Persamaan lingkaran dan garis singgung lingkaran sering terlihat seperti materi yang dipenuhi banyak rumus. Ada persamaan baku, bentuk umum, rumus pusat, jari-jari, kedudukan titik, kedudukan garis, sampai beberapa bentuk persamaan garis singgung.
Kalau semuanya dihafal satu per satu, materi ini memang terasa padat.
Namun sebenarnya hampir semua konsep tersebut terhubung oleh satu ide yang sangat sederhana, yaitu jarak.
Sebuah lingkaran terbentuk karena semua titik pada kelilingnya mempunyai jarak yang sama terhadap pusat.
Sebuah titik dikatakan berada di dalam atau di luar lingkaran karena jaraknya terhadap pusat dibandingkan dengan jari-jari.
Sebuah garis menyinggung lingkaran ketika jarak pusat ke garis tepat sama dengan jari-jari.
Bahkan ketika membahas dua lingkaran, kita kembali membandingkan jarak antarpusat dengan jumlah atau selisih jari-jarinya.
Jadi, daripada menghafal banyak rumus sebagai potongan terpisah, jauh lebih efektif jika kita membangun satu peta konsep:
pusat → jari-jari → jarak → kedudukan → garis singgung.
Kalau urutan berpikir ini sudah terbentuk, soal yang kelihatannya panjang akan terasa jauh lebih terstruktur.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan mampu:
- memahami lingkaran sebagai himpunan titik yang berjarak sama terhadap pusat;
- menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik asal;
- menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik tertentu;
- menentukan pusat dan jari-jari dari bentuk umum persamaan lingkaran;
- menentukan persamaan lingkaran jika diketahui diameter;
- menentukan persamaan lingkaran jika diketahui kedua ujung diameter;
- menentukan kedudukan sebuah titik terhadap lingkaran;
- menentukan kedudukan sebuah garis terhadap lingkaran;
- menentukan kedudukan dua lingkaran;
- memahami hubungan jari-jari dan garis singgung;
- menentukan persamaan garis singgung di suatu titik;
- menentukan garis singgung dengan arah tertentu;
- menentukan dua garis singgung dari sebuah titik di luar lingkaran;
- memilih strategi penyelesaian yang paling efisien;
- memeriksa kewajaran jawaban melalui visual dan konsep geometri.
Mari Berpikir
Bayangkan sebuah titik \(P\) berada pada bidang koordinat.
Sekarang kita memilih semua titik yang jaraknya tepat \(5\) satuan dari titik \(P\).
Kalau semua titik itu digambar, bentuk yang muncul adalah sebuah lingkaran.
Artinya, lingkaran sebenarnya bukan sekadar gambar bundar. Lingkaran adalah kumpulan titik yang memenuhi syarat jarak tertentu.
Sekarang bayangkan sebuah garis bergerak dari jauh menuju lingkaran.
Pada awalnya garis sama sekali tidak bertemu lingkaran.
Ketika digeser semakin dekat, suatu saat garis tepat menyentuh lingkaran pada satu titik.
Jika digeser sedikit lagi ke arah pusat, garis akan memotong lingkaran pada dua titik.
Apa yang berubah?
Bukan bentuk lingkarannya.
Yang berubah adalah jarak garis terhadap pusat lingkaran.
Inilah alasan konsep jarak akan terus muncul sepanjang materi.
Pengertian Lingkaran pada Bidang Koordinat
Secara geometris, lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang yang mempunyai jarak sama terhadap sebuah titik tetap.
Titik tetap tersebut disebut pusat lingkaran.
Jarak tetap tersebut disebut jari-jari.
Misalkan pusat lingkaran adalah \(P(a,b)\).
Ambil sembarang titik \(T(x,y)\) pada lingkaran.
Karena jarak \(PT\) selalu sama dengan jari-jari \(r\), maka berdasarkan rumus jarak dua titik berlaku
$$\displaystyle \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r$$
Kuadratkan kedua ruas.
$$\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Inilah persamaan baku lingkaran dengan pusat \(P(a,b)\) dan jari-jari \(r\).
Pada grafik tersebut, pusat berada di \(P(2,-1)\).
Ambil titik mana pun pada keliling lingkaran. Jaraknya terhadap \(P\) selalu \(4\) satuan.
Itulah alasan persamaannya dapat ditulis
$$\displaystyle (x-2)^2+(y+1)^2=16$$
Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik Asal
Jika pusat lingkaran berada di titik asal \(O(0,0)\), maka pada bentuk
$$\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
kita mempunyai \(a=0\) dan \(b=0\).
Persamaan lingkarannya menjadi
$$\displaystyle x^2+y^2=r^2$$
Contohnya, lingkaran dengan jari-jari \(2\) mempunyai persamaan
$$\displaystyle x^2+y^2=4$$
karena
$$\displaystyle r^2=2^2=4$$
Perhatikan satu kesalahan yang sering terjadi.
Jika persamaan lingkarannya
$$\displaystyle x^2+y^2=25$$
bukan berarti jari-jarinya \(25\).
Yang diberikan pada ruas kanan adalah \(r^2\).
Jadi
$$\displaystyle r^2=25$$
sehingga
$$\displaystyle r=5$$
Membaca Pusat dan Jari-jari dari Bentuk Baku
Perhatikan persamaan berikut.
$$\displaystyle (x-3)^2+(y+2)^2=25$$
Bandingkan dengan
$$\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Bagian pertama memberi
$$\displaystyle a=3$$
Sementara
$$\displaystyle y+2=y-(-2)$$
sehingga
$$\displaystyle b=-2$$
Untuk jari-jari,
$$\displaystyle r^2=25$$
maka
$$\displaystyle r=5$$
Jadi pusat lingkarannya adalah \(P(3,-2)\) dan jari-jarinya \(5\).
Waspadai Tanda di Dalam Kurung
Perhatikan
$$\displaystyle (x+4)^2+(y-1)^2=9$$
Karena
$$\displaystyle x+4=x-(-4)$$
maka pusatnya adalah
$$\displaystyle (-4,1)$$
bukan \((4,-1)\).
Ini kesalahan kecil yang sangat sering membuat seluruh jawaban berikutnya salah.
Menentukan Persamaan Lingkaran dari Pusat dan Jari-jari
Jika pusat dan jari-jari sudah diketahui, kita tinggal menggunakan bentuk baku.
Misalnya pusat lingkaran adalah \(P(3,-2)\) dan jari-jari \(5\).
Substitusikan ke
$$\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Diperoleh
$$\displaystyle (x-3)^2+(y+2)^2=25$$
Kalau soal hanya meminta persamaan lingkaran, sebenarnya kita tidak perlu mengembangkan bentuk tersebut.
Bentuk baku justru lebih informatif karena pusat dan jari-jari langsung terlihat.
Jika yang Diketahui Diameter
Diameter adalah dua kali jari-jari.
$$\displaystyle d=2r$$
Jadi
$$\displaystyle r=\frac d2$$
Misalnya diameter sebuah lingkaran adalah \(6\sqrt5\).
Maka
$$\displaystyle r=\frac{6\sqrt5}{2}=3\sqrt5$$
Sehingga
$$\displaystyle r^2=45$$
Jangan langsung memasukkan diameter ke posisi \(r\). Itu akan membuat ukuran lingkaran menjadi salah.
Jika Kedua Ujung Diameter Diketahui
Misalkan ujung-ujung diameter adalah \(A(x_1,y_1)\) dan \(B(x_2,y_2)\).
Pusat lingkaran adalah titik tengah ruas \(AB\).
$$\displaystyle P\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$$
Panjang diameter adalah
$$\displaystyle AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
Jari-jari adalah setengah diameter.
$$\displaystyle r=\frac{AB}{2}$$
Kalau hanya membutuhkan \(r^2\), kita bisa langsung menulis
$$\displaystyle r^2=\frac{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}{4}$$
Contoh
Diketahui \(A(5,-2)\) dan \(B(-3,-4)\) merupakan ujung diameter.
Pusat lingkarannya
$$\displaystyle P\left(\frac{5+(-3)}2,\frac{-2+(-4)}2\right)$$
$$\displaystyle P(1,-3)$$
Selanjutnya,
$$\displaystyle r^2=\frac{(-3-5)^2+[-4-(-2)]^2}{4}$$
$$\displaystyle r^2=\frac{64+4}{4}$$
$$\displaystyle r^2=17$$
Jadi persamaan lingkarannya
$$\displaystyle (x-1)^2+(y+3)^2=17$$
Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Selain bentuk baku, persamaan lingkaran sering ditulis sebagai
$$\displaystyle x^2+y^2+Ax+By+C=0$$
Dari bentuk ini, pusat dan jari-jari belum terlihat secara langsung.
Kita dapat mengubahnya ke bentuk baku menggunakan teknik melengkapkan kuadrat.
Kelompokkan bagian \(x\) dan \(y\).
$$\displaystyle x^2+Ax+y^2+By=-C$$
Untuk bagian \(x\),
$$\displaystyle x^2+Ax=\left(x+\frac A2\right)^2-\frac{A^2}{4}$$
Untuk bagian \(y\),
$$\displaystyle y^2+By=\left(y+\frac B2\right)^2-\frac{B^2}{4}$$
Dari hasil tersebut dapat diperoleh pusat
$$\displaystyle P\left(-\frac A2,-\frac B2\right)$$
dan jari-jari
$$\displaystyle r=\sqrt{\frac{A^2+B^2}{4}-C}$$
Rumus cepat ini boleh digunakan, tetapi memahami proses melengkapkan kuadrat akan membuat kita lebih fleksibel saat bentuk persamaan sedikit berbeda.
Contoh Mengubah Bentuk Umum ke Bentuk Baku
Perhatikan
$$\displaystyle 2x^2+2y^2+8x-16y-32=0$$
Pertama, bagi seluruh persamaan dengan \(2\).
$$\displaystyle x^2+y^2+4x-8y-16=0$$
Pindahkan konstanta ke ruas kanan.
$$\displaystyle x^2+4x+y^2-8y=16$$
Lengkapi kuadrat bagian \(x\).
$$\displaystyle x^2+4x+4=(x+2)^2$$
Lengkapi kuadrat bagian \(y\).
$$\displaystyle y^2-8y+16=(y-4)^2$$
Karena kita menambahkan \(4\) dan \(16\) di ruas kiri, jumlah yang sama harus ditambahkan di ruas kanan.
$$\displaystyle (x+2)^2+(y-4)^2=16+4+16$$
$$\displaystyle (x+2)^2+(y-4)^2=36$$
Jadi pusatnya
$$\displaystyle (-2,4)$$
dan jari-jarinya
$$\displaystyle r=6$$
Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
Misalkan lingkaran mempunyai pusat \(P(a,b)\) dan jari-jari \(r\).
Ada sebuah titik \(T(x_1,y_1)\).
Kedudukan titik dapat ditentukan dengan membandingkan jarak \(PT\) terhadap \(r\).
Jika
$$\displaystyle PT<r$$ <p=””>maka titik berada di dalam lingkaran.
Jika
$$\displaystyle PT=r$$
maka titik berada pada lingkaran.
Jika
$$\displaystyle PT>r$$
maka titik berada di luar lingkaran.
Karena semua nilai jarak tidak negatif, kita biasanya tidak perlu menghitung akar.
Cukup bandingkan kuadrat jaraknya.
Di dalam:
$$\displaystyle (x_1-a)^2+(y_1-b)^2<r^2$$ Pada:
$$\displaystyle (x_1-a)^2+(y_1-b)^2=r^2$$
Di luar:
$$\displaystyle (x_1-a)^2+(y_1-b)^2>r^2$$
Cara Cepat untuk Lingkaran Bentuk Umum
Jika lingkaran ditulis
$$\displaystyle x^2+y^2+Ax+By+C=0$$
kita dapat mendefinisikan
$$\displaystyle F(x,y)=x^2+y^2+Ax+By+C$$
Untuk titik \(T(x_1,y_1)\):
- jika \(F(x_1,y_1)<0\), titik berada di dalam;
- jika \(F(x_1,y_1)=0\), titik berada pada lingkaran;
- jika \(F(x_1,y_1)>0\), titik berada di luar.
Contohnya, lingkaran
$$\displaystyle x^2+y^2+5x-3y-8=0$$
dan titik \((2,1)\).
Substitusi:
$$\displaystyle F(2,1)=4+1+10-3-8$$
$$\displaystyle F(2,1)=4$$
Karena positif, titik tersebut berada di luar lingkaran.
Titik dengan Parameter
Misalkan titik \(P(3,m)\) berada di dalam
$$\displaystyle (x-6)^2+(y-3)^2=25$$
Syarat berada di dalam adalah
$$\displaystyle (3-6)^2+(m-3)^2<25$$
$$\displaystyle 9+(m-3)^2<25$$
$$\displaystyle (m-3)^2<16$$
Artinya
$$\displaystyle -4<m-3<4$$ Tambahkan (3).
$$\displaystyle -1<m<7$$ Jadi parameter pada soal lingkaran tidak selalu menghasilkan satu nilai. Kadang hasilnya berupa interval.
Kedudukan Garis terhadap Lingkaran
Sebuah garis terhadap lingkaran mempunyai tiga kemungkinan utama.
- tidak berpotongan;
- menyinggung pada satu titik;
- memotong pada dua titik.
Kuncinya kembali pada jarak.
Misalkan pusat lingkaran \(P(a,b)\), jari-jari \(r\), dan garis
$$\displaystyle Ax+By+C=0$$
Jarak pusat ke garis adalah
$$\displaystyle d=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
Bandingkan dengan \(r\).
Jika
$$\displaystyle d>r$$
garis tidak berpotongan dengan lingkaran.
Jika
$$\displaystyle d=r$$
garis menyinggung lingkaran.
Jika
$$\displaystyle d<r$$ garis memotong lingkaran pada dua titik.
Kedudukan Garis dengan Metode Diskriminan
Ada cara kedua.
Substitusikan persamaan garis ke persamaan lingkaran.
Biasanya akan diperoleh persamaan kuadrat.
$$\displaystyle ax^2+bx+c=0$$
Hitung diskriminannya.
$$\displaystyle D=b^2-4ac$$
Jika \(D>0\), ada dua titik potong.
Jika \(D=0\), hanya ada satu titik potong sehingga garis menyinggung.
Jika \(D<0\), tidak terdapat titik potong real.
Metode diskriminan bagus ketika substitusi sangat sederhana.
Namun, kalau pusat dan jari-jari mudah ditemukan, metode jarak biasanya lebih cepat.
Kedudukan Dua Lingkaran
Misalkan dua lingkaran mempunyai jari-jari \(r_1\) dan \(r_2\).
Jarak antarpusatnya adalah \(d\).
Hubungannya dapat dibaca seperti berikut.
Jika
$$\displaystyle d>r_1+r_2$$
kedua lingkaran terpisah.
Jika
$$\displaystyle d=r_1+r_2$$
kedua lingkaran bersinggungan luar.
Jika
$$\displaystyle |r_1-r_2|<d<r_1+r_2$$ kedua lingkaran berpotongan pada dua titik.
Jika
$$\displaystyle d=|r_1-r_2|$$
kedua lingkaran bersinggungan dalam.
Jika
$$\displaystyle d<|r_1-r_2|$$
satu lingkaran berada di dalam lingkaran lain tanpa bersinggungan.
Kalau pusat dan jari-jarinya sama, kedua lingkaran berimpit.
Konsep Garis Singgung Lingkaran
Garis singgung lingkaran adalah garis yang mempunyai tepat satu titik persekutuan dengan lingkaran.
Titik tersebut disebut titik singgung.
Sifat paling penting adalah:
jari-jari yang menuju titik singgung selalu tegak lurus terhadap garis singgung.
Jika pusatnya \(P\), titik singgungnya \(T\), dan garis singgungnya \(g\), maka
$$\displaystyle PT\perp g$$
Pada gambar, titik singgung adalah \(T(4,0)\).
Jari-jari \(OT\) horizontal.
Garis singgung \(x=4\) vertikal.
Keduanya tegak lurus.
Persamaan Garis Singgung pada Lingkaran Berpusat di O
Untuk lingkaran
$$\displaystyle x^2+y^2=r^2$$
dan titik singgung \(T(x_1,y_1)\), persamaan garis singgungnya adalah
$$\displaystyle x_1x+y_1y=r^2$$
Misalnya titik \(T(3,4)\) berada pada lingkaran
$$\displaystyle x^2+y^2=25$$
karena
$$\displaystyle 3^2+4^2=25$$
Maka persamaan garis singgungnya
$$\displaystyle 3x+4y=25$$
Mengapa Rumus Ini Masuk Akal?
Vektor dari pusat ke titik singgung adalah \((x_1,y_1)\).
Vektor tersebut tegak lurus garis singgung, sehingga menjadi vektor normal garis.
Karena itu koefisien \(x\) dan \(y\) pada persamaan garis singgung berkaitan langsung dengan \(x_1\) dan \(y_1\).
Persamaan Garis Singgung pada Pusat P(a,b)
Jika lingkaran
$$\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
dan titik singgungnya \(T(x_1,y_1)\), persamaan garis singgung dapat ditulis
$$\displaystyle (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$$
Bentuk tersebut sangat natural karena \((x_1-a,y_1-b)\) merupakan vektor jari-jari menuju titik singgung.
Persamaan Garis Singgung dari Bentuk Umum
Untuk lingkaran
$$\displaystyle x^2+y^2+Ax+By+C=0$$
yang melalui titik singgung \(T(x_1,y_1)\), persamaan garis singgung dapat ditulis
$$\displaystyle xx_1+yy_1+\frac A2(x+x_1)+\frac B2(y+y_1)+C=0$$
Namun ada satu kebiasaan yang wajib dilakukan sebelum menggunakan rumus tersebut.
Cek terlebih dahulu apakah titik yang diberikan benar-benar berada pada lingkaran.
Kalau titik berada di luar, biasanya terdapat dua garis singgung.
Kalau titik berada di dalam, tidak ada garis singgung real yang melalui titik tersebut.
Mengecek Titik Sebelum Mencari Garis Singgung
Misalkan titik \(T(2,-5)\) dan lingkaran
$$\displaystyle x^2+y^2-2x+6y+5=0$$
Substitusikan titik.
$$\displaystyle 2^2+(-5)^2-2(2)+6(-5)+5$$
$$\displaystyle 4+25-4-30+5$$
$$\displaystyle 0$$
Karena hasilnya nol, titik tersebut berada pada lingkaran.
Berarti melalui titik tersebut hanya ada satu garis singgung.
Garis Singgung dengan Gradien Diketahui
Untuk lingkaran
$$\displaystyle x^2+y^2=r^2$$
misalkan garis singgung mempunyai gradien \(m\).
Bentuk umum garis dapat ditulis
$$\displaystyle y=mx+c$$
atau
$$\displaystyle mx-y+c=0$$
Karena garis menyinggung, jarak pusat \(O(0,0)\) terhadap garis sama dengan \(r\).
$$\displaystyle \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=r$$
Maka
$$\displaystyle |c|=r\sqrt{m^2+1}$$
Sehingga terdapat dua garis:
$$\displaystyle y=mx+r\sqrt{1+m^2}$$
dan
$$\displaystyle y=mx-r\sqrt{1+m^2}$$
Dua garis muncul karena untuk arah yang sama biasanya terdapat garis singgung di dua sisi lingkaran.
Garis Singgung dengan Gradien Diketahui pada Pusat P(a,b)
Untuk lingkaran
$$\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
dua garis singgung bergradien \(m\) dapat ditulis
$$\displaystyle y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^2}$$
Garis Singgung yang Sejajar Garis Tertentu
Garis yang sejajar mempunyai arah yang sama.
Misalnya garis
$$\displaystyle 12x-5y-4=0$$
Semua garis yang sejajar dengannya dapat ditulis
$$\displaystyle 12x-5y+c=0$$
Kita tidak selalu perlu mengubah ke bentuk gradien.
Cukup cari \(c\) sehingga jarak pusat lingkaran terhadap garis sama dengan jari-jari.
Metode ini biasanya lebih pendek.
Garis Singgung yang Tegak Lurus Garis Tertentu
Jika dua garis mempunyai gradien \(m_1\) dan \(m_2\), syarat tegak lurus adalah
$$\displaystyle m_1m_2=-1$$
Misalnya
$$\displaystyle 2x-y-6=0$$
atau
$$\displaystyle y=2x-6$$
Gradiennya \(2\).
Maka gradien garis yang tegak lurus adalah
$$\displaystyle -\frac12$$
Setelah mengetahui gradien yang diperlukan, kita dapat menggunakan syarat garis singgung.
Dua Garis Singgung dari Titik di Luar Lingkaran
Dari sebuah titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung.
Ada beberapa metode yang dapat digunakan.
Metode Gradien
Jika titik luarnya \(T(x_0,y_0)\), keluarga garis tak vertikal melalui titik tersebut dapat ditulis
$$\displaystyle y-y_0=m(x-x_0)$$
Substitusikan ke persamaan lingkaran.
Karena garis harus menyinggung, persamaan kuadrat hasil substitusi harus mempunyai satu solusi.
Artinya
$$\displaystyle D=0$$
Metode Jarak
Buat persamaan keluarga garis yang melalui titik luar.
Kemudian gunakan
$$\displaystyle d=r$$
Metode ini sering lebih cepat jika pusat lingkarannya mudah diketahui.
Jangan Lupakan Garis Vertikal
Persamaan
$$\displaystyle y-y_0=m(x-x_0)$$
tidak dapat merepresentasikan garis vertikal.
Karena itu, kalau hasil perhitungan hanya memberi satu garis singgung dari titik luar, periksa apakah ada kemungkinan garis vertikal yang terlewat.
Peta Strategi Cepat
- Jika diketahui pusat dan jari-jari, gunakan bentuk baku.
- Jika diketahui diameter, bagi dua untuk mendapat jari-jari.
- Jika diketahui dua ujung diameter, cari titik tengah dan setengah panjang diameter.
- Jika persamaan masih bentuk umum, ubah ke bentuk baku atau gunakan rumus pusat.
- Jika ditanya posisi titik, bandingkan jarak titik ke pusat dengan jari-jari.
- Jika ditanya posisi garis, bandingkan jarak pusat ke garis dengan jari-jari.
- Jika titik singgung diketahui, gunakan sifat radius tegak lurus garis singgung.
- Jika garis singgung harus sejajar, pertahankan koefisien arah garis.
- Jika harus tegak lurus, cari gradien negatif kebalikannya.
- Jika titik berada di luar, bersiaplah mencari dua garis singgung.
Contoh Soal dan Pembahasan
Level Dasar dan Pemahaman Konsep
Soal 1
Perhatikan gambar berikut.
Persamaan lingkaran tersebut adalah ….
A. \(x^2+y^2=2\)
B. \(x^2+y^2=4\)
C. \(x^2+y^2=8\)
D. \(x^2+y^2=12\)
E. \(x^2+y^2=16\)
Grafik menunjukkan pusat lingkaran berada di titik \(O(0,0)\).
Karena pusatnya berada di titik asal, bentuk persamaan lingkarannya adalah
$$\displaystyle x^2+y^2=r^2$$
Dari grafik terlihat bahwa lingkaran memotong sumbu \(x\) di \(x=2\) dan \(x=-2\).
Jadi jari-jarinya
$$\displaystyle r=2$$
Maka
$$\displaystyle r^2=4$$
Persamaan lingkarannya adalah
$$\displaystyle x^2+y^2=4$$
Kita dapat memeriksa titik \((2,0)\).
$$\displaystyle 2^2+0^2=4$$
Benar, sehingga titik tersebut memang berada pada lingkaran.
Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Soal 2
Persamaan lingkaran berpusat di titik \(P(2,-1)\) dan berdiameter \(6\sqrt5\) adalah ….
A. \(x^2+y^2+4x+2y+40=0\)
B. \(x^2+y^2+4x+2y-40=0\)
C. \(x^2+y^2-4x-2y+40=0\)
D. \(x^2+y^2-4x+2y+40=0\)
E. \(x^2+y^2-4x+2y-40=0\)
Perhatikan bahwa yang diberikan adalah diameter, bukan jari-jari.
Diameter lingkaran:
$$\displaystyle d=6\sqrt5$$
Maka jari-jarinya
$$\displaystyle r=\frac{6\sqrt5}{2}$$
$$\displaystyle r=3\sqrt5$$
Sehingga
$$\displaystyle r^2=45$$
Pusat lingkaran adalah \(P(2,-1)\).
Gunakan bentuk baku.
$$\displaystyle (x-2)^2+(y+1)^2=45$$
Karena pilihan jawaban berbentuk umum, kembangkan.
$$\displaystyle x^2-4x+4+y^2+2y+1=45$$
Pindahkan semua suku ke ruas kiri.
$$\displaystyle x^2+y^2-4x+2y-40=0$$
Jadi, jawaban yang benar adalah E.
Soal 3
Sebuah lingkaran berdiameter \(AB\) dengan koordinat titik \(A(5,-2)\) dan \(B(-3,-4)\). Persamaan lingkaran tersebut adalah ….
A. \((x+1)^2+(y+3)^2=17\)
B. \((x+1)^2+(y-3)^2=17\)
C. \((x-1)^2+(y+3)^2=17\)
D. \((x-3)^2+(y+1)^2=17\)
E. \((x-3)^2+(y+1)^2=17\)
Karena \(AB\) merupakan diameter, pusat lingkaran berada tepat di titik tengah \(AB\).
$$\displaystyle P\left(\frac{5+(-3)}2,\frac{-2+(-4)}2\right)$$
$$\displaystyle P(1,-3)$$
Sekarang tentukan \(r^2\).
Dari pusat \(P(1,-3)\) ke titik \(A(5,-2)\):
$$\displaystyle r^2=(5-1)^2+[-2-(-3)]^2$$
$$\displaystyle r^2=4^2+1^2$$
$$\displaystyle r^2=17$$
Maka persamaan lingkarannya
$$\displaystyle (x-1)^2+(y+3)^2=17$$
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 4
Koordinat titik pusat dan panjang jari-jari lingkaran \(2x^2+2y^2+8x-16y-32=0\) adalah ….
A. \((4,-8)\) dan \(12\)
B. \((2,4)\) dan \(6\)
C. \((2,-4)\) dan \(6\)
D. \((-2,4)\) dan \(6\)
E. \((-4,8)\) dan \(12\)
Mulai dari persamaan
$$\displaystyle 2x^2+2y^2+8x-16y-32=0$$
Bagi seluruh persamaan dengan \(2\).
$$\displaystyle x^2+y^2+4x-8y-16=0$$
Pindahkan konstanta.
$$\displaystyle x^2+4x+y^2-8y=16$$
Lengkapi kuadrat.
$$\displaystyle x^2+4x+4+y^2-8y+16=36$$
Maka
$$\displaystyle (x+2)^2+(y-4)^2=36$$
Pusatnya
$$\displaystyle (-2,4)$$
dan jari-jarinya
$$\displaystyle r=6$$
Jadi, jawaban yang benar adalah D.
Kedudukan Titik dan Garis
Soal 5
Diketahui persamaan lingkaran \(L\) adalah \(x^2+y^2+5x-3y-8=0\). Salah satu titik yang berada di luar lingkaran \(L\) adalah ….
A. \((-5,4)\)
B. \((-1,5)\)
C. \((0,4)\)
D. \((1,2)\)
E. \((2,1)\)
Karena persamaan sudah berbentuk umum, gunakan
$$\displaystyle F(x,y)=x^2+y^2+5x-3y-8$$
Jika \(F<0\), titik di dalam.
Jika \(F=0\), titik pada lingkaran.
Jika \(F>0\), titik di luar.
Untuk \((-5,4)\):
$$\displaystyle 25+16-25-12-8=-4$$
Di dalam.
Untuk \((-1,5)\):
$$\displaystyle 1+25-5-15-8=-2$$
Di dalam.
Untuk \((0,4)\):
$$\displaystyle 16-12-8=-4$$
Di dalam.
Untuk \((1,2)\):
$$\displaystyle 1+4+5-6-8=-4$$
Di dalam.
Untuk \((2,1)\):
$$\displaystyle 4+1+10-3-8=4$$
Nilainya positif.
Jadi titik \((2,1)\) berada di luar lingkaran.
Jawaban yang benar adalah E.
Soal 6
Diketahui titik \(P(3,m)\) terletak di dalam lingkaran \((x-6)^2+(y-3)^2=25\). Nilai \(m\) yang memenuhi adalah….
A. \(-7\)
B. \(-1\)
C. \(1\)
D. \(m<-7\) atau \(m>1\)
E. \(m<-1\) atau \(m>7\)
Pusat lingkaran adalah \((6,3)\) dan jari-jarinya \(5\).
Karena titik \(P(3,m)\) berada di dalam, berlaku
$$\displaystyle (3-6)^2+(m-3)^2<25$$
$$\displaystyle 9+(m-3)^2<25$$
$$\displaystyle (m-3)^2<16$$
Sehingga
$$\displaystyle -4<m-3<4$$ <p=””>Tambahkan (3).
$$\displaystyle -1<m<7$$ <p=””>Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Soal 7
Diketahui beberapa garis-garis berikut.
(i) \(y=x+7\)
(ii) \(y=1-x\)
(iii) \(x=2+2y\)
Garis yang tidak berpotongan dengan lingkaran \(x^2+y^2+2x-4y-3=0\) adalah ….
A. (i)
B. (ii)
C. (iii)
D. (i) dan (ii)
E. (ii) dan (iii)
Ubah lingkaran ke bentuk baku.
$$\displaystyle x^2+y^2+2x-4y-3=0$$
$$\displaystyle x^2+2x+y^2-4y=3$$
$$\displaystyle (x+1)^2+(y-2)^2=8$$
Pusatnya \((-1,2)\) dan jari-jarinya
$$\displaystyle r=2\sqrt2$$
Garis (i)
$$\displaystyle y=x+7$$
Bentuk umum:
$$\displaystyle x-y+7=0$$
Jarak pusat ke garis:
$$\displaystyle d=\frac{|(-1)-2+7|}{\sqrt2}$$
$$\displaystyle d=2\sqrt2$$
Karena \(d=r\), garis menyinggung.
Garis (ii)
$$\displaystyle y=1-x$$
$$\displaystyle x+y-1=0$$
Jarak pusat:
$$\displaystyle d=\frac{|-1+2-1|}{\sqrt2}=0$$
Garis melalui pusat, sehingga memotong lingkaran pada dua titik.
Garis (iii)
$$\displaystyle x=2+2y$$
$$\displaystyle x-2y-2=0$$
Jarak pusat:
$$\displaystyle d=\frac{|-1-4-2|}{\sqrt5}$$
$$\displaystyle d=\frac7{\sqrt5}$$
Karena
$$\displaystyle \frac7{\sqrt5}>2\sqrt2$$
maka garis tersebut tidak berpotongan dengan lingkaran.
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Garis Singgung Lingkaran
Soal 8
Sebuah lingkaran berpusat di titik \((3,-2)\) dan berjari-jari \(5\). Salah satu persamaan garis singgung lingkaran tersebut yang sejajar garis \(12x-5y-4=0\) adalah ….
A. \(12x-5y+32=0\)
B. \(12x-5y+6=0\)
C. \(12x-5y-6=0\)
D. \(12x-5y-12=0\)
E. \(12x-5y-32=0\)
Karena garis singgung sejajar dengan
$$\displaystyle 12x-5y-4=0$$
maka bentuk garis yang dicari adalah
$$\displaystyle 12x-5y+c=0$$
Agar garis menyinggung, jarak pusat \((3,-2)\) ke garis harus sama dengan \(5\).
$$\displaystyle \frac{|12(3)-5(-2)+c|}{\sqrt{12^2+(-5)^2}}=5$$
$$\displaystyle \frac{|46+c|}{13}=5$$
$$\displaystyle |46+c|=65$$
Kemungkinan pertama:
$$\displaystyle 46+c=65$$
$$\displaystyle c=19$$
Kemungkinan kedua:
$$\displaystyle 46+c=-65$$
$$\displaystyle c=-111$$
Jadi secara matematis dua garis singgungnya adalah
$$\displaystyle 12x-5y+19=0$$
dan
$$\displaystyle 12x-5y-111=0$$
Perhatikan: tidak ada satu pun pilihan A–E yang sama dengan hasil tersebut.
Dengan bunyi soal dan pilihan yang tersedia, tidak terdapat opsi yang benar.
Hasil matematis yang tepat adalah dua persamaan di atas.
Soal 9
Diketahui koordinat titik \(A(2,-5)\). Persamaan garis singgung lingkaran \(x^2+y^2-2x+6y+5=0\) yang melalui titik \(A\) adalah ….
A. \(x+2y+12=0\)
B. \(x+2y-6=0\)
C. \(x-2y-6=0\)
D. \(x-2y+12=0\)
E. \(x-2y-12=0\)
Langkah pertama adalah mengecek apakah titik \(A(2,-5)\) berada pada lingkaran.
$$\displaystyle 2^2+(-5)^2-2(2)+6(-5)+5$$
$$\displaystyle 4+25-4-30+5$$
$$\displaystyle 0$$
Jadi titik \(A\) memang berada pada lingkaran.
Gunakan rumus garis singgung untuk bentuk umum.
Diketahui
$$\displaystyle A=-2,\qquad B=6,\qquad C=5$$
dan titik singgung
$$\displaystyle (x_1,y_1)=(2,-5)$$
Maka
$$\displaystyle 2x-5y-(x+2)+3(y-5)+5=0$$
$$\displaystyle 2x-5y-x-2+3y-15+5=0$$
$$\displaystyle x-2y-12=0$$
Jadi, jawaban yang benar adalah E.
Kita juga dapat mengecek melalui gradien.
Pusat lingkaran diperoleh dari
$$\displaystyle (x-1)^2+(y+3)^2=5$$
sehingga pusatnya \((1,-3)\).
Gradien jari-jari menuju \(A(2,-5)\):
$$\displaystyle m_r=\frac{-5+3}{2-1}=-2$$
Gradien garis singgung:
$$\displaystyle m_t=\frac12$$
Persamaan melalui \((2,-5)\):
$$\displaystyle y+5=\frac12(x-2)$$
Hasil akhirnya kembali
$$\displaystyle x-2y-12=0$$
Soal 10
Persamaan garis singgung lingkaran \(x^2+y^2=16\) yang melalui titik \((2,4)\) adalah ….
A. \(x=2\) dan \(4x+3y=20\)
B. \(x=4\) dan \(4x-3y=-4\)
C. \(y=4\) dan \(4x+3y=12\)
D. \(y=4\) dan \(4x+3y=20\)
E. \(y=4\) dan \(4x-3y=-4\)
Pusat lingkaran adalah \((0,0)\) dan jari-jarinya \(4\).
Cek posisi titik \((2,4)\).
$$\displaystyle 2^2+4^2=20$$
Sedangkan
$$\displaystyle r^2=16$$
Karena \(20>16\), titik berada di luar lingkaran.
Berarti ada dua garis singgung.
Salah satunya mudah terlihat, yaitu
$$\displaystyle y=4$$
Jarak pusat ke garis \(y=4\) adalah \(4\), sama dengan jari-jari.
Untuk garis kedua, misalkan
$$\displaystyle y-4=m(x-2)$$
Bentuk umum:
$$\displaystyle mx-y+4-2m=0$$
Syarat singgung:
$$\displaystyle \frac{|4-2m|}{\sqrt{m^2+1}}=4$$
Kuadratkan.
$$\displaystyle (4-2m)^2=16(m^2+1)$$
$$\displaystyle 16-16m+4m^2=16m^2+16$$
$$\displaystyle -16m-12m^2=0$$
$$\displaystyle -4m(4+3m)=0$$
Maka
$$\displaystyle m=0$$
atau
$$\displaystyle m=-\frac43$$
Nilai \(m=0\) menghasilkan \(y=4\).
Untuk \(m=-\frac43\):
$$\displaystyle y-4=-\frac43(x-2)$$
$$\displaystyle 3y-12=-4x+8$$
$$\displaystyle 4x+3y=20$$
Jadi kedua garis singgung adalah
$$\displaystyle y=4$$
dan
$$\displaystyle 4x+3y=20$$
Jawaban yang benar adalah D.
Soal Uraian dan Analisis
Soal 11
Tentukan persamaan lingkaran berikut.
a. Berpusat di titik \(O(0,0)\) dan menyinggung garis \(y=-7\).
b. Berpusat di titik \(P(3,-2)\) dan melalui titik \((-1,3)\).
a. Berpusat di titik \(O(0,0)\) dan menyinggung garis \(y=-7\)
Pusat lingkaran berada di titik asal, sehingga bentuk umumnya adalah
$$\displaystyle x^2+y^2=r^2$$
Karena lingkaran menyinggung garis \(y=-7\), maka jari-jari sama dengan jarak pusat ke garis tersebut.
Jarak titik \((0,0)\) ke garis \(y=-7\) adalah \(7\), sehingga
$$\displaystyle r=7$$
$$\displaystyle r^2=49$$
Jadi persamaan lingkarannya adalah
$$\displaystyle x^2+y^2=49$$
b. Berpusat di titik \(P(3,-2)\) dan melalui titik \((-1,3)\)
Bentuk baku persamaan lingkaran dengan pusat \(P(3,-2)\) adalah
$$\displaystyle (x-3)^2+(y+2)^2=r^2$$
Karena titik \((-1,3)\) terletak pada lingkaran, maka nilai \(r^2\) diperoleh dari jarak kuadrat titik tersebut ke pusat.
$$\displaystyle r^2=(-1-3)^2+(3-(-2))^2$$
$$\displaystyle r^2=(-4)^2+5^2$$
$$\displaystyle r^2=16+25$$
$$\displaystyle r^2=41$$
Jadi persamaan lingkarannya adalah
$$\displaystyle (x-3)^2+(y+2)^2=41$$
Soal 12
Diketahui persamaan lingkaran \(L:(x-3)^2+(y-1)^2=5\) dan garis \(g:2x-y+k=0\). Tentukan nilai \(k\) sehingga kedudukan garis \(g\):
a. menyinggung lingkaran \(L\);
b. memotong lingkaran \(L\) pada dua titik; dan
c. terpisah dengan lingkaran \(L\).
Pusat lingkaran adalah
$$\displaystyle P(3,1)$$
dan jari-jarinya
$$\displaystyle r=\sqrt5$$
Jarak pusat ke garis
$$\displaystyle 2x-y+k=0$$
adalah
$$\displaystyle d=\frac{|2(3)-1+k|}{\sqrt5}$$
$$\displaystyle d=\frac{|k+5|}{\sqrt5}$$
a. Menyinggung
Syarat:
$$\displaystyle d=r$$
$$\displaystyle \frac{|k+5|}{\sqrt5}=\sqrt5$$
$$\displaystyle |k+5|=5$$
Maka
$$\displaystyle k=0$$
atau
$$\displaystyle k=-10$$
b. Memotong pada Dua Titik
Syarat:
$$\displaystyle d<r$$ $$\displaystyle=”” |k+5|<5$$=”” -5<k+5<5$$=”” -10<k<0$$=”” <h3=””>c. Terpisah
Syarat:
$$\displaystyle d>r$$
$$\displaystyle |k+5|>5$$
Maka
$$\displaystyle k<-10$$
atau
$$\displaystyle k>0$$
Jadi:
- menyinggung jika \(k=-10\) atau \(k=0\);
- memotong pada dua titik jika \(-10
- terpisah jika \(k<-10\) atau \(k>0\).
Soal 13
Diketahui dua lingkaran dengan persamaan \(x^2+y^2-6x+2y+6=0\) dan \(x^2+y^2=16\). Tentukan kedudukan kedua lingkaran tersebut.
Lingkaran pertama:
$$\displaystyle x^2+y^2-6x+2y+6=0$$
$$\displaystyle x^2-6x+y^2+2y=-6$$
Lengkapi kuadrat.
$$\displaystyle (x-3)^2+(y+1)^2=4$$
Pusatnya
$$\displaystyle P_1(3,-1)$$
dan
$$\displaystyle r_1=2$$
Lingkaran kedua:
$$\displaystyle x^2+y^2=16$$
Pusatnya
$$\displaystyle P_2(0,0)$$
dan
$$\displaystyle r_2=4$$
Jarak antarpusat:
$$\displaystyle d=\sqrt{(3-0)^2+(-1-0)^2}$$
$$\displaystyle d=\sqrt{10}$$
Jumlah jari-jari:
$$\displaystyle r_1+r_2=6$$
Selisih jari-jari:
$$\displaystyle |r_2-r_1|=2$$
Karena
$$\displaystyle 2<\sqrt{10}<6$$
maka
$$\displaystyle |r_1-r_2|<d<r_1+r_2$$ <p=””>Kondisi tersebut menunjukkan kedua lingkaran berpotongan pada dua titik.
Soal 14
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(x^2+y^2=20\) dengan ketentuan berikut.
a. Melalui titik \((4,-2)\).
b. Tegak lurus garis \(2x-y-6=0\).
Lingkaran mempunyai pusat \(O(0,0)\) dan
$$\displaystyle r=2\sqrt5$$
a. Melalui Titik (4,-2)
Cek apakah titik berada pada lingkaran.
$$\displaystyle 4^2+(-2)^2=20$$
Benar.
Jadi titik tersebut adalah titik singgung.
Gunakan
$$\displaystyle x_1x+y_1y=r^2$$
Maka
$$\displaystyle 4x-2y=20$$
Sederhanakan.
$$\displaystyle 2x-y-10=0$$
b. Tegak Lurus Garis 2x-y-6=0
Garis yang diberikan mempunyai gradien \(2\).
Maka gradien garis tegak lurus adalah
$$\displaystyle m=-\frac12$$
Gunakan rumus
$$\displaystyle y=mx\pm r\sqrt{1+m^2}$$
Diperoleh
$$\displaystyle y=-\frac12x\pm2\sqrt5\sqrt{1+\frac14}$$
$$\displaystyle y=-\frac12x\pm5$$
Jadi kedua garisnya
$$\displaystyle x+2y-10=0$$
dan
$$\displaystyle x+2y+10=0$$
Soal 15
Diketahui titik \(A(-3,2)\) dan \(B(1,-2)\). Jika lingkaran \(L\) berpusat di titik \(A\) dan berdiameter \(8\), tentukan:
a. persamaan lingkaran \(L\);
b. kedudukan titik \(A\) dan \(B\) terhadap lingkaran \(L\); dan
c. persamaan garis singgung lingkaran \(L\) yang melalui titik \(B\).
a. Persamaan Lingkaran L
Pusat lingkaran:
$$\displaystyle A(-3,2)$$
Diameter:
$$\displaystyle d=8$$
Maka
$$\displaystyle r=4$$
dan
$$\displaystyle r^2=16$$
Persamaan lingkaran:
$$\displaystyle (x+3)^2+(y-2)^2=16$$
b. Kedudukan A dan B
Titik \(A\) adalah pusat lingkaran, sehingga tentu berada di dalam lingkaran.
Untuk titik \(B(1,-2)\), hitung jaraknya terhadap pusat.
$$\displaystyle AB=\sqrt{[1-(-3)]^2+(-2-2)^2}$$
$$\displaystyle AB=\sqrt{16+16}$$
$$\displaystyle AB=4\sqrt2$$
Karena
$$\displaystyle 4\sqrt2>4$$
maka titik \(B\) berada di luar lingkaran.
c. Garis Singgung melalui B
Karena \(B\) berada di luar, terdapat dua garis singgung.
Perhatikan garis vertikal
$$\displaystyle x=1$$
Jarak pusat \((-3,2)\) ke garis tersebut adalah
$$\displaystyle |1-(-3)|=4$$
Sama dengan jari-jari.
Jadi \(x=1\) adalah garis singgung.
Sekarang perhatikan garis horizontal
$$\displaystyle y=-2$$
Jarak pusat ke garis tersebut
$$\displaystyle |2-(-2)|=4$$
Sama dengan jari-jari.
Jadi garis kedua adalah
$$\displaystyle y=-2$$
Maka dua garis singgungnya adalah
$$\displaystyle x=1$$
dan
$$\displaystyle y=-2$$
Pola Besar yang Perlu Diingat
Setelah mengerjakan seluruh soal, ada satu hal yang perlu disadari.
Materi ini bukan terdiri atas lima belas trik berbeda.
Ada beberapa pola inti yang terus berulang.
Pola 1: Cari Pusat dan Jari-jari
Begitu melihat persamaan lingkaran, tanyakan:
pusatnya di mana?
jari-jarinya berapa?
Dua informasi ini biasanya membuka hampir seluruh soal.
Pola 2: Kedudukan Selalu Berhubungan dengan Jarak
Untuk titik, bandingkan jarak titik ke pusat dengan \(r\).
Untuk garis, bandingkan jarak pusat ke garis dengan \(r\).
Untuk dua lingkaran, bandingkan jarak antarpusat dengan \(r_1+r_2\) dan \(|r_1-r_2|\).
Konsepnya sama. Objek yang dibandingkan saja yang berbeda.
Pola 3: Garis Singgung Berarti Jarak = Jari-jari
Jika sebuah garis menyinggung lingkaran, maka
$$\displaystyle d(P,g)=r$$
Syarat sederhana ini sangat kuat.
Kita dapat memakainya untuk mencari parameter garis, garis sejajar, bahkan menentukan apakah suatu garis benar-benar singgung.
Pola 4: Jari-jari Tegak Lurus Garis Singgung
Kalau titik singgung sudah diketahui, kita otomatis mengetahui arah jari-jari.
Karena garis singgung tegak lurus jari-jari, arah garis singgung dapat ditemukan tanpa perlu menghafal terlalu banyak rumus.
Kesalahan Umum yang Sering Terjadi
1. Menganggap r² sebagai r
Jika
$$\displaystyle x^2+y^2=25$$
maka jari-jari adalah \(5\), bukan \(25\).
2. Lupa Diameter Harus Dibagi Dua
Diameter \(10\) berarti
$$\displaystyle r=5$$
bukan \(10\).
3. Salah Membaca Tanda Pusat
Pada
$$\displaystyle (x+3)^2+(y-2)^2=16$$
pusatnya
$$\displaystyle (-3,2)$$
bukan \((3,-2)\).
4. Langsung Memakai Rumus Garis Singgung tanpa Mengecek Posisi Titik
Kalau titik berada pada lingkaran, ada satu garis singgung.
Kalau di luar, ada dua.
Kalau di dalam, tidak ada garis singgung real.
5. Menganggap Semua Garis Bisa Ditulis y = mx + c
Garis vertikal tidak mempunyai gradien berhingga.
Karena itu metode gradien kadang melewatkan satu kemungkinan garis singgung.
6. Menggunakan Diskriminan Padahal Metode Jarak Lebih Pendek
Kalau pusat dan jari-jari sudah jelas, metode jarak biasanya jauh lebih efisien daripada substitusi panjang.
Strategi TKA dan Ujian
Dalam soal dengan batas waktu, jangan menghitung semuanya.
Cari informasi minimum yang dibutuhkan.
Kalau hanya ditanya pusat dan jari-jari, berhenti setelah bentuk baku didapat.
Kalau hanya ditanya kedudukan titik, substitusi langsung ke bentuk umum bisa lebih cepat.
Kalau ditanya posisi garis, gunakan jarak pusat ke garis.
Kalau titik singgung diketahui, manfaatkan sifat tegak lurus.
Kalau soal menyebut “sejajar”, pertahankan arah garis.
Kalau menyebut “tegak lurus”, ubah gradien menjadi negatif kebalikan.
Kalau dari titik luar hasil hitungan hanya memberi satu garis, cek kemungkinan garis vertikal.
Strategi terbaik bukan yang menggunakan rumus paling panjang.
Strategi terbaik adalah yang paling cepat menghubungkan informasi soal dengan konsep inti.
Hubungan Geometri dan Aljabar
Materi lingkaran menarik karena satu objek bisa dibaca dengan dua bahasa.
Secara geometri, lingkaran mempunyai pusat dan jari-jari.
Secara aljabar,
$$\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Secara geometri, garis singgung tegak lurus jari-jari.
Secara aljabar, vektor jari-jari menjadi vektor normal garis singgung.
Secara geometri, garis singgung bertemu lingkaran tepat satu kali.
Secara aljabar, substitusi menghasilkan persamaan kuadrat dengan
$$\displaystyle D=0$$
Jadi geometri dan aljabar bukan dua cara yang saling bersaing.
Keduanya sedang menjelaskan objek yang sama dari sudut pandang berbeda.
Mengapa Visual Sangat Penting?
Pada materi lingkaran, visual bukan sekadar dekorasi.
Gambar dapat membantu kita memeriksa apakah jawaban masuk akal.
Misalnya dari sebuah titik di luar lingkaran seharusnya dapat dibuat dua garis singgung.
Kalau perhitungan hanya menghasilkan satu, gambar mengingatkan bahwa mungkin ada garis vertikal yang terlewat.
Begitu juga pada garis singgung sejajar.
Biasanya terdapat dua garis sejajar yang menyentuh lingkaran dari sisi yang berbeda.
Visual membantu kita melihat struktur sebelum tenggelam dalam aljabar.
Cek Pemahaman
- Mengapa persamaan \(x^2+y^2=36\) mempunyai jari-jari \(6\), bukan \(36\)?
- Apa arti \(dr\) jika \(d\) merupakan jarak pusat terhadap sebuah garis?
- Mengapa dari titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung?
- Mengapa jari-jari menuju titik singgung selalu tegak lurus dengan garis singgung?
- Jenis garis apa yang tidak dapat diwakili oleh bentuk \(y-y_0=m(x-x_0)\)?
Refleksi
- Mengapa konsep jarak dapat digunakan sekaligus untuk kedudukan titik, kedudukan garis, dan kedudukan dua lingkaran?
- Jika satu soal dapat diselesaikan dengan metode diskriminan dan metode jarak, bagaimana memilih metode yang lebih efisien?
- Mengapa mengecek posisi titik sebelum mencari garis singgung dapat mencegah kesalahan strategi?
- Jika sebuah perhitungan dari titik luar hanya menghasilkan satu garis singgung, apa kemungkinan yang perlu diperiksa?
Kesimpulan
Persamaan lingkaran dan garis singgung lingkaran menjadi jauh lebih mudah jika kita tidak melihat rumus sebagai bagian-bagian terpisah.
Fondasi utamanya adalah konsep jarak.
Lingkaran berpusat di \(P(a,b)\) dengan jari-jari \(r\) mempunyai persamaan
$$\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Jika pusatnya berada di titik asal, bentuknya menjadi
$$\displaystyle x^2+y^2=r^2$$
Jika persamaan diberikan dalam bentuk umum
$$\displaystyle x^2+y^2+Ax+By+C=0$$
pusatnya dapat ditentukan dengan
$$\displaystyle P\left(-\frac A2,-\frac B2\right)$$
dan jari-jarinya
$$\displaystyle r=\sqrt{\frac{A^2+B^2}{4}-C}$$
Kedudukan titik ditentukan dengan membandingkan jarak titik ke pusat dengan jari-jari.
Kedudukan garis ditentukan dengan membandingkan jarak pusat ke garis dengan jari-jari.
Kedudukan dua lingkaran ditentukan melalui jarak antarpusat dan hubungan dengan jumlah serta selisih jari-jari.
Sifat utama garis singgung adalah:
jari-jari yang menuju titik singgung tegak lurus garis singgung.
Untuk lingkaran
$$\displaystyle x^2+y^2=r^2$$
garis singgung di titik \((x_1,y_1)\) adalah
$$\displaystyle x_1x+y_1y=r^2$$
Sementara untuk lingkaran berpusat di \((a,b)\), dapat digunakan
$$\displaystyle (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$$
Jika gradien garis singgung diketahui, pada lingkaran berpusat di titik asal dapat digunakan
$$\displaystyle y=mx\pm r\sqrt{1+m^2}$$
Namun hal terpenting bukan sekadar mengingat rumus.
Pola berpikir yang perlu dibawa ke soal selanjutnya adalah:
kenali pusat → tentukan jari-jari → baca hubungan jarak → pilih sifat geometri yang tepat → baru lakukan aljabar.
Dengan pola itu, soal yang awalnya terasa seperti “hutan rumus” berubah menjadi langkah-langkah yang logis dan bisa diprediksi.
FAQ
Apa rumus persamaan lingkaran dengan pusat (a,b)?
Jika pusat lingkaran adalah \((a,b)\) dan jari-jarinya \(r\), persamaannya adalah
$$\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Bagaimana menentukan pusat lingkaran dari bentuk umum?
Untuk persamaan
$$\displaystyle x^2+y^2+Ax+By+C=0$$
pusatnya adalah
$$\displaystyle \left(-\frac A2,-\frac B2\right)$$
Bagaimana mengetahui sebuah titik berada di dalam atau di luar lingkaran?
Bandingkan jarak titik terhadap pusat dengan jari-jari. Jika jaraknya lebih kecil, titik berada di dalam. Jika sama, titik berada pada lingkaran. Jika lebih besar, titik berada di luar.
Apa syarat sebuah garis menyinggung lingkaran?
Jarak pusat lingkaran ke garis harus tepat sama dengan jari-jari.
$$\displaystyle d=r$$
Mengapa dari titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung?
Secara geometri terdapat dua arah berbeda dari titik luar yang dapat menyentuh lingkaran tepat pada satu titik. Kedua ruas dari titik luar menuju titik-titik singgung juga mempunyai panjang yang sama.
