Aturan pencacahan membahas cara menentukan banyak kemungkinan tanpa harus menuliskan semua kemungkinan satu per satu. Materi ini menjadi dasar penting dalam kombinatorika karena banyak persoalan matematika sebenarnya mempunyai pertanyaan yang sama: ada berapa cara suatu pilihan, susunan, atau proses dapat dilakukan?
Bayangkan kamu diminta menghitung banyak kata sandi yang dapat dibuat, banyak susunan siswa dalam satu baris, banyak cara memilih pengurus kelas, banyak rute perjalanan, atau banyak kelompok yang dapat dibentuk. Jika jumlah objek sedikit, kita mungkin masih dapat membuat daftar. Namun, ketika objek bertambah, cara tersebut menjadi lambat dan rawan terlewat.
Di sinilah aturan penjumlahan, aturan perkalian, faktorial, permutasi, dan kombinasi bekerja. Kelima konsep tersebut tidak seharusnya dipandang sebagai kumpulan rumus terpisah. Semuanya berawal dari satu ide yang sama, yaitu menghitung kemungkinan secara sistematis.
Bagian terpenting bukan sekadar bisa menghitung \(8!\) atau memasukkan angka ke rumus kombinasi. Kamu harus mampu membaca struktur masalah: apakah kita memilih salah satu kasus, menjalani beberapa tahap, memperhatikan urutan, menghadapi objek yang sama, menyusun secara melingkar, atau hanya memilih anggota tanpa memperhatikan posisi.
Artikel ini membangun konsep tersebut secara bertahap dan dilanjutkan dengan 50 soal aturan pencacahan, faktorial, permutasi, dan kombinasi dari tingkat dasar sampai HOTS.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan mampu memahami makna pencacahan sebagai proses menghitung banyak kemungkinan, menggunakan aturan penjumlahan dan aturan perkalian, memahami notasi faktorial beserta sifatnya, menggunakan metode pengisian tempat, menentukan banyak susunan menggunakan permutasi, menyelesaikan permutasi dengan unsur yang sama, menyelesaikan permutasi siklis, menggunakan teknik blok dan komplemen pencacahan, memahami kombinasi sebagai pemilihan tanpa memperhatikan urutan, serta menyelesaikan persoalan kombinatorika dengan syarat tertentu secara efisien.
Mari Berpikir
Misalkan terdapat lima siswa: Andi, Bima, Citra, Dinda, dan Eka.
Pertama, kita ingin memilih satu siswa sebagai ketua kelas. Ada 5 kemungkinan.
Kemudian kita ingin memilih ketua dan wakil. Setelah ketua terpilih, hanya tersisa 4 orang untuk menjadi wakil. Banyak kemungkinan menjadi
$$\displaystyle 5\cdot4=20$$
Sekarang ubah pertanyaannya. Dari lima siswa tersebut akan dipilih dua orang untuk menjadi delegasi sekolah tanpa jabatan.
Apakah pasangan Andi-Bima berbeda dari Bima-Andi?
Tidak. Anggotanya tetap dua orang yang sama. Karena urutan pemilihan tidak menghasilkan kelompok baru, kita tidak boleh menghitung kedua urutan tersebut sebagai dua pilihan berbeda.
Perbedaan kecil pada konteks menghasilkan metode yang berbeda. Memilih ketua dan wakil menggunakan permutasi, sedangkan memilih dua delegasi menggunakan kombinasi.
Inilah pertanyaan kunci dalam kombinatorika: hasil seperti apa yang dianggap berbeda?
Pengertian Aturan Pencacahan
Aturan pencacahan adalah prinsip untuk menentukan banyak kemungkinan suatu kejadian atau proses tanpa harus menuliskan setiap kemungkinan secara langsung.
Objek yang dicacah biasanya bersifat diskret. Artinya, objek tersebut dapat dihitung satu per satu, misalnya banyak siswa, banyak buku, banyak susunan huruf, banyak bilangan, atau banyak kelompok.
Contohnya, tersedia 3 pilihan minuman dan 4 pilihan makanan. Jika kita ingin mengetahui banyak cara memilih satu paket yang terdiri atas satu minuman dan satu makanan, kita tidak perlu menulis semua pasangan satu per satu. Kita dapat menggunakan aturan pencacahan.
Dua aturan paling mendasar adalah aturan penjumlahan dan aturan perkalian.
Aturan Penjumlahan
Aturan penjumlahan digunakan ketika sebuah pilihan dilakukan melalui salah satu dari beberapa kasus yang tidak tumpang tindih.
Misalkan kasus pertama dapat dilakukan dengan \(m\) cara dan kasus kedua dapat dilakukan dengan \(n\) cara. Jika kita melakukan kasus pertama atau kasus kedua, maka banyak kemungkinan seluruhnya adalah
$$\displaystyle m+n$$
Misalnya sebuah perpustakaan menyediakan 8 buku matematika dan 5 buku fisika. Seorang siswa akan meminjam tepat satu buku dari salah satu kelompok tersebut.
Buku yang dipilih dapat berupa buku matematika atau buku fisika. Karena kedua kelompok berbeda, banyak pilihan adalah
$$\displaystyle 8+5=13$$
Jadi, tersedia 13 pilihan buku.
Mengapa Dijumlahkan?
Bayangkan semua pilihan matematika ditempatkan pada kelompok pertama dan semua pilihan fisika pada kelompok kedua. Tidak ada satu buku yang berada pada kedua kelompok sekaligus. Karena kita memilih satu anggota dari salah satu kelompok, banyak pilihan total diperoleh dengan menggabungkan kedua kelompok.
Prinsip tersebut dapat diperluas. Jika terdapat beberapa kasus yang saling terpisah dengan masing-masing \(n_1,n_2,\ldots,n_k\) kemungkinan, total kemungkinan adalah
$$\displaystyle n_1+n_2+\cdots+n_k$$
Kapan Aturan Penjumlahan Tidak Boleh Dipakai Langsung?
Masalah muncul jika dua kelompok yang dijumlahkan mempunyai anggota yang sama. Jika kita langsung menjumlahkannya, hasil yang berada pada kedua kelompok akan terhitung dua kali.
Karena itu, sebelum memakai aturan penjumlahan, pastikan setiap hasil hanya masuk ke satu kasus atau buat kasus-kasus yang saling terpisah.
Aturan Perkalian
Aturan perkalian digunakan ketika sebuah hasil terbentuk melalui beberapa tahap yang semuanya harus dilakukan.
Jika tahap pertama dapat dilakukan dengan \(m\) cara dan untuk setiap pilihan tahap pertama tersedia \(n\) pilihan tahap kedua, banyak hasil akhir adalah
$$\displaystyle m\cdot n$$
Misalnya tersedia 4 kemeja dan 3 celana. Satu set pakaian dibentuk dengan memilih satu kemeja dan satu celana.
Untuk setiap kemeja terdapat 3 pilihan celana. Karena ada 4 kemeja, banyak pasangan pakaian adalah
$$\displaystyle 4\cdot3=12$$
Jika ditambahkan 2 pilihan sepatu, setiap pasangan kemeja dan celana dapat dipasangkan lagi dengan 2 pilihan sepatu.
$$\displaystyle 4\cdot3\cdot2=24$$
Jadi, terdapat 24 set pakaian.
Aturan Perkalian untuk Banyak Tahap
Jika proses mempunyai \(k\) tahap dan banyak pilihan pada setiap tahap berturut-turut adalah \(n_1,n_2,\ldots,n_k\), maka banyak hasil akhir adalah
$$\displaystyle n_1\cdot n_2\cdots n_k$$
Prinsip ini sangat penting karena rumus permutasi sebenarnya dapat dibangun langsung dari aturan perkalian.
Metode Pengisian Tempat
Salah satu cara paling praktis menggunakan aturan perkalian adalah metode pengisian tempat. Kita membayangkan setiap posisi sebagai sebuah kotak yang harus diisi.
Misalnya kita ingin membuat kode tiga huruf menggunakan huruf A, B, C, D, dan E tanpa pengulangan.
Tempat pertama mempunyai 5 pilihan.
Setelah satu huruf digunakan, tempat kedua mempunyai 4 pilihan.
Tempat ketiga mempunyai 3 pilihan.
Jadi, banyak kode adalah
$$\displaystyle 5\cdot4\cdot3=60$$
Metode ini sangat fleksibel karena dapat digunakan bahkan sebelum kita mengenal rumus permutasi.
Dengan Pengulangan dan Tanpa Pengulangan
Perhatikan perbedaan berikut.
Jika tersedia 5 angka dan pengulangan diperbolehkan untuk membuat kode 4 digit, setiap tempat mempunyai 5 pilihan.
$$\displaystyle 5^4=625$$
Namun, jika angka tidak boleh berulang, banyak pilihan berkurang setiap kali suatu angka digunakan.
$$\displaystyle 5\cdot4\cdot3\cdot2=120$$
Jadi, satu kalimat kecil berupa “boleh berulang” atau “tanpa pengulangan” dapat mengubah jawaban secara besar.
Pembentukan Bilangan dan Peran Angka Nol
Soal pembentukan bilangan sering terlihat sederhana, tetapi angka \(0\) memerlukan perhatian khusus.
Misalnya kita ingin membuat bilangan tiga angka dari \(0,1,2,3,4\) tanpa pengulangan.
Tempat ratusan tidak boleh diisi \(0\), karena \(037\) bukan bilangan tiga angka. Jadi tempat pertama hanya mempunyai 4 pilihan, yaitu \(1,2,3,\) atau \(4\).
Setelah angka pertama dipilih, termasuk kemungkinan angka nol pada posisi berikutnya, tempat puluhan mempunyai 4 pilihan dan tempat satuan mempunyai 3 pilihan.
$$\displaystyle 4\cdot4\cdot3=48$$
Kesalahan umum adalah langsung menulis \(5\cdot4\cdot3\), seolah-olah angka nol boleh menempati tempat ratusan.
Membagi Masalah Menjadi Beberapa Kasus
Tidak semua soal dapat diselesaikan dengan satu perkalian. Kadang syarat tertentu membuat kita harus membagi masalah menjadi beberapa kasus.
Contohnya pembentukan bilangan genap. Digit terakhir harus genap. Jika angka \(0\) tersedia, kasus digit terakhir \(0\) sering mempunyai jumlah pilihan posisi pertama yang berbeda dari kasus digit terakhir \(2,4,\) atau \(6\).
Strateginya adalah:
1. Buat kasus-kasus yang tidak saling tumpang tindih.
2. Gunakan aturan perkalian di dalam setiap kasus.
3. Jumlahkan hasil antarkasus.
Dengan kata lain, soal kompleks sering menggunakan aturan perkalian dan aturan penjumlahan sekaligus.
Faktorial
Dalam kombinatorika, kita sering menemukan perkalian bilangan bulat positif yang berurutan. Agar penulisannya lebih ringkas, digunakan notasi faktorial.
Untuk bilangan bulat positif \(n\), didefinisikan
$$\displaystyle n!=n(n-1)(n-2)\cdots3\cdot2\cdot1$$
Dibaca “\(n\) faktorial”.
Contohnya,
$$\displaystyle 5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$$
$$\displaystyle 5!=120$$
Contoh lain,
$$\displaystyle 7!=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$$
$$\displaystyle 7!=5040$$
Mengapa \(0!=1\)?
Dalam kombinatorika, didefinisikan
$$\displaystyle 0!=1$$
Nilai ini menjaga pola faktorial tetap konsisten.
Kita tahu bahwa
$$\displaystyle n!=n(n-1)!$$
Untuk \(n=1\), diperoleh
$$\displaystyle 1!=1\cdot0!$$
Karena \(1!=1\), maka
$$\displaystyle 1=1\cdot0!$$
sehingga
$$\displaystyle 0!=1$$
Nilai ini juga mempunyai makna kombinatorik. Ada tepat satu cara menyusun nol objek, yaitu tidak melakukan apa pun.
Menyederhanakan Pecahan Faktorial
Faktorial dapat menghasilkan bilangan sangat besar. Karena itu, jangan selalu menghitung pembilang dan penyebut secara penuh.
Misalnya,
$$\displaystyle \frac{9!}{6!}$$
Jabarkan \(9!\) hanya sampai \(6!\).
$$\displaystyle \frac{9!}{6!}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6!}{6!}$$
Coret \(6!\).
$$\displaystyle \frac{9!}{6!}=9\cdot8\cdot7$$
$$\displaystyle \frac{9!}{6!}=504$$
Cara ini jauh lebih efisien daripada menghitung \(9!=362880\) terlebih dahulu.
Pola Penting Faktorial
Beberapa pola berikut sangat sering digunakan.
$$\displaystyle \frac{n!}{(n-1)!}=n$$
$$\displaystyle \frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)$$
$$\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)$$
Pola terakhir akan menjadi dasar rumus permutasi.
Permutasi: Saat Urutan Penting
Permutasi adalah penyusunan atau pemilihan objek dengan memperhatikan urutan.
Misalnya tersedia huruf A, B, dan C.
Susunan yang mungkin adalah ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA.
Jumlahnya 6.
$$\displaystyle 3!=6$$
Mengapa ABC dan BAC dianggap berbeda? Karena posisi hurufnya berbeda.
Inilah ciri utama permutasi: menukar urutan dapat menghasilkan hasil baru.
Permutasi \(r\) Objek dari \(n\) Objek
Misalkan terdapat \(n\) objek berbeda dan kita ingin memilih sekaligus menyusun \(r\) objek tanpa pengulangan.
Posisi pertama mempunyai \(n\) pilihan.
Posisi kedua mempunyai \(n-1\) pilihan.
Posisi ketiga mempunyai \(n-2\) pilihan.
Proses berlanjut sampai \(r\) posisi terisi.
Banyak susunannya adalah
$$\displaystyle n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)$$
Dengan faktorial, bentuk tersebut dapat ditulis
$$\displaystyle P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$$
Contohnya, dari 7 siswa akan ditentukan ketua, wakil, dan sekretaris.
Ketua mempunyai 7 kemungkinan, wakil 6 kemungkinan, dan sekretaris 5 kemungkinan.
$$\displaystyle 7\cdot6\cdot5=210$$
Dengan rumus permutasi,
$$\displaystyle P(7,3)=\frac{7!}{4!}=210$$
Permutasi Semua Objek
Jika seluruh \(n\) objek berbeda disusun, maka \(r=n\).
$$\displaystyle P(n,n)=\frac{n!}{0!}$$
Karena \(0!=1\), diperoleh
$$\displaystyle P(n,n)=n!$$
Jadi, banyak cara menyusun \(n\) objek berbeda dalam satu baris adalah \(n!\).
Misalnya 8 siswa berbeda berdiri dalam satu baris.
$$\displaystyle 8!=40320$$
Terdapat 40.320 susunan.
Permutasi dengan Unsur yang Sama
Rumus \(n!\) menganggap seluruh objek berbeda. Jika ada objek yang identik, pertukaran antarbenda identik tidak menghasilkan susunan baru.
Misalnya kata MAMA mempunyai 4 huruf, tetapi terdapat 2 huruf M dan 2 huruf A.
Jika semua huruf dianggap berbeda, kita memperoleh \(4!\) susunan. Namun, menukar dua huruf M tidak menghasilkan kata baru. Demikian pula menukar dua huruf A.
Karena itu, banyak susunan berbeda adalah
$$\displaystyle \frac{4!}{2!2!}$$
$$\displaystyle \frac{24}{4}=6$$
Secara umum, jika terdapat \(n\) objek dengan \(n_1\) objek identik jenis pertama, \(n_2\) objek identik jenis kedua, dan seterusnya, banyak susunan berbeda adalah
$$\displaystyle \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$$
dengan
$$\displaystyle n_1+n_2+\cdots+n_k=n$$
Permutasi Siklis
Susunan di meja bundar berbeda dari susunan dalam satu baris.
Pada susunan baris, ABCD dan DABC mempunyai posisi berbeda. Pada meja bundar, jika seluruh orang digeser satu kursi dengan urutan relatif tetap, susunannya sebenarnya sama.
Agar rotasi yang sama tidak dihitung berulang, satu orang dapat dianggap tetap sebagai patokan. Kita lalu menyusun \(n-1\) orang lainnya.
Jadi, banyak permutasi siklis \(n\) objek berbeda adalah
$$\displaystyle (n-1)!$$
Misalnya 6 orang duduk mengelilingi meja bundar.
$$\displaystyle (6-1)!=5!=120$$
Jadi, terdapat 120 susunan berbeda.
Teknik Blok: Objek Harus Berdampingan
Soal permutasi sering memberikan syarat beberapa objek harus berdampingan.
Misalkan 7 siswa berdiri dalam satu baris dan Andi serta Bima harus berdampingan.
Anggap Andi dan Bima sebagai satu blok. Blok tersebut bersama 5 siswa lain menghasilkan 6 objek.
Enam objek dapat disusun dalam
$$\displaystyle 6!$$
cara.
Di dalam blok, Andi dan Bima dapat tersusun sebagai AB atau BA.
$$\displaystyle 2!$$
Maka jumlah susunan adalah
$$\displaystyle 6!\cdot2!$$
$$\displaystyle 720\cdot2=1440$$
Teknik ini dapat diperluas untuk tiga atau lebih objek yang harus berdekatan.
Teknik Komplemen dalam Pencacahan
Kadang syarat “tidak boleh berdampingan” lebih sulit dihitung secara langsung. Strategi yang efektif adalah menghitung seluruh susunan, lalu mengurangi susunan yang tidak diinginkan.
Misalnya 7 siswa berdiri dalam satu baris dan Andi serta Bima tidak boleh berdampingan.
Jumlah seluruh susunan adalah
$$\displaystyle 7!$$
Susunan ketika Andi dan Bima berdampingan adalah
$$\displaystyle 2\cdot6!$$
Maka jumlah susunan yang memenuhi adalah
$$\displaystyle 7!-2\cdot6!$$
$$\displaystyle 5040-1440=3600$$
Teknik total dikurangi kasus terlarang sering jauh lebih sederhana daripada menghitung kasus yang diperbolehkan satu per satu.
Kombinasi: Saat Urutan Tidak Penting
Kombinasi digunakan ketika kita memilih beberapa objek tanpa memperhatikan urutan.
Misalnya dari siswa A, B, C, dan D akan dipilih dua orang sebagai delegasi.
Pasangan A-B sama dengan B-A karena anggotanya sama.
Jika kita menggunakan permutasi, setiap kelompok dua orang akan dihitung sebanyak \(2!\) kali, yaitu melalui dua urutan.
Karena itu, banyak kombinasi diperoleh dengan membagi permutasi oleh \(r!\).
$$\displaystyle C(n,r)=\frac{P(n,r)}{r!}$$
Karena
$$\displaystyle P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$$
maka
$$\displaystyle C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$
Contoh Kombinasi
Dari 8 siswa akan dipilih 3 siswa sebagai tim.
$$\displaystyle C(8,3)=\frac{8!}{3!5!}$$
Sederhanakan faktorial.
$$\displaystyle C(8,3)=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}$$
$$\displaystyle C(8,3)=56$$
Jadi, terdapat 56 kelompok.
Mengapa Ada Pembagi \(r!\) pada Kombinasi?
Misalkan kelompok yang dipilih adalah A, B, dan C.
Dalam permutasi, kelompok tersebut muncul sebagai ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA.
Padahal dalam kombinasi semuanya dianggap sebagai satu kelompok yang sama.
Terdapat
$$\displaystyle 3!=6$$
urutan untuk anggota yang sama. Karena setiap kelompok dihitung sebanyak \(r!\) kali dalam permutasi, kita harus membaginya dengan \(r!\).
Inilah alasan konseptual rumus kombinasi, bukan sekadar formula yang perlu dihafal.
Hubungan Permutasi dan Kombinasi
Permutasi dan kombinasi mempunyai hubungan langsung.
Pertama, pilih \(r\) objek dari \(n\) objek menggunakan kombinasi.
Kedua, susun \(r\) objek yang telah dipilih dalam \(r!\) urutan.
Karena itu,
$$\displaystyle P(n,r)=C(n,r)\cdot r!$$
Hubungan ini sangat berguna untuk memahami mengapa dua rumus tersebut mempunyai bentuk yang mirip.
Sifat Simetri Kombinasi
Berlaku
$$\displaystyle C(n,r)=C(n,n-r)$$
Mengapa?
Memilih \(r\) orang yang masuk ke dalam tim sebenarnya sekaligus menentukan \(n-r\) orang yang tidak masuk.
Misalnya memilih 2 orang dari 8 sama banyaknya dengan memilih 6 orang yang tidak dipilih.
$$\displaystyle C(8,2)=C(8,6)=28$$
Sifat ini juga dapat digunakan untuk mempercepat perhitungan.
Kombinasi dengan Syarat Tepat
Soal kombinasi sering menentukan komposisi kelompok.
Misalnya terdapat 6 siswa laki-laki dan 5 siswa perempuan. Akan dipilih 4 siswa dengan tepat 2 siswa perempuan.
Pilih 2 perempuan dari 5.
$$\displaystyle C(5,2)$$
Kemudian pilih 2 laki-laki dari 6.
$$\displaystyle C(6,2)$$
Kedua tahap harus dilakukan, sehingga
$$\displaystyle C(5,2)C(6,2)$$
$$\displaystyle 10\cdot15=150$$
Jadi, terdapat 150 kelompok.
Kombinasi dengan Syarat Minimal
Kata “minimal”, “paling sedikit”, atau “sekurang-kurangnya” biasanya menghasilkan beberapa kemungkinan komposisi.
Misalnya dari 6 laki-laki dan 5 perempuan dipilih 4 siswa dengan sedikitnya 2 perempuan.
Kemungkinan komposisinya adalah:
2 perempuan dan 2 laki-laki,
3 perempuan dan 1 laki-laki,
atau 4 perempuan.
Jumlah caranya adalah
$$\displaystyle C(5,2)C(6,2)+C(5,3)C(6,1)+C(5,4)$$
$$\displaystyle 150+60+5=215$$
Inilah contoh penggunaan aturan penjumlahan dan kombinasi secara bersamaan.
Objek Tertentu Harus Terpilih
Jika seseorang harus masuk ke dalam kelompok, anggap orang tersebut sudah terpilih.
Misalnya dari 10 siswa akan dipilih 4 siswa dan Andi wajib terpilih.
Karena Andi sudah mengisi satu tempat, kita hanya perlu memilih 3 siswa dari 9 siswa lainnya.
$$\displaystyle C(9,3)=84$$
Jadi, terdapat 84 kelompok.
Objek Tertentu Tidak Boleh Terpilih Bersamaan
Misalkan dari 10 siswa dipilih 4 orang, tetapi Andi dan Bima tidak boleh berada dalam kelompok yang sama.
Salah satu strategi adalah menggunakan komplemen pencacahan.
Jumlah semua kelompok adalah
$$\displaystyle C(10,4)$$
Jika Andi dan Bima sama-sama terpilih, dua tempat sudah terisi. Tinggal memilih 2 siswa dari 8 siswa lainnya.
$$\displaystyle C(8,2)$$
Jadi, jumlah kelompok yang memenuhi adalah
$$\displaystyle C(10,4)-C(8,2)$$
Strategi total dikurangi kasus terlarang sangat berguna pada soal kombinasi.
Permutasi atau Kombinasi?
Sebelum menggunakan rumus, tanyakan:
Jika urutan objek ditukar, apakah hasil dianggap berbeda?
Jika jawabannya ya, pikirkan permutasi.
Jika jawabannya tidak, pikirkan kombinasi.
Contohnya:
Memilih ketua dan wakil: permutasi.
Memilih dua anggota tim: kombinasi.
Menentukan juara I, II, dan III: permutasi.
Memilih tiga finalis tanpa peringkat: kombinasi.
Menyusun buku dalam rak: permutasi.
Memilih buku yang akan dibawa: kombinasi.
Strategi Umum Menyelesaikan Soal Kombinatorika
Sebelum menghitung, lakukan beberapa pemeriksaan berikut.
Pertama, tentukan objek yang dihitung. Apakah yang dicari berupa pilihan, susunan, bilangan, kata sandi, pasangan, kelompok, atau tempat duduk?
Kedua, periksa apakah proses mempunyai beberapa tahap. Jika ya, aturan perkalian mungkin diperlukan.
Ketiga, periksa apakah ada beberapa kasus alternatif. Jika ya, buat kasus yang tidak tumpang tindih lalu gunakan aturan penjumlahan.
Keempat, tanyakan apakah urutan penting. Jika penting, gunakan permutasi. Jika tidak, gunakan kombinasi.
Kelima, identifikasi syarat khusus. Misalnya tidak boleh berulang, harus berdampingan, tidak boleh berdampingan, minimal dua orang, tepat tiga objek, atau objek tertentu wajib dipilih.
Keenam, periksa apakah metode komplemen lebih singkat. Kadang lebih mudah menghitung semua kemungkinan lalu mengurangi kasus terlarang.
Strateginya dapat dirangkum sebagai
$$\displaystyle \text{identifikasi objek}\to\text{baca syarat}\to\text{tentukan urutan}\to\text{pilih metode}\to\text{hitung}\to\text{periksa}$$
50 Soal Aturan Pencacahan, Faktorial, Permutasi, dan Kombinasi
Bagian A: Aturan Pencacahan dan Faktorial
Soal 1
Hitung nilai \(7!\).
Gunakan definisi faktorial.
$$\displaystyle 7!=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$$
$$\displaystyle 7!=5040$$
Jadi, nilai \(7!\) adalah \(5040\).
Soal 2
Sederhanakan \( \frac{10!}{8!} \).
Jabarkan \(10!\) hanya sampai muncul \(8!\).
$$\displaystyle \frac{10!}{8!}=\frac{10\cdot9\cdot8!}{8!}$$
Coret faktor \(8!\).
$$\displaystyle \frac{10!}{8!}=10\cdot9$$
$$\displaystyle \frac{10!}{8!}=90$$
Jadi, nilainya adalah \(90\).
Soal 3
Hitung nilai \( \frac{9!}{7!2!} \).
Jabarkan \(9!\) sampai \(7!\).
$$\displaystyle \frac{9!}{7!2!}=\frac{9\cdot8\cdot7!}{7!\cdot2}$$
Coret \(7!\).
$$\displaystyle \frac{9\cdot8}{2}=36$$
Jadi, nilainya adalah \(36\).
Soal 4
Diketahui \( \frac{n!}{(n-2)!}=56 \). Tentukan nilai \(n\).
Gunakan hubungan faktorial.
$$\displaystyle \frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)$$
Maka
$$\displaystyle n(n-1)=56$$
Cari dua bilangan berurutan yang hasil kalinya 56.
$$\displaystyle 8\cdot7=56$$
Jadi,
$$\displaystyle n=8$$
Soal 5
Sebuah toko menyediakan 9 novel dan 6 komik yang berbeda. Jika Naya membeli tepat satu buku, berapa banyak pilihan yang tersedia?
Naya membeli satu novel atau satu komik.
Kedua kelompok pilihan terpisah, sehingga digunakan aturan penjumlahan.
$$\displaystyle 9+6=15$$
Jadi, tersedia \(15\) pilihan buku.
Soal 6
Sebuah karakter akan dipilih berupa salah satu dari 8 angka tertentu atau salah satu dari 21 huruf konsonan. Berapa banyak karakter yang dapat dipilih?
Karakter dipilih dari kelompok angka atau kelompok huruf.
Gunakan aturan penjumlahan.
$$\displaystyle 8+21=29$$
Jadi, terdapat \(29\) pilihan karakter.
Soal 7
Tersedia 4 pilihan kemeja, 3 pilihan celana, dan 2 pilihan sepatu. Berapa banyak set pakaian berbeda yang dapat dibuat dengan memilih satu dari setiap jenis?
Satu set pakaian terbentuk melalui tiga tahap.
Pilih satu kemeja, satu celana, kemudian satu sepatu.
Gunakan aturan perkalian.
$$\displaystyle 4\cdot3\cdot2=24$$
Jadi, terdapat \(24\) set pakaian.
Soal 8
Dari kota A ke kota B tersedia 3 jalan dan dari kota B ke kota C tersedia 4 jalan. Jika perjalanan dari A ke C harus melalui B, berapa banyak rute yang dapat dipilih?
Perjalanan terdiri atas dua tahap.
Untuk setiap satu jalan A ke B tersedia 4 pilihan jalan B ke C.
$$\displaystyle 3\cdot4=12$$
Jadi, terdapat \(12\) rute.
Soal 9
Sebuah kode terdiri atas 2 huruf kapital diikuti 3 angka. Pengulangan huruf dan angka diperbolehkan. Berapa banyak kode yang dapat dibuat?
Setiap posisi huruf mempunyai 26 pilihan dan setiap posisi angka mempunyai 10 pilihan.
Karena pengulangan diperbolehkan, banyak pilihan pada setiap tempat tetap sama.
$$\displaystyle 26\cdot26\cdot10\cdot10\cdot10$$
$$\displaystyle 26^2\cdot10^3$$
$$\displaystyle 676000$$
Jadi, terdapat \(676.000\) kode.
Soal 10
Sebuah bendera terdiri atas empat bagian berurutan. Setiap bagian dapat diberi salah satu dari 5 warna dan warna boleh berulang. Berapa banyak pola warna yang mungkin?
Setiap bagian mempunyai 5 pilihan warna.
Karena terdapat empat bagian dan warna boleh berulang,
$$\displaystyle 5\cdot5\cdot5\cdot5$$
$$\displaystyle 5^4=625$$
Jadi, terdapat \(625\) pola warna.
Bagian B: Aturan Perkalian dengan Syarat
Soal 11
Berapa banyak bilangan empat angka yang dapat dibuat dari angka \(0,1,2,3,4,5,6,7\) tanpa pengulangan?
Tempat ribuan tidak boleh diisi angka \(0\), sehingga terdapat 7 pilihan.
Setelah angka pertama digunakan, masih ada 7 angka untuk tempat ratusan.
Tempat puluhan mempunyai 6 pilihan dan tempat satuan 5 pilihan.
$$\displaystyle 7\cdot7\cdot6\cdot5$$
$$\displaystyle 1470$$
Jadi, terdapat \(1.470\) bilangan.
Soal 12
Berapa banyak bilangan tiga angka genap yang dapat dibuat dari angka \(0,1,2,3,4,5,6\) tanpa pengulangan?
Bilangan genap harus berakhir dengan \(0,2,4,\) atau \(6\).
Kita pisahkan menjadi dua kasus.
Jika angka satuan adalah \(0\), tempat ratusan mempunyai 6 pilihan dan tempat puluhan mempunyai 5 pilihan.
$$\displaystyle 6\cdot5=30$$
Jika angka satuan adalah \(2,4,\) atau \(6\), terdapat 3 pilihan untuk satuan.
Angka ratusan tidak boleh nol dan tidak boleh sama dengan angka satuan, sehingga tersedia 5 pilihan.
Tempat puluhan kemudian mempunyai 5 pilihan.
$$\displaystyle 3\cdot5\cdot5=75$$
Jumlah seluruhnya
$$\displaystyle 30+75=105$$
Jadi, terdapat \(105\) bilangan.
Soal 13
Berapa banyak bilangan lima angka yang lebih besar dari \(30000\) dapat dibuat dari angka \(0,1,2,3,4,5,6,7\) tanpa pengulangan?
Agar lebih besar dari \(30000\), angka pertama dapat berupa \(3,4,5,6,\) atau \(7\).
Jadi, tempat pertama mempunyai 5 pilihan.
Setelah itu, empat posisi berikutnya berturut-turut mempunyai 7, 6, 5, dan 4 pilihan.
$$\displaystyle 5\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4$$
$$\displaystyle 4200$$
Jadi, terdapat \(4.200\) bilangan.
Soal 14
Sebuah kode terdiri atas 3 huruf berbeda diikuti 2 angka berbeda. Berapa banyak kode yang dapat dibuat jika tersedia 26 huruf dan 10 angka?
Huruf pertama mempunyai 26 pilihan.
Huruf kedua mempunyai 25 pilihan dan huruf ketiga 24 pilihan.
Angka pertama mempunyai 10 pilihan dan angka kedua 9 pilihan.
$$\displaystyle 26\cdot25\cdot24\cdot10\cdot9$$
$$\displaystyle 1404000$$
Jadi, terdapat \(1.404.000\) kode.
Soal 15
Enam wisatawan akan ditempatkan ke dalam 4 kamar berbeda. Setiap kamar boleh ditempati berapa pun orang, termasuk tidak ditempati. Berapa banyak distribusi yang mungkin?
Setiap wisatawan mempunyai 4 pilihan kamar.
Pilihan setiap orang dapat dilakukan secara independen.
$$\displaystyle 4^6$$
$$\displaystyle 4096$$
Jadi, terdapat \(4.096\) distribusi.
Soal 16
Enam wisatawan berbeda akan ditempatkan ke dalam 4 kamar berbeda dengan syarat setiap kamar harus ditempati sedikitnya satu orang. Berapa banyak distribusi yang mungkin?
Kita gunakan prinsip total dikurangi distribusi yang mempunyai kamar kosong.
Tanpa syarat, terdapat
$$\displaystyle 4^6=4096$$
distribusi.
Jika satu kamar tertentu kosong, keenam orang hanya mempunyai 3 pilihan kamar. Pilih kamar yang kosong dalam \(C(4,1)\) cara.
$$\displaystyle C(4,1)3^6=4\cdot729=2916$$
Distribusi dengan dua kamar kosong telah dikurangi dua kali, sehingga harus ditambahkan kembali.
$$\displaystyle C(4,2)2^6=6\cdot64=384$$
Distribusi dengan tiga kamar kosong kemudian harus dikurangi lagi.
$$\displaystyle C(4,3)1^6=4$$
Maka jumlah distribusi yang memenuhi adalah
$$\displaystyle 4096-2916+384-4$$
$$\displaystyle 1560$$
Jadi, terdapat \(1.560\) distribusi.
Soal 17
Dari A ke B tersedia 4 jalan, dari B ke C tersedia 3 jalan, dan dari C ke D tersedia 2 jalan. Berapa banyak rute dari A ke D yang harus melalui B dan C?
Perjalanan dilakukan melalui tiga tahap.
$$\displaystyle 4\cdot3\cdot2=24$$
Jadi, terdapat \(24\) rute.
Soal 18
Dari A ke B tersedia 4 jalan dan dari B ke C tersedia 3 jalan. Seseorang pergi dari A ke C melalui B kemudian kembali ke A melalui B. Pada perjalanan pulang, ia tidak boleh menggunakan jalan yang sama pada masing-masing ruas yang dipakai saat pergi. Berapa banyak perjalanan pergi-pulang?
Untuk perjalanan pergi, terdapat
$$\displaystyle 4\cdot3=12$$
pilihan.
Saat pulang dari C ke B, satu dari 3 jalan sudah digunakan saat pergi, sehingga tersisa 2 pilihan.
Dari B ke A, satu dari 4 jalan sudah digunakan, sehingga tersisa 3 pilihan.
Untuk setiap perjalanan pergi, tersedia
$$\displaystyle 2\cdot3=6$$
perjalanan pulang.
Jadi,
$$\displaystyle 12\cdot6=72$$
Terdapat \(72\) perjalanan pergi-pulang.
Soal 19
Sebuah kata sandi sepanjang 5 karakter dibuat dari 6 karakter berbeda tanpa pengulangan. Berapa banyak kata sandi yang dapat dibuat?
Posisi pertama mempunyai 6 pilihan.
Kemudian berturut-turut tersedia 5, 4, 3, dan 2 pilihan.
$$\displaystyle 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2$$
$$\displaystyle 720$$
Jadi, terdapat \(720\) kata sandi.
Soal 20
Berapa banyak PIN empat digit yang memiliki tepat satu pasang digit sama, sedangkan dua digit lainnya berbeda satu sama lain dan berbeda dari digit yang berulang?
Karena ini PIN, angka \(0\) boleh berada pada posisi pertama.
Pilih digit yang muncul dua kali.
$$\displaystyle 10$$
pilihan.
Pilih dua digit berbeda dari 9 digit lainnya.
$$\displaystyle C(9,2)=36$$
Sekarang kita mempunyai empat objek dengan satu jenis muncul dua kali. Banyak susunannya adalah
$$\displaystyle \frac{4!}{2!}=12$$
Maka total PIN
$$\displaystyle 10\cdot36\cdot12$$
$$\displaystyle 4320$$
Jadi, terdapat \(4.320\) PIN.
Bagian C: Permutasi
Soal 21
Delapan siswa berbeda berdiri dalam satu baris. Berapa banyak susunan yang mungkin?
Semua 8 siswa berbeda dan semuanya disusun.
$$\displaystyle 8!$$
$$\displaystyle 8!=40320$$
Jadi, terdapat \(40.320\) susunan.
Soal 22
Dari 9 siswa akan dipilih ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Berapa banyak susunan pengurus yang mungkin?
Ketiga jabatan berbeda, sehingga urutan atau posisi penting.
Gunakan permutasi.
$$\displaystyle P(9,3)=\frac{9!}{6!}$$
$$\displaystyle P(9,3)=9\cdot8\cdot7$$
$$\displaystyle P(9,3)=504$$
Jadi, terdapat \(504\) susunan pengurus.
Soal 23
Tujuh siswa berbeda berdiri dalam satu baris. Jika Andi dan Bima harus berdampingan, berapa banyak susunan yang mungkin?
Anggap Andi dan Bima sebagai satu blok.
Blok tersebut bersama 5 siswa lainnya menghasilkan 6 objek.
$$\displaystyle 6!$$
Di dalam blok terdapat dua susunan, yaitu AB dan BA.
$$\displaystyle 2!$$
Maka total susunan
$$\displaystyle 6!\cdot2$$
$$\displaystyle 720\cdot2=1440$$
Jadi, terdapat \(1.440\) susunan.
Soal 24
Tujuh siswa berbeda berdiri dalam satu baris. Jika Andi dan Bima tidak boleh berdampingan, berapa banyak susunan yang mungkin?
Jumlah seluruh susunan tanpa syarat adalah
$$\displaystyle 7!=5040$$
Susunan ketika Andi dan Bima berdampingan adalah
$$\displaystyle 2\cdot6!=1440$$
Maka susunan ketika keduanya tidak berdampingan adalah
$$\displaystyle 5040-1440$$
$$\displaystyle 3600$$
Jadi, terdapat \(3.600\) susunan.
Soal 25
Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari seluruh huruf pada kata KAKAK?
Kata KAKAK mempunyai 5 huruf.
Huruf K muncul 3 kali dan huruf A muncul 2 kali.
Banyak susunan berbeda adalah
$$\displaystyle \frac{5!}{3!2!}$$
$$\displaystyle \frac{120}{6\cdot2}$$
$$\displaystyle 10$$
Jadi, terdapat \(10\) susunan.
Soal 26
Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari seluruh huruf pada kata MATEMATIKA?
Kata MATEMATIKA mempunyai 10 huruf.
Huruf M muncul 2 kali.
Huruf A muncul 3 kali.
Huruf T muncul 2 kali.
Huruf E, I, dan K masing-masing muncul sekali.
Maka
$$\displaystyle \frac{10!}{2!3!2!}$$
$$\displaystyle \frac{3628800}{24}$$
$$\displaystyle 151200$$
Jadi, terdapat \(151.200\) susunan berbeda.
Soal 27
Delapan orang berbeda duduk mengelilingi meja bundar. Berapa banyak susunan duduk yang berbeda?
Karena duduk melingkar, susunan yang hanya berbeda akibat rotasi dianggap sama.
Gunakan permutasi siklis.
$$\displaystyle (8-1)!$$
$$\displaystyle 7!=5040$$
Jadi, terdapat \(5.040\) susunan.
Soal 28
Delapan orang berbeda duduk mengelilingi meja bundar. Jika Andi dan Bima harus berdampingan, berapa banyak susunan yang mungkin?
Anggap Andi dan Bima sebagai satu blok.
Sekarang terdapat 7 objek yang disusun melingkar.
Banyak susunannya adalah
$$\displaystyle (7-1)!=6!$$
Di dalam blok, Andi dan Bima dapat bertukar tempat dalam 2 cara.
$$\displaystyle 2\cdot6!$$
$$\displaystyle 2\cdot720=1440$$
Jadi, terdapat \(1.440\) susunan.
Soal 29
Delapan orang berbeda duduk mengelilingi meja bundar. Jika Andi dan Bima tidak boleh berdampingan, berapa banyak susunan yang mungkin?
Jumlah seluruh susunan melingkar adalah
$$\displaystyle 7!=5040$$
Jumlah susunan ketika Andi dan Bima berdampingan adalah
$$\displaystyle 2\cdot6!=1440$$
Maka
$$\displaystyle 5040-1440=3600$$
Jadi, terdapat \(3.600\) susunan.
Soal 30
Enam siswa laki-laki dan lima siswa perempuan berdiri dalam satu baris. Jika kelima siswa perempuan harus selalu berdampingan, berapa banyak susunan yang mungkin?
Anggap lima siswa perempuan sebagai satu blok.
Blok tersebut bersama 6 siswa laki-laki menghasilkan 7 objek.
Ketujuh objek dapat disusun dalam
$$\displaystyle 7!$$
cara.
Di dalam blok, kelima siswa perempuan dapat disusun dalam
$$\displaystyle 5!$$
cara.
Total susunan
$$\displaystyle 7!\cdot5!$$
$$\displaystyle 5040\cdot120$$
$$\displaystyle 604800$$
Jadi, terdapat \(604.800\) susunan.
Bagian D: Kombinasi
Soal 31
Dari 10 siswa akan dipilih 4 orang sebagai anggota tim tanpa pembagian jabatan. Berapa banyak tim yang dapat dibentuk?
Urutan anggota tidak penting, sehingga gunakan kombinasi.
$$\displaystyle C(10,4)=\frac{10!}{4!6!}$$
$$\displaystyle C(10,4)=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$$
$$\displaystyle C(10,4)=210$$
Jadi, terdapat \(210\) tim.
Soal 32
Dari 7 buku berbeda akan dipilih 3 buku untuk dibawa. Berapa banyak pilihan yang mungkin?
Urutan buku yang dipilih tidak penting.
$$\displaystyle C(7,3)=\frac{7!}{3!4!}$$
$$\displaystyle C(7,3)=35$$
Jadi, terdapat \(35\) pilihan.
Soal 33
Terdapat 5 siswa laki-laki dan 4 siswa perempuan. Akan dipilih 3 siswa dengan tepat 2 siswa perempuan. Berapa banyak kelompok yang dapat dibentuk?
Pilih 2 perempuan dari 4.
$$\displaystyle C(4,2)=6$$
Pilih 1 laki-laki dari 5.
$$\displaystyle C(5,1)=5$$
Kedua pilihan dilakukan bersama.
$$\displaystyle 6\cdot5=30$$
Jadi, terdapat \(30\) kelompok.
Soal 34
Terdapat 6 siswa laki-laki dan 5 siswa perempuan. Akan dipilih 4 siswa dengan sedikitnya 2 siswa perempuan. Berapa banyak kelompok yang mungkin?
Sedikitnya 2 perempuan menghasilkan tiga kasus.
Kasus 2 perempuan dan 2 laki-laki:
$$\displaystyle C(5,2)C(6,2)=10\cdot15=150$$
Kasus 3 perempuan dan 1 laki-laki:
$$\displaystyle C(5,3)C(6,1)=10\cdot6=60$$
Kasus 4 perempuan:
$$\displaystyle C(5,4)=5$$
Jumlah seluruhnya
$$\displaystyle 150+60+5=215$$
Jadi, terdapat \(215\) kelompok.
Soal 35
Dalam suatu ujian tersedia 12 soal. Seorang siswa harus mengerjakan 8 soal, tetapi soal nomor 1, 2, dan 3 wajib dikerjakan. Berapa banyak pilihan kumpulan soal yang dapat dikerjakan?
Tiga soal wajib sudah pasti dipilih.
Siswa masih perlu memilih
$$\displaystyle 8-3=5$$
soal dari 9 soal lainnya.
$$\displaystyle C(9,5)=126$$
Jadi, terdapat \(126\) pilihan.
Soal 36
Dari 12 siswa akan dipilih 5 siswa sebagai anggota panitia. Jika Andi wajib menjadi anggota panitia, berapa banyak panitia yang dapat dibentuk?
Andi sudah pasti dipilih.
Tinggal memilih 4 siswa dari 11 siswa lainnya.
$$\displaystyle C(11,4)$$
$$\displaystyle C(11,4)=330$$
Jadi, terdapat \(330\) panitia.
Soal 37
Dari 12 siswa akan dipilih 5 siswa sebagai anggota panitia. Jika Andi dan Bima tidak boleh terpilih bersama, berapa banyak panitia yang dapat dibentuk?
Gunakan total dikurangi kasus terlarang.
Jumlah semua panitia adalah
$$\displaystyle C(12,5)=792$$
Jika Andi dan Bima sama-sama terpilih, tinggal memilih 3 orang dari 10 siswa lainnya.
$$\displaystyle C(10,3)=120$$
Maka jumlah panitia yang memenuhi adalah
$$\displaystyle 792-120=672$$
Jadi, terdapat \(672\) panitia.
Soal 38
Dari 12 siswa akan dipilih 5 siswa. Jika tepat satu di antara Andi dan Bima harus terpilih, berapa banyak kelompok yang mungkin?
Pilih siapa di antara Andi dan Bima yang masuk.
$$\displaystyle 2$$
cara.
Setelah salah satunya terpilih, pilih 4 siswa dari 10 siswa lainnya.
$$\displaystyle C(10,4)=210$$
Maka
$$\displaystyle 2\cdot210=420$$
Jadi, terdapat \(420\) kelompok.
Soal 39
Terdapat 5 buku matematika dan 3 buku fisika yang semuanya berbeda. Akan dipilih 4 buku. Berapa banyak pilihan jika sedikitnya satu buku fisika harus dipilih?
Lebih cepat menggunakan komplemen.
Jumlah semua cara memilih 4 buku dari 8 adalah
$$\displaystyle C(8,4)=70$$
Kasus yang tidak memenuhi adalah memilih seluruhnya dari 5 buku matematika.
$$\displaystyle C(5,4)=5$$
Maka
$$\displaystyle 70-5=65$$
Jadi, terdapat \(65\) pilihan.
Soal 40
Empat bilangan berbeda dipilih dari \(1,2,3,\ldots,9\). Berapa banyak pilihan jika tidak ada dua bilangan terpilih yang berurutan?
Misalkan bilangan terpilih memenuhi
$$\displaystyle x_1<x_2<x_3<x_4$$
Karena tidak boleh berurutan,
$$\displaystyle x_{i+1}\geq x_i+2$$
Kita hilangkan tiga celah wajib dengan mendefinisikan
$$\displaystyle y_1=x_1$$
$$\displaystyle y_2=x_2-1$$
$$\displaystyle y_3=x_3-2$$
$$\displaystyle y_4=x_4-3$$
Sekarang \(y_1,y_2,y_3,y_4\) merupakan empat bilangan berbeda yang dipilih dari \(1\) sampai \(6\).
Maka banyak pilihan adalah
$$\displaystyle C(6,4)=15$$
Jadi, terdapat \(15\) pilihan.
Bagian E: Soal Sulit dan HOTS
Soal 41
Delapan siswa berbeda akan dibagi ke dalam empat kelompok bernama A, B, C, dan D. Setiap kelompok harus berisi tepat dua siswa. Berapa banyak pembagian yang mungkin?
Karena kelompok A, B, C, dan D mempunyai nama berbeda, setiap kelompok dapat dipilih secara berurutan.
Untuk kelompok A,
$$\displaystyle C(8,2)$$
Untuk kelompok B,
$$\displaystyle C(6,2)$$
Untuk kelompok C,
$$\displaystyle C(4,2)$$
Dua siswa terakhir otomatis masuk kelompok D.
$$\displaystyle C(2,2)=1$$
Maka
$$\displaystyle C(8,2)C(6,2)C(4,2)$$
$$\displaystyle 28\cdot15\cdot6$$
$$\displaystyle 2520$$
Jadi, terdapat \(2.520\) pembagian.
Soal 42
Delapan siswa berbeda akan dibagi menjadi empat pasangan. Pasangan-pasangan tersebut tidak diberi nama. Berapa banyak pembagian yang berbeda?
Jika kita menyusun seluruh 8 siswa terlebih dahulu, terdapat
$$\displaystyle 8!$$
susunan.
Kemudian bentuk pasangan dari posisi 1-2, 3-4, 5-6, dan 7-8.
Urutan dua orang di dalam setiap pasangan tidak penting, sehingga kita membagi dengan \(2!\) untuk masing-masing empat pasangan.
Selain itu, urutan keempat pasangan juga tidak penting, sehingga dibagi lagi dengan \(4!\).
$$\displaystyle \frac{8!}{(2!)^4 4!}$$
$$\displaystyle \frac{40320}{16\cdot24}$$
$$\displaystyle 105$$
Jadi, terdapat \(105\) pembagian.
Soal 43
Enam pasangan suami istri berbeda berdiri dalam satu baris. Jika setiap pasangan harus selalu berdampingan, berapa banyak susunan yang mungkin?
Anggap setiap pasangan sebagai satu blok.
Terdapat 6 blok yang dapat disusun dalam
$$\displaystyle 6!$$
cara.
Di dalam setiap pasangan, kedua orang dapat bertukar tempat dalam 2 cara.
Karena terdapat 6 pasangan,
$$\displaystyle 2^6$$
susunan internal.
Maka total susunan
$$\displaystyle 6!\cdot2^6$$
$$\displaystyle 720\cdot64$$
$$\displaystyle 46080$$
Jadi, terdapat \(46.080\) susunan.
Soal 44
Lima siswa laki-laki dan empat siswa perempuan yang semuanya berbeda berdiri dalam satu baris secara berselang-seling. Berapa banyak susunan yang mungkin?
Karena jumlah laki-laki satu lebih banyak, pola harus berupa
\(L-P-L-P-L-P-L-P-L\).
Lima siswa laki-laki dapat disusun pada lima tempat laki-laki dalam
$$\displaystyle 5!$$
cara.
Empat siswa perempuan dapat disusun dalam
$$\displaystyle 4!$$
cara.
Maka
$$\displaystyle 5!\cdot4!$$
$$\displaystyle 120\cdot24$$
$$\displaystyle 2880$$
Jadi, terdapat \(2.880\) susunan.
Soal 45
Babak final suatu kompetisi diikuti 11 peserta. Dua peserta tertentu, yaitu A dan B, dipastikan menempati juara I dan juara II dalam urutan yang belum diketahui. Berapa banyak susunan juara I, II, dan III yang mungkin?
A dan B menempati posisi juara I dan II.
Mereka dapat bertukar posisi dalam
$$\displaystyle 2!=2$$
cara.
Setelah A dan B menempati dua posisi teratas, juara III dapat dipilih dari 9 peserta lainnya.
$$\displaystyle 9$$
pilihan.
Gunakan aturan perkalian.
$$\displaystyle 2\cdot9=18$$
Jadi, terdapat \(18\) susunan juara.
Soal 46
Tujuh orang berbeda duduk mengelilingi meja bundar. Jika A, B, dan C harus selalu duduk berurutan tanpa disela orang lain, berapa banyak susunan yang mungkin?
Anggap A, B, dan C sebagai satu blok.
Blok tersebut bersama 4 orang lainnya menghasilkan 5 objek yang disusun melingkar.
Jumlah susunan melingkar 5 objek adalah
$$\displaystyle (5-1)!=4!$$
Di dalam blok, A, B, dan C dapat disusun dalam
$$\displaystyle 3!$$
cara.
Maka
$$\displaystyle 4!\cdot3!$$
$$\displaystyle 24\cdot6$$
$$\displaystyle 144$$
Jadi, terdapat \(144\) susunan.
Soal 47
Dari 7 siswa laki-laki dan 5 siswa perempuan akan dipilih 5 siswa. Berapa banyak kelompok jika sedikitnya 2 laki-laki dan sedikitnya 2 perempuan harus terpilih?
Karena total anggota 5 dan masing-masing kelompok gender harus berjumlah sedikitnya 2, hanya ada dua komposisi.
Kasus pertama, 2 laki-laki dan 3 perempuan.
$$\displaystyle C(7,2)C(5,3)$$
$$\displaystyle 21\cdot10=210$$
Kasus kedua, 3 laki-laki dan 2 perempuan.
$$\displaystyle C(7,3)C(5,2)$$
$$\displaystyle 35\cdot10=350$$
Jumlah seluruhnya
$$\displaystyle 210+350=560$$
Jadi, terdapat \(560\) kelompok.
Soal 48
Berapa banyak bilangan lima angka genap yang lebih besar dari \(50000\) dapat dibentuk dari angka \(0,1,2,3,4,5,6,7\) tanpa pengulangan?
Agar lebih besar dari \(50000\), digit pertama harus \(5,6,\) atau \(7\).
Agar genap, digit terakhir harus \(0,2,4,\) atau \(6\).
Kita bagi menjadi dua kasus.
Jika digit pertama \(5\) atau \(7\), terdapat 2 pilihan.
Digit terakhir dapat dipilih dari \(0,2,4,6\), sehingga ada 4 pilihan.
Setelah digit pertama dan terakhir digunakan, tiga posisi tengah diisi dengan 3 dari 6 digit yang tersisa.
$$\displaystyle P(6,3)=6\cdot5\cdot4=120$$
Jumlah kasus ini
$$\displaystyle 2\cdot4\cdot120=960$$
Jika digit pertama adalah \(6\), digit terakhir tidak boleh 6 lagi.
Digit terakhir hanya dapat \(0,2,\) atau \(4\), sehingga ada 3 pilihan.
Tiga posisi tengah kembali mempunyai
$$\displaystyle P(6,3)=120$$
susunan.
Jumlah kasus kedua
$$\displaystyle 3\cdot120=360$$
Total
$$\displaystyle 960+360=1320$$
Jadi, terdapat \(1.320\) bilangan.
Soal 49
Terdapat 6 buku matematika dan 5 buku fisika yang semuanya berbeda. Empat buku akan dipilih. Berapa banyak pilihan jika harus terdapat sedikitnya satu buku matematika dan sedikitnya satu buku fisika?
Gunakan total dikurangi pilihan yang hanya berasal dari satu jenis.
Jumlah semua cara memilih 4 buku dari 11 adalah
$$\displaystyle C(11,4)=330$$
Pilihan yang seluruhnya matematika adalah
$$\displaystyle C(6,4)=15$$
Pilihan yang seluruhnya fisika adalah
$$\displaystyle C(5,4)=5$$
Maka jumlah pilihan yang mengandung kedua jenis buku adalah
$$\displaystyle 330-15-5$$
$$\displaystyle 310$$
Jadi, terdapat \(310\) pilihan.
Soal 50
Dari 10 siswa akan dibentuk panitia beranggotakan 4 orang. Setelah anggota dipilih, satu orang menjadi ketua dan satu orang menjadi sekretaris. Andi wajib menjadi anggota panitia, tetapi tidak boleh menjadi ketua. Berapa banyak susunan panitia yang mungkin?
Kita dapat menyelesaikannya dengan memilih anggota terlebih dahulu.
Karena Andi wajib masuk, pilih 3 anggota lain dari 9 siswa.
$$\displaystyle C(9,3)=84$$
Sekarang terdapat 4 anggota, termasuk Andi.
Ketua tidak boleh Andi, sehingga ketua dapat dipilih dari 3 anggota lain.
$$\displaystyle 3$$
pilihan.
Setelah ketua ditentukan, sekretaris dapat dipilih dari 3 anggota yang tersisa, termasuk kemungkinan Andi.
$$\displaystyle 3$$
pilihan.
Maka untuk setiap kelompok anggota terdapat
$$\displaystyle 3\cdot3=9$$
susunan jabatan.
Jumlah keseluruhan adalah
$$\displaystyle 84\cdot9$$
$$\displaystyle 756$$
Jadi, terdapat \(756\) susunan panitia.
Soal ini menunjukkan bahwa kombinasi dan permutasi dapat digunakan dalam satu masalah. Kombinasi digunakan untuk memilih anggota, kemudian aturan perkalian digunakan untuk membagikan jabatan.
Cek Pemahaman
Cobalah menjawab pertanyaan berikut tanpa langsung melihat rumus.
- Mengapa memilih satu buku dari kelompok matematika atau fisika menggunakan aturan penjumlahan, sedangkan memilih satu kemeja dan satu celana menggunakan aturan perkalian?
- Apa yang berubah pada metode pengisian tempat jika pengulangan objek tidak diperbolehkan?
- Mengapa angka \(0\) membutuhkan perhatian khusus pada soal pembentukan bilangan?
- Mengapa kelompok A-B-C sama dengan C-B-A pada kombinasi, tetapi susunan ketua A, wakil B berbeda dari ketua B, wakil A?
- Kapan strategi menghitung seluruh kemungkinan lalu mengurangi kasus terlarang lebih efisien?
Refleksi
Pertama, rumus permutasi sebenarnya dapat diturunkan dari aturan perkalian. Bisakah kamu menjelaskan mengapa banyak pilihan pada setiap posisi terus berkurang satu?
Kedua, mengapa rumus kombinasi mempunyai faktor \(r!\) pada penyebutnya? Apa yang akan terjadi jika faktor tersebut tidak dibagi?
Ketiga, dalam soal pembentukan bilangan genap, mengapa membagi masalah menjadi kasus digit terakhir \(0\) dan digit terakhir bukan \(0\) sering diperlukan?
Keempat, pada soal sulit, bagaimana kamu menentukan apakah teknik blok, komplemen, kombinasi, atau pembagian kasus merupakan strategi yang paling efisien?
Kesalahan Umum dalam Aturan Pencacahan
Kesalahan pertama adalah langsung mencari rumus tanpa memahami objek yang dihitung. Padahal banyak soal dapat diselesaikan hanya dengan aturan penjumlahan atau aturan perkalian.
Kesalahan kedua adalah menganggap semua soal yang memuat kata “memilih” menggunakan kombinasi. Memilih ketua dan wakil memang merupakan proses memilih, tetapi karena kedua jabatan berbeda, urutan peran penting sehingga digunakan permutasi.
Kesalahan ketiga adalah mengabaikan larangan pengulangan. Jika suatu objek sudah digunakan dan tidak boleh dipakai lagi, jumlah pilihan tahap berikutnya harus berkurang.
Kesalahan keempat adalah memperbolehkan \(0\) pada posisi pertama sebuah bilangan. Angka \(0\) boleh muncul pada posisi lain, tetapi tidak dapat menjadi digit pertama jika jumlah digit bilangan sudah ditentukan.
Kesalahan kelima adalah menggunakan \(n!\) ketika terdapat unsur yang sama. Pertukaran dua objek identik tidak menghasilkan susunan baru, sehingga harus ada pembagian dengan faktorial banyak objek yang sama.
Kesalahan keenam adalah menggunakan \(n!\) untuk susunan melingkar. Pada meja bundar, susunan yang hanya berbeda karena rotasi dianggap sama. Untuk \(n\) objek berbeda, gunakan \((n-1)!\).
Kesalahan ketujuh adalah lupa memperhitungkan susunan di dalam blok. Jika A dan B dianggap satu blok, blok AB masih dapat disusun sebagai AB atau BA. Faktor \(2!\) tersebut tidak boleh hilang.
Kesalahan kedelapan adalah menghitung kasus “tidak berdampingan” secara langsung padahal metode total dikurangi kasus berdampingan jauh lebih singkat.
Kesalahan kesembilan adalah menjumlahkan beberapa kasus yang ternyata tumpang tindih. Jika satu hasil masuk ke dua kasus, hasil tersebut akan terhitung lebih dari sekali.
Kesalahan kesepuluh adalah menganggap jawaban yang besar pasti salah. Dalam kombinatorika, pertumbuhan jumlah kemungkinan sangat cepat. Bahkan menyusun 10 objek berbeda sudah menghasilkan
$$\displaystyle 10!=3628800$$
kemungkinan.
Cara Cepat Membedakan Metode
Aturan penjumlahan: pilih salah satu dari beberapa kasus terpisah.
Aturan perkalian: hasil terbentuk melalui beberapa tahap.
Faktorial: menyederhanakan perkalian bilangan positif berurutan dan menjadi dasar permutasi serta kombinasi.
Permutasi: urutan atau posisi penting.
Permutasi dengan unsur sama: ada objek identik sehingga pertukarannya tidak menghasilkan susunan baru.
Permutasi siklis: susunan dilakukan melingkar dan rotasi dianggap sama.
Kombinasi: hanya anggota yang dipilih yang penting, bukan urutannya.
Teknik blok: beberapa objek harus berdampingan.
Komplemen pencacahan: hitung seluruh kemungkinan lalu kurangi kasus yang dilarang.
Pembagian kasus: digunakan jika suatu syarat membuat beberapa pola berbeda, misalnya digit terakhir \(0\) atau bukan \(0\).
Hubungan Antarkonsep
Jika dipelajari secara terpisah, materi ini terlihat mempunyai banyak rumus. Namun sebenarnya alurnya sangat sederhana.
Aturan perkalian mengatakan bahwa banyak kemungkinan suatu proses bertahap diperoleh dengan mengalikan banyak pilihan pada setiap tahap.
Dari aturan perkalian, menyusun \(r\) objek dari \(n\) objek tanpa pengulangan menghasilkan
$$\displaystyle n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)$$
Notasi faktorial menyingkat bentuk tersebut menjadi
$$\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}$$
Itulah permutasi.
Jika urutan \(r\) objek tidak lagi dianggap berbeda, setiap kelompok telah dihitung sebanyak \(r!\) kali. Karena itu, permutasi dibagi \(r!\).
$$\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}$$
Itulah kombinasi.
Jadi, aturan perkalian, faktorial, permutasi, dan kombinasi bukan empat topik yang berdiri sendiri. Semuanya merupakan perkembangan dari ide pencacahan yang sama.
Kesimpulan
Aturan pencacahan membantu kita menentukan banyak kemungkinan secara sistematis tanpa harus mendaftar seluruh hasil satu per satu.
Aturan penjumlahan digunakan ketika kita memilih salah satu dari beberapa kasus yang terpisah. Aturan perkalian digunakan ketika satu hasil terbentuk melalui beberapa tahap. Metode pengisian tempat merupakan cara praktis untuk menerapkan aturan perkalian pada kode, bilangan, susunan, dan berbagai proses bertahap.
Faktorial menyingkat perkalian bilangan bulat positif berurutan dan menjadi fondasi rumus permutasi serta kombinasi.
Permutasi digunakan ketika urutan penting.
$$\displaystyle P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$$
Jika seluruh objek disusun, banyak susunannya adalah \(n!\). Jika terdapat objek identik, kita harus membagi dengan faktorial banyak objek yang sama. Jika susunan dilakukan melingkar, banyak susunan \(n\) objek berbeda adalah \((n-1)!\).
Kombinasi digunakan ketika urutan tidak penting.
$$\displaystyle C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$
Hubungan keduanya adalah
$$\displaystyle P(n,r)=C(n,r)r!$$
Pada soal yang lebih menantang, satu rumus jarang cukup. Kita mungkin perlu menggabungkan pembagian kasus, aturan penjumlahan, aturan perkalian, teknik blok, komplemen pencacahan, permutasi, dan kombinasi.
Karena itu, strategi terbaik bukan menghafal sebanyak mungkin bentuk soal. Biasakan membaca struktur masalah dan bertanya: apa yang dipilih, apa yang disusun, apakah urutan penting, apakah boleh berulang, apakah terdapat syarat khusus, dan apakah ada cara menghitung kasus terlarang dengan lebih cepat.
Jika pertanyaan-pertanyaan tersebut sudah menjadi kebiasaan, soal kombinatorika yang panjang akan terasa lebih terstruktur dan jauh lebih mudah dianalisis.
FAQ
Apa yang dimaksud dengan aturan pencacahan?
Aturan pencacahan adalah prinsip untuk menghitung banyak kemungkinan suatu proses, pilihan, atau susunan tanpa harus menuliskan semua kemungkinan satu per satu. Dua prinsip dasarnya adalah aturan penjumlahan dan aturan perkalian.
Apa perbedaan aturan penjumlahan dan aturan perkalian?
Aturan penjumlahan digunakan ketika kita memilih salah satu dari beberapa kasus yang saling terpisah. Aturan perkalian digunakan ketika satu hasil terbentuk melalui beberapa tahap yang semuanya harus dilakukan.
Apa perbedaan permutasi dan kombinasi?
Permutasi digunakan ketika urutan atau posisi penting. Kombinasi digunakan ketika yang penting hanya objek yang terpilih. Memilih ketua dan wakil menggunakan permutasi, sedangkan memilih dua anggota tim menggunakan kombinasi.
Kapan menggunakan permutasi dengan unsur yang sama?
Permutasi dengan unsur yang sama digunakan ketika beberapa objek identik. Karena menukar objek identik tidak menghasilkan susunan baru, jumlah seluruh permutasi harus dibagi dengan faktorial banyaknya objek identik tersebut.
Bagaimana cara menghadapi soal aturan pencacahan HOTS?
Jangan langsung memasukkan angka ke rumus. Tentukan lebih dahulu objek yang dihitung, periksa apakah urutan penting, identifikasi syarat seperti tidak boleh berulang atau harus berdampingan, kemudian pilih strategi berupa pengisian tempat, pembagian kasus, teknik blok, komplemen, permutasi, atau kombinasi. Setelah memperoleh hasil, periksa kembali apakah ada kemungkinan yang terhitung dua kali atau justru belum terhitung.
Tinggalkan komentar