\) kurang dari \(r\).
Akibatnya,
$$\displaystyle a-r<x<a+r$$
Sebagai contoh,
$$\displaystyle |x-4|<3$$
berarti jarak \(x\) terhadap \(4\) kurang dari \(3\).
Batas kirinya adalah
$$\displaystyle 4-3=1$$
sedangkan batas kanannya adalah
$$\displaystyle 4+3=7$$
Jadi,
$$\displaystyle 1<x<7$$
Tanpa manipulasi aljabar panjang, kita sudah memperoleh jawabannya hanya dengan memahami makna jarak.
Mengapa Tanda Kurang Dari dan Lebih Dari Menghasilkan Daerah Berbeda?
Bagian ini sering membuat siswa keliru.
Bandingkan dua pertidaksamaan berikut:
$$\displaystyle |x-2|<4$$ dan $$\displaystyle |x-2|>4$$
Untuk pertidaksamaan pertama, kita mencari semua \(x\) yang jaraknya dari \(2\) kurang dari \(4\).
Maka \(x\) berada di sekitar \(2\).
Batasnya adalah
$$\displaystyle 2-4=-2$$
dan
$$\displaystyle 2+4=6$$
sehingga
$$\displaystyle -2<x<6$$ Namun, untuk $$\displaystyle |x-2|>4$$
kita mencari semua \(x\) yang jaraknya terhadap \(2\) lebih dari \(4\).
Artinya, \(x\) berada di luar interval tersebut.
Maka
$$\displaystyle x<-2$$ atau $$\displaystyle x>6$$
Jadi, perbedaan antara daerah di dalam dan di luar sebenarnya berasal langsung dari konsep jarak.
Rumus Dasar Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Untuk \(k>0\), berlaku beberapa sifat penting berikut.
Jika Tanda Pertidaksamaan Kurang Dari
Jika
$$\displaystyle |f(x)|<k$$
maka
$$\displaystyle -k<f(x)<k$$
Sedangkan jika
$$\displaystyle |f(x)|\leq k$$
maka
$$\displaystyle -k\leq f(x)\leq k$$
Jika Tanda Pertidaksamaan Lebih Dari
Jika
$$\displaystyle |f(x)|>k$$
maka
$$\displaystyle f(x)<-k$$ atau $$\displaystyle f(x)>k$$
Sedangkan jika
$$\displaystyle |f(x)|\geq k$$
maka
$$\displaystyle f(x)\leq-k$$
atau
$$\displaystyle f(x)\geq k$$
Namun, sebaiknya jangan hanya menghafal pola tersebut.
Ingat ide sederhananya:
- kurang dari → di antara dua batas;
- lebih dari → di luar dua batas.
Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Tidak semua soal dapat diselesaikan dengan satu cara.
Bentuk yang sederhana dapat langsung menggunakan sifat nilai mutlak. Sementara itu, bentuk yang lebih rumit mungkin membutuhkan pertidaksamaan kuadrat, analisis tanda, konsep jarak, atau pemisahan kasus.
Mari kita mulai dari bentuk yang paling dasar.
Contoh 1: Bentuk Dasar
Soal 1
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
$$\displaystyle |x-4|<7$$
Gunakan sifat
$$\displaystyle |f(x)|<a$$
yang menghasilkan
$$\displaystyle -a<f(x)<a$$
Maka
$$\displaystyle -7<x-4<7$$
Tambahkan \(4\) pada seluruh ruas.
$$\displaystyle -3<x<11$$
Himpunan penyelesaian:
$$\displaystyle -3<x<11$$
Contoh 2: Tanda Lebih Dari
Soal 2
Tentukan himpunan penyelesaian
$$\displaystyle |2x-3|>5$$
Karena tanda pertidaksamaannya \(>\), kita memperoleh dua kemungkinan.
Kemungkinan pertama,
$$\displaystyle 2x-3<-5$$
sehingga
$$\displaystyle 2x<-2$$
dan
$$\displaystyle x<-1$$ Untuk kemungkinan kedua, $$\displaystyle 2x-3>5$$
sehingga
$$\displaystyle 2x>8$$
dan
$$\displaystyle x>4$$
Himpunan penyelesaian:
$$\displaystyle x<-1\quad\text{atau}\quad x>4$$
Perhatikan bahwa jawabannya terdiri atas dua interval yang terpisah.
Contoh 3: Koefisien di Dalam Nilai Mutlak
Soal 3
Tentukan himpunan penyelesaian
$$\displaystyle |3x+2|\leq8$$
Karena tandanya \(\leq\), maka
$$\displaystyle -8\leq3x+2\leq8$$
Kurangi seluruh ruas dengan \(2\).
$$\displaystyle -10\leq3x\leq6$$
Bagi seluruh ruas dengan \(3\).
$$\displaystyle -\frac{10}{3}\leq x\leq2$$
Himpunan penyelesaian:
$$\displaystyle -\frac{10}{3}\leq x\leq2$$
Hati-Hati Saat Membagi dengan Bilangan Negatif
Salah satu kesalahan yang paling sering terjadi justru bukan pada konsep nilai mutlak, melainkan pada aturan dasar pertidaksamaan.
Perhatikan soal berikut.
Soal 4
Tentukan himpunan penyelesaian
$$\displaystyle |-2x+1|<5$$
Ubah terlebih dahulu ke bentuk pertidaksamaan rangkap.
$$\displaystyle -5<-2x+1<5$$
Kurangi seluruh ruas dengan \(1\).
$$\displaystyle -6<-2x<4$$
Sekarang seluruh ruas dibagi dengan \(-2\).
Karena kita membagi pertidaksamaan dengan bilangan negatif, arah tanda pertidaksamaan harus berubah.
Maka
$$\displaystyle 3>x>-2$$
Agar lebih mudah dibaca, tuliskan dalam urutan naik.
$$\displaystyle -2<x<3$$
Himpunan penyelesaian:
$$\displaystyle -2<x<3$$
Kesalahan membalik tanda ketika membagi dengan bilangan negatif merupakan salah satu kesalahan paling umum dalam menyelesaikan pertidaksamaan.
Bagaimana Jika Ruas Kanan Bernilai Negatif?
Sekarang muncul situasi yang menarik.
Bagaimana jika kita mempunyai
$$\displaystyle |x-2|<-3$$
Apakah tanda nilai mutlak harus langsung dibuka?
Tidak.
Ingat bahwa
$$\displaystyle |x-2|\geq0$$
untuk setiap bilangan real \(x\).
Nilai mutlak tidak pernah negatif. Oleh karena itu, mustahil suatu nilai yang selalu lebih besar atau sama dengan nol memenuhi
$$\displaystyle |x-2|<-3$$
Jadi, pertidaksamaan tersebut tidak memiliki penyelesaian.
Himpunan penyelesaian: ∅
Sekarang bandingkan dengan
$$\displaystyle |x-2|>-3$$
Karena nilai mutlak selalu tidak negatif, pertidaksamaan tersebut benar untuk setiap bilangan real.
Himpunan penyelesaian: ℝ
Dua pertidaksamaan tersebut tampak hampir sama, tetapi menghasilkan himpunan penyelesaian yang sangat berbeda.
Nilai Mutlak di Kedua Ruas
Bagaimana jika kita menghadapi
$$\displaystyle |x-1|<|x+3|$$
Kita tidak dapat langsung menggunakan pola pertidaksamaan rangkap karena ruas kanannya bukan konstanta positif.
Namun, konsep jarak kembali membantu.
Bentuk
$$\displaystyle |x-1|$$
menyatakan jarak \(x\) terhadap \(1\).
Sedangkan
$$\displaystyle |x+3|$$
menyatakan jarak \(x\) terhadap \(-3\).
Jadi, pertidaksamaan tersebut berarti:
jarak \(x\) terhadap \(1\) lebih kecil daripada jarak \(x\) terhadap \(-3\).
Titik tengah antara \(-3\) dan \(1\) adalah
$$\displaystyle \frac{-3+1}{2}=-1$$
Semua titik di sebelah kanan \(-1\) lebih dekat ke \(1\).
Dengan demikian,
$$\displaystyle x>-1$$
Soal ini menunjukkan bahwa memahami nilai mutlak sebagai jarak sering kali jauh lebih kuat daripada sekadar menghafal rumus.
Metode Kuadrat pada Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Ada cara lain untuk menyelesaikan bentuk nilai mutlak pada kedua ruas.
Jika kedua ruas berupa nilai mutlak, kita dapat membandingkan kuadratnya.
Perhatikan soal berikut.
Soal 5
Tentukan himpunan penyelesaian
$$\displaystyle |x-1|<|x+3|$$
dengan metode kuadrat.
Kuadratkan kedua ruas.
$$\displaystyle (x-1)^2<(x+3)^2$$
Kembangkan.
$$\displaystyle x^2-2x+1<x^2+6x+9$$
Kurangi kedua ruas dengan \(x^2\).
$$\displaystyle -2x+1<6x+9$$
Pindahkan suku yang memuat \(x\).
$$\displaystyle -8<8x$$ Sehingga $$\displaystyle x>-1$$
Himpunan penyelesaian:
$$\displaystyle x>-1$$
Hasil ini sama dengan penyelesaian menggunakan konsep jarak.
Pertidaksamaan Nilai Mutlak dengan Bentuk Kuadrat
Sekarang perhatikan bentuk yang sedikit lebih kompleks.
Soal 6
Tentukan himpunan penyelesaian
$$\displaystyle |x^2-5x+4|\leq2$$
Gunakan sifat nilai mutlak.
$$\displaystyle -2\leq x^2-5x+4\leq2$$
Artinya, kita harus memenuhi dua syarat sekaligus.
Syarat pertama:
$$\displaystyle x^2-5x+4\geq-2$$
sehingga
$$\displaystyle x^2-5x+6\geq0$$
Faktorkan.
$$\displaystyle (x-2)(x-3)\geq0$$
Maka
$$\displaystyle x\leq2$$
atau
$$\displaystyle x\geq3$$
Sekarang syarat kedua:
$$\displaystyle x^2-5x+4\leq2$$
sehingga
$$\displaystyle x^2-5x+2\leq0$$
Akar-akar persamaannya adalah
$$\displaystyle x=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$$
dan
$$\displaystyle x=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$$
Karena koefisien \(x^2\) positif, daerah yang memenuhi syarat kedua adalah
$$\displaystyle \frac{5-\sqrt{17}}{2}\leq x\leq\frac{5+\sqrt{17}}{2}$$
Selanjutnya, cari irisan dari kedua syarat.
Himpunan penyelesaian:
$$\displaystyle \frac{5-\sqrt{17}}{2}\leq x\leq2$$
atau
$$\displaystyle 3\leq x\leq\frac{5+\sqrt{17}}{2}$$
Pada bentuk seperti ini, kemampuan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat menjadi sangat penting.
Pertidaksamaan Nilai Mutlak Berbentuk Pecahan
Pertidaksamaan nilai mutlak dapat menjadi lebih menantang ketika variabel muncul pada penyebut.
Perhatikan contoh berikut.
Soal 7
Tentukan himpunan penyelesaian
$$\displaystyle \left|\frac{x-1}{x+2}\right|<2$$
Sebelum melakukan manipulasi apa pun, perhatikan syarat penyebut.
$$\displaystyle x+2\neq0$$
Maka
$$\displaystyle x\neq-2$$
Kita dapat menggunakan metode kuadrat.
$$\displaystyle \left(\frac{x-1}{x+2}\right)^2<4$$
Karena kuadrat penyebut bernilai positif untuk \(x\neq-2\), kita memperoleh
$$\displaystyle (x-1)^2<4(x+2)^2$$
Kembangkan kedua ruas.
$$\displaystyle x^2-2x+1<4x^2+16x+16$$ Pindahkan seluruh suku ke satu ruas. $$\displaystyle 3x^2+18x+15>0$$
Bagi dengan \(3\).
$$\displaystyle x^2+6x+5>0$$
Faktorkan.
$$\displaystyle (x+1)(x+5)>0$$
Maka
$$\displaystyle x<-5$$ atau $$\displaystyle x>-1$$
Nilai \(x=-2\) memang tidak diperbolehkan. Namun, nilai tersebut sudah tidak termasuk dalam dua interval hasil di atas.
Himpunan penyelesaian:
$$\displaystyle x<-5$$ atau $$\displaystyle x>-1$$
Pada pertidaksamaan pecahan, jangan langsung mengalikan kedua ruas dengan bentuk yang mengandung variabel jika kita belum mengetahui tandanya.
Memahami Perbedaan “Dan” dengan “Atau”
Dalam pertidaksamaan nilai mutlak, dua kata ini sangat penting.
Jika
$$\displaystyle |A|<k$$
kita memperoleh
$$\displaystyle -k<A<k$$
Artinya, dua kondisi harus terpenuhi secara bersamaan.
Karena itu digunakan hubungan dan.
Sebaliknya, jika
$$\displaystyle |A|>k$$
kita memperoleh
$$\displaystyle A<-k$$ atau $$\displaystyle A>k$$
Artinya, cukup salah satu kondisi yang terpenuhi.
Karena itu digunakan hubungan atau.
Kesalahan menukar “dan” dengan “atau” dapat mengubah seluruh himpunan penyelesaian.
Kesalahan yang Sering Terjadi pada Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Memahami kesalahan umum sering kali sama pentingnya dengan menghafal sifat yang benar.
Menghilangkan Nilai Mutlak Begitu Saja
Misalnya,
$$\displaystyle |x-3|<5$$
tidak boleh langsung diubah menjadi
$$\displaystyle x-3<5$$
Cara tersebut hanya mempertimbangkan satu sisi.
Yang benar adalah
$$\displaystyle -5<x-3<5$$
Menggunakan Pola Kurang Dari untuk Tanda Lebih Dari
Misalnya,
$$\displaystyle |x+2|>4$$
tidak berubah menjadi
$$\displaystyle -4<x+2<4$$ Karena tandanya \(>\), bentuk yang benar adalah
$$\displaystyle x+2<-4$$ atau $$\displaystyle x+2>4$$
Lupa Membalik Tanda Saat Membagi Bilangan Negatif
Jika
$$\displaystyle -2x<6$$ maka setelah dibagi dengan \(-2\), $$\displaystyle x>-3$$
bukan
$$\displaystyle x<-3$$
Tidak Memperhatikan Domain Bentuk Pecahan
Pada bentuk
$$\displaystyle \left|\frac{x+1}{x-4}\right|\geq2$$
nilai \(x=4\) tidak pernah boleh menjadi bagian dari himpunan penyelesaian karena menyebabkan penyebut bernilai nol.
Terlalu Cepat Menghafal Tanpa Memahami Jarak
Rumus memang membantu.
Namun, jika konsep jarak sudah dipahami, berbagai bentuk yang tampak baru akan jauh lebih mudah dianalisis.
Contoh Soal yang Lebih Menantang
Soal 8
Tentukan himpunan penyelesaian
$$\displaystyle |2x-5|\leq|x+1|$$
Karena kedua ruas merupakan nilai mutlak, kita dapat mengkuadratkan kedua ruas.
$$\displaystyle (2x-5)^2\leq(x+1)^2$$
Kembangkan.
$$\displaystyle 4x^2-20x+25\leq x^2+2x+1$$
Pindahkan semua suku ke satu ruas.
$$\displaystyle 3x^2-22x+24\leq0$$
Cari akar persamaan
$$\displaystyle 3x^2-22x+24=0$$
Diskriminannya adalah
$$\displaystyle D=(-22)^2-4(3)(24)$$
$$\displaystyle D=484-288$$
$$\displaystyle D=196$$
Maka
$$\displaystyle x=\frac{22-14}{6}=\frac{4}{3}$$
dan
$$\displaystyle x=\frac{22+14}{6}=6$$
Karena koefisien \(x^2\) positif, pertidaksamaan dipenuhi di antara kedua akar.
Himpunan penyelesaian:
$$\displaystyle \frac{4}{3}\leq x\leq6$$
Bisakah Semua Bilangan Real Menjadi Penyelesaian?
Bisa.
Misalnya,
$$\displaystyle |2x-1|\geq0$$
Nilai mutlak selalu tidak negatif.
Maka pertidaksamaan tersebut benar untuk setiap bilangan real \(x\).
Himpunan penyelesaian: ℝ
Sebaliknya,
$$\displaystyle |2x-1|<0$$
tidak mungkin dipenuhi.
Himpunan penyelesaian: ∅
Soal yang terlihat sangat sederhana seperti ini justru sering digunakan untuk menguji apakah siswa benar-benar memahami sifat dasar nilai mutlak.
Strategi Cepat Sebelum Mulai Menghitung
Ketika melihat soal pertidaksamaan nilai mutlak, jangan langsung melakukan manipulasi aljabar.
Lakukan beberapa pemeriksaan berikut.
1. Periksa Ruas Kanan
Jika bentuknya
$$\displaystyle |f(x)|<k$$
atau
$$\displaystyle |f(x)|\leq k$$
periksa apakah \(k\) positif, nol, atau negatif.
Hal tersebut dapat langsung menentukan apakah solusi mungkin ada.
2. Perhatikan Arah Tanda Pertidaksamaan
Ingat pola sederhana:
- \(<\) atau \(\leq\) → biasanya di antara;
- \(>\) atau \(\geq\) → biasanya di luar.
3. Periksa Apakah Ada Pecahan
Jika terdapat penyebut yang mengandung variabel, tentukan domain terlebih dahulu.
Jangan sampai nilai yang membuat penyebut nol ikut dimasukkan ke dalam himpunan penyelesaian.
4. Tanyakan Apakah Konsep Jarak Bisa Digunakan
Pada bentuk seperti
$$\displaystyle |x-a|<|x-b|$$
pendekatan jarak sering jauh lebih cepat daripada membuka definisi nilai mutlak satu per satu.
5. Periksa Apakah Kedua Ruas Dapat Dikuadratkan
Jika kedua ruas berupa nilai mutlak atau diketahui tidak negatif, metode kuadrat dapat menjadi pilihan yang efisien.
Namun, pastikan syarat dari pertidaksamaan tetap diperhatikan.
Latihan Pilihan Ganda Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Sekarang cobalah beberapa soal berikut sebelum membuka pembahasannya.
Soal 9
Himpunan penyelesaian dari
$$\displaystyle |x-5|<3$$
adalah…
Gunakan sifat
$$\displaystyle |x-a|<r$$
yang menghasilkan
$$\displaystyle a-r<x<a+r$$
Maka
$$\displaystyle 5-3<x<5+3$$
sehingga
$$\displaystyle 2<x<8$$
Jawaban: B.
Soal 10
Himpunan penyelesaian dari
$$\displaystyle |2x+1|\geq7$$
adalah…
Karena tanda pertidaksamaannya \(\geq\), terdapat dua kemungkinan.
$$\displaystyle 2x+1\leq-7$$
atau
$$\displaystyle 2x+1\geq7$$
Untuk bagian pertama,
$$\displaystyle 2x\leq-8$$
sehingga
$$\displaystyle x\leq-4$$
Untuk bagian kedua,
$$\displaystyle 2x\geq6$$
sehingga
$$\displaystyle x\geq3$$
Jadi,
$$\displaystyle x\leq-4$$
atau
$$\displaystyle x\geq3$$
Jawaban: B.
Soal 11
Himpunan penyelesaian dari
$$\displaystyle |3x-6|\leq9$$
adalah…
Gunakan bentuk pertidaksamaan rangkap.
$$\displaystyle -9\leq3x-6\leq9$$
Tambahkan \(6\).
$$\displaystyle -3\leq3x\leq15$$
Bagi dengan \(3\).
$$\displaystyle -1\leq x\leq5$$
Jawaban: A.
Soal 12
Pertidaksamaan
$$\displaystyle |x+4|<-2$$
memiliki himpunan penyelesaian…
Untuk setiap bilangan real \(x\),
$$\displaystyle |x+4|\geq0$$
Karena ruas kiri selalu tidak negatif, nilainya tidak mungkin lebih kecil dari \(-2\).
Maka tidak ada bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Himpunan penyelesaian: ∅
Jawaban: E.
Soal 13
Himpunan penyelesaian dari
$$\displaystyle |x-2|>|x+4|$$
adalah…
Bentuk \(|x-2|\) menyatakan jarak \(x\) terhadap \(2\).
Sementara itu, \(|x+4|\) menyatakan jarak \(x\) terhadap \(-4\).
Kita mencari titik yang jaraknya terhadap \(2\) lebih besar daripada jaraknya terhadap \(-4\).
Titik tengah antara \(2\) dan \(-4\) adalah
$$\displaystyle \frac{2+(-4)}{2}=-1$$
Semua titik di sebelah kiri \(-1\) lebih dekat ke \(-4\) daripada ke \(2\).
Jadi,
$$\displaystyle x<-1$$
Jawaban: A.
Soal 14
Himpunan penyelesaian dari
$$\displaystyle |x^2-4|\leq0$$
adalah…
Nilai mutlak selalu tidak negatif.
Agar
$$\displaystyle |x^2-4|\leq0$$
terpenuhi, satu-satunya kemungkinan adalah
$$\displaystyle |x^2-4|=0$$
Maka
$$\displaystyle x^2-4=0$$
Faktorkan.
$$\displaystyle (x-2)(x+2)=0$$
Sehingga
$$\displaystyle x=-2$$
atau
$$\displaystyle x=2$$
Jawaban: C.
Ringkasan Sifat Penting Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Untuk \(a>0\), perhatikan empat pola berikut.
Jika
$$\displaystyle |x|<a$$
maka
$$\displaystyle -a<x<a$$ Jika $$\displaystyle |x|\leq a$$ maka $$\displaystyle -a\leq x\leq a$$ Jika $$\displaystyle |x|>a$$
maka
$$\displaystyle x<-a$$ atau $$\displaystyle x>a$$
Jika
$$\displaystyle |x|\geq a$$
maka
$$\displaystyle x\leq-a$$
atau
$$\displaystyle x\geq a$$
Secara lebih umum, jika
$$\displaystyle |f(x)|<a$$
maka
$$\displaystyle -a<f(x)<a$$ Sedangkan jika $$\displaystyle |f(x)|>a$$
maka
$$\displaystyle f(x)<-a$$ atau $$\displaystyle f(x)>a$$
Rumus-rumus tersebut akan jauh lebih mudah diingat jika kita memahami bahwa nilai mutlak merupakan jarak.
Pertanyaan yang Sering Ditanyakan
Apa yang Dimaksud dengan Pertidaksamaan Nilai Mutlak?
Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang mengandung ekspresi nilai mutlak, misalnya
$$\displaystyle |x-2|<5$$
Penyelesaiannya berupa himpunan nilai \(x\) yang membuat pertidaksamaan tersebut benar.
Mengapa Nilai Mutlak Selalu Positif?
Lebih tepatnya, nilai mutlak selalu tidak negatif.
Nilai mutlak menyatakan jarak, sedangkan jarak tidak mungkin negatif.
Karena itu,
$$\displaystyle |x|\geq0$$
Nilai mutlak dapat bernilai nol. Hal tersebut terjadi ketika
$$\displaystyle x=0$$
Apa Perbedaan \(|x|<a\) dan \(|x|>a\)?
Jika
$$\displaystyle |x|<a$$
maka \(x\) berada di antara \(-a\) dan \(a\).
Sedangkan jika
$$\displaystyle |x|>a$$
maka \(x\) berada di luar interval tersebut.
Apakah Tanda Pertidaksamaan Berubah Saat Nilai Mutlak Dihilangkan?
Tidak otomatis.
Tanda pertidaksamaan berubah ketika kita mengalikan atau membagi suatu pertidaksamaan dengan bilangan negatif.
Sementara itu, pengubahan bentuk nilai mutlak mengikuti sifat-sifat nilai mutlak yang telah dibahas sebelumnya.
Apakah Semua Soal Nilai Mutlak Harus Diselesaikan dengan Pemisahan Kasus?
Tidak.
Banyak pertidaksamaan dapat diselesaikan lebih cepat menggunakan sifat dasar nilai mutlak, konsep jarak, metode kuadrat, atau analisis tanda.
Pemilihan metode bergantung pada bentuk pertidaksamaan yang diberikan.
Kapan Konsep Jarak Sebaiknya Digunakan?
Konsep jarak sangat efektif pada bentuk seperti
$$\displaystyle |x-a|<r$$
atau
$$\displaystyle |x-a|<|x-b|$$
Pada bentuk tersebut, memahami posisi titik pada garis bilangan sering kali memberikan penyelesaian lebih cepat daripada manipulasi aljabar panjang.
Kesimpulan
Pertidaksamaan nilai mutlak akan terasa jauh lebih sederhana jika kita tidak memulainya dari hafalan rumus.
Kuncinya adalah memahami bahwa
$$\displaystyle |x-a|$$
menyatakan jarak \(x\) terhadap \(a\).
Dari konsep tersebut, pola utama menjadi masuk akal.
Jika jarak kurang dari suatu nilai, titik berada di antara dua batas. Sebaliknya, jika jarak lebih dari suatu nilai, titik berada di luar dua batas.
Setelah konsep tersebut dikuasai, kita dapat mengembangkan penyelesaian ke bentuk linear, kuadrat, pecahan, bahkan pertidaksamaan yang memiliki nilai mutlak pada kedua ruas.
Jadi, ketika bertemu soal nilai mutlak berikutnya, jangan terburu-buru membuka tanda \(|\cdot|\).
Tanyakan terlebih dahulu:
“Jarak apa yang sebenarnya sedang dibicarakan oleh soal ini?”
Sering kali, jawaban atas pertanyaan tersebut sudah menunjukkan jalan menuju penyelesaian.
Tinggalkan komentar