Persiapan ASTS-1 Matematika Tingkat Lanjut Kelas XII ini disusun untuk membantu peserta didik mempersiapkan asesmen pada materi Limit Fungsi, Limit Trigonometri, Limit di Tak Hingga, Persamaan Lingkaran, Garis Singgung Lingkaran, dan Hubungan Dua Lingkaran.
Latihan pada artikel ini bertujuan untuk menganalisis kesalahan penalaran, memilih strategi, melakukan pembuktian, memeriksa syarat, dan menjelaskan alasan matematis.
Karena bentuk latihan berupa uraian, jangan hanya mengejar jawaban akhir. Biasakan menuliskan proses secara runtut dan menjelaskan mengapa suatu langkah dapat dilakukan.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi dan mengerjakan latihan ini, peserta didik diharapkan mampu:
- menganalisis bentuk tak tentu pada limit fungsi;
- menentukan limit aljabar menggunakan faktorisasi;
- menggunakan bentuk sekawan pada limit yang melibatkan akar;
- menentukan parameter agar suatu fungsi kontinu;
- menggunakan identitas trigonometri dalam perhitungan limit;
- menganalisis orde pembilang dan penyebut;
- menentukan limit fungsi ketika \(x\) menuju tak hingga;
- menentukan pusat dan jari-jari lingkaran;
- menentukan persamaan lingkaran dari berbagai informasi;
- menentukan kedudukan titik terhadap lingkaran;
- menentukan persamaan garis singgung pada suatu titik;
- menentukan garis singgung melalui titik di luar lingkaran;
- menggunakan jarak titik ke garis pada masalah garis singgung;
- menganalisis hubungan dua lingkaran; dan
- menyelesaikan masalah parameter pada dua lingkaran.
Materi Inti 1: Limit Fungsi
Bentuk Tak Tentu \(\frac{0}{0}\)
Jika substitusi langsung suatu limit menghasilkan
$$\displaystyle \frac{0}{0}$$
kita tidak boleh menyimpulkan bahwa nilai limitnya adalah 0.
Bentuk tersebut disebut bentuk tak tentu. Artinya, bentuk fungsi perlu disederhanakan terlebih dahulu.
Strategi yang dapat digunakan antara lain:
- faktorisasi;
- menggunakan bentuk sekawan;
- identitas trigonometri;
- membagi dengan pangkat tertinggi untuk limit di tak hingga.
Limit dengan Faktorisasi
Perhatikan bentuk
$$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x-a}$$
Jika \(f(a)=0\), sering kali pembilang mempunyai faktor \(x-a\).
Misalnya
$$\displaystyle f(x)=(x-a)g(x)$$
sehingga untuk \(x\neq a\),
$$\displaystyle \frac{f(x)}{x-a}=g(x)$$
dan limit dapat ditentukan melalui
$$\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)$$
Limit dengan Bentuk Sekawan
Jika suatu limit mengandung bentuk
$$\displaystyle \sqrt{A}-\sqrt{B}$$
kita dapat mengalikannya dengan bentuk sekawan
$$\displaystyle \sqrt{A}+\sqrt{B}$$
karena
$$\displaystyle (\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=A-B$$
Teknik ini sangat penting pada limit aljabar maupun limit di tak hingga.
Kekontinuan Fungsi
Suatu fungsi \(f\) kontinu di \(x=a\) jika ketiga syarat berikut terpenuhi:
- \(f(a)\) terdefinisi;
- \(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\) ada;
- \(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Pada fungsi potongan, syarat kedua berarti:
$$\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)$$
Namun kesamaan limit kiri dan limit kanan belum cukup. Nilai tersebut juga harus sama dengan \(f(a)\).
Limit Trigonometri Dasar
Beberapa limit dasar yang perlu dikuasai adalah
$$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$
$$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$$
dan
$$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$$
Identitas yang sering digunakan:
$$\displaystyle 1-\cos u=2\sin^2\frac{u}{2}$$
serta identitas sudut ganda atau sudut rangkap lainnya.
Mengapa \(1-\cos x\) Berorde Kuadrat?
Dari identitas
$$\displaystyle 1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$$
dan fakta bahwa
$$\displaystyle \sin\frac{x}{2}\sim\frac{x}{2}$$
ketika \(x\to0\), maka
$$\displaystyle 1-\cos x$$
berperilaku seperti konstanta kali \(x^2\).
Karena itu, pada bentuk
$$\displaystyle \frac{1-\cos ax}{1-\cos bx}$$
koefisien \(a\) dan \(b\) akhirnya muncul dalam bentuk kuadrat.
Limit di Tak Hingga dengan Akar
Pada bentuk
$$\displaystyle \sqrt{ax^2+bx+c}-mx-n$$
substitusi langsung tidak dapat dilakukan. Teknik sekawan sering menjadi strategi paling efektif.
Suku berpangkat tertinggi menentukan perilaku utama fungsi, sedangkan koefisien berikutnya menentukan koreksi terhadap perilaku tersebut.
Materi Inti 2: Persamaan Lingkaran
Bentuk Baku Persamaan Lingkaran
Lingkaran dengan pusat \(P(a,b)\) dan jari-jari \(r\) mempunyai persamaan
$$\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Jika pusatnya berada di titik asal, persamaannya menjadi
$$\displaystyle x^2+y^2=r^2$$
Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Bentuk umum lingkaran adalah
$$\displaystyle x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$$
Pusat lingkaran dapat ditentukan dengan
$$\displaystyle \left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$$
sedangkan
$$\displaystyle r^2=\frac{D^2+E^2}{4}-F$$
Lingkaran dari Diameter
Jika ujung diameter adalah
$$\displaystyle A(x_1,y_1)$$
dan
$$\displaystyle B(x_2,y_2)$$
maka pusat lingkaran adalah titik tengah AB:
$$\displaystyle \left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$$
Jari-jari merupakan setengah panjang diameter.
Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
Untuk lingkaran berpusat di \((a,b)\) dengan jari-jari \(r\), dan titik \(P(x_1,y_1)\), hitung
$$\displaystyle d^2=(x_1-a)^2+(y_1-b)^2$$
Jika
$$\displaystyle d^2\lt r^2$$
titik berada di dalam lingkaran.
Jika
$$\displaystyle d^2=r^2$$
titik berada pada lingkaran.
Jika
$$\displaystyle d^2\gt r^2$$
titik berada di luar lingkaran.
Materi Inti 3: Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Konsep utama garis singgung adalah:
Untuk lingkaran
$$\displaystyle x^2+y^2=r^2$$
dan titik singgung \(T(x_1,y_1)\), garis singgungnya adalah
$$\displaystyle xx_1+yy_1=r^2$$
Garis Singgung Lingkaran Berpusat di \((a,b)\)
Untuk
$$\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
dan titik singgung \(T(x_1,y_1)\), dapat digunakan
$$\displaystyle (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$$
Jarak Pusat ke Garis
Jika garis
$$\displaystyle Ax+By+C=0$$
dan pusat lingkaran \((a,b)\), jarak pusat ke garis adalah
$$\displaystyle d=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
Garis menyinggung lingkaran jika
$$\displaystyle d=r$$
Garis Singgung melalui Titik di Luar Lingkaran
Jika titik luar \(P(x_0,y_0)\) diketahui, kita dapat membentuk garis bergradien \(m\):
$$\displaystyle y-y_0=m(x-x_0)$$
Selanjutnya gunakan syarat
$$\displaystyle d=r$$
untuk menentukan nilai \(m\).
Materi Inti 4: Hubungan Dua Lingkaran
Misalkan dua lingkaran mempunyai jari-jari \(r_1\) dan \(r_2\), serta jarak antarpusat \(d\).
Hubungannya ditentukan melalui:
- \(d\gt r_1+r_2\): saling lepas;
- \(d=r_1+r_2\): bersinggungan luar;
- \(|r_1-r_2|\lt d\lt r_1+r_2\): berpotongan di dua titik;
- \(d=|r_1-r_2|\): bersinggungan dalam;
- \(d\lt|r_1-r_2|\): salah satu berada di dalam yang lain tanpa berpotongan.
20 Latihan Soal Persiapan ASTS-1
A. Limit Fungsi
Soal 1
Untuk bilangan real \(a\), didefinisikan
$$\displaystyle L_a=\lim_{x\to3}\frac{x^2-ax+3a-9}{x-3}$$
Seorang siswa menyatakan bahwa \(L_a=0\) untuk setiap \(a\) karena substitusi langsung menghasilkan \(\frac00\).
a. Analisis kesalahan penalaran siswa tersebut.
b. Tentukan \(L_a\) sebagai fungsi dari \(a\).
c. Jika \(L_a=2a-3\), tentukan nilai \(a\) dan \(L_a\).
Bagian a
Pernyataan siswa tidak benar. Bentuk
$$\displaystyle \frac00$$
merupakan bentuk tak tentu. Bentuk tersebut tidak mempunyai arti bahwa limit bernilai nol.
Kita harus menyederhanakan pembilang terlebih dahulu.
Bagian b
Faktorkan pembilang.
$$\displaystyle x^2-ax+3a-9$$
dapat ditulis sebagai
$$\displaystyle (x-3)(x-a+3)$$
Maka
$$\displaystyle L_a=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x-a+3)}{x-3}$$
Untuk \(x\neq3\), diperoleh
$$\displaystyle L_a=\lim_{x\to3}(x-a+3)$$
$$\displaystyle =3-a+3$$
$$\displaystyle =6-a$$
Jadi,
$$\displaystyle L_a=6-a$$
Bagian c
Diketahui
$$\displaystyle L_a=2a-3$$
sehingga
$$\displaystyle 6-a=2a-3$$
$$\displaystyle 9=3a$$
$$\displaystyle a=3$$
Dengan demikian,
$$\displaystyle L_a=6-3=3$$
Jadi, \(a=3\) dan \(L_a=3\).
Soal 2
Diberikan fungsi \(f\) dengan ketentuan:
Untuk \(x\lt1\),
$$\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x+8}-3}{x-1}$$
Untuk \(x\gt1\),
$$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+ax+b}{x-1}$$
dan
$$\displaystyle f(1)=c$$
a. Tentukan limit kiri \(f(x)\) saat \(x\to1\).
b. Tentukan nilai \(a\), \(b\), dan \(c\) agar \(f\) kontinu di \(x=1\).
c. Jelaskan mengapa hanya menyamakan limit kiri dan limit kanan belum cukup untuk membuktikan kontinuitas.
Bagian a
Gunakan bentuk sekawan.
$$\displaystyle
\frac{\sqrt{x+8}-3}{x-1}
\cdot
\frac{\sqrt{x+8}+3}{\sqrt{x+8}+3}
$$
$$\displaystyle =
\frac{x+8-9}{(x-1)(\sqrt{x+8}+3)}
$$
$$\displaystyle =
\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+8}+3)}
$$
Untuk \(x\neq1\), bentuk tersebut menjadi
$$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x+8}+3}$$
Maka
$$\displaystyle
\lim_{x\to1^-}f(x)
=
\frac{1}{3+3}
=
\frac16
$$
Bagian b
Agar limit kanan berhingga, pembilang harus bernilai nol ketika \(x=1\).
$$\displaystyle 1+a+b=0$$
Sehingga
$$\displaystyle b=-a-1$$
Pembilang menjadi
$$\displaystyle x^2+ax-a-1$$
yang dapat difaktorkan menjadi
$$\displaystyle (x-1)(x+a+1)$$
Maka
$$\displaystyle
\lim_{x\to1^+}f(x)
=
\lim_{x\to1}(x+a+1)
$$
$$\displaystyle =a+2$$
Agar limit kiri dan kanan sama:
$$\displaystyle a+2=\frac16$$
$$\displaystyle a=-\frac{11}{6}$$
Selanjutnya
$$\displaystyle b=-a-1$$
$$\displaystyle b=\frac{11}{6}-1$$
$$\displaystyle b=\frac56$$
Karena fungsi harus kontinu,
$$\displaystyle c=\frac16$$
Jadi,
$$\displaystyle a=-\frac{11}{6},\qquad b=\frac56,\qquad c=\frac16$$
Bagian c
Kesamaan limit kiri dan kanan hanya membuktikan bahwa limit dua sisi ada. Agar fungsi kontinu, nilai fungsi di titik tersebut juga harus sama dengan limit.
Dengan demikian harus berlaku
$$\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=f(1)$$
Soal 3
Seorang siswa memperkirakan bahwa
$$\displaystyle
\lim_{x\to0}
\frac{1-\cos5x}{1-\cos x}
=5
$$
karena perbandingan koefisien sudutnya adalah \(5:1\).
a. Evaluasi alasan siswa tersebut.
b. Hitung nilai limit menggunakan identitas
$$\displaystyle 1-\cos u=2\sin^2\frac{u}{2}$$
c. Jelaskan mengapa perbandingan koefisien menjadi kuadrat pada bentuk tersebut.
Bagian a
Alasan siswa tidak benar. Bentuk
$$\displaystyle 1-\cos u$$
tidak berorde linear di sekitar nol, tetapi berorde kuadrat.
Bagian b
Gunakan identitas:
$$\displaystyle
\frac{1-\cos5x}{1-\cos x}
=
\frac{2\sin^2\frac{5x}{2}}
{2\sin^2\frac{x}{2}}
$$
$$\displaystyle
=
\left(
\frac{\sin\frac{5x}{2}}
{\sin\frac{x}{2}}
\right)^2
$$
Sekarang,
$$\displaystyle
\lim_{x\to0}
\frac{\sin\frac{5x}{2}}
{\sin\frac{x}{2}}
=5
$$
Maka
$$\displaystyle
\lim_{x\to0}
\frac{1-\cos5x}{1-\cos x}
=
5^2
=
25
$$
Jadi, nilai limit adalah \(25\).
Bagian c
Identitas
$$\displaystyle 1-\cos u=2\sin^2\frac{u}{2}$$
mengandung kuadrat sinus. Karena itu, ketika sudut dikalikan 5, faktor 5 akhirnya juga dikuadratkan.
Soal 4
Seorang siswa menyatakan bahwa
$$\displaystyle
\lim_{x\to0}
\frac{\sin3x-3\sin x}
{x(1-\cos x)}
=0
$$
karena \(\sin3x\) dan \(3\sin x\) mempunyai pendekatan linear yang sama di sekitar \(x=0\).
a. Jelaskan mengapa alasan tersebut belum cukup.
b. Hitung limit tanpa menggunakan aturan L’Hôpital dan tanpa ekspansi Taylor.
c. Identifikasi orde pembilang dan penyebut.
Bagian a
Kesamaan suku linear hanya menunjukkan bahwa suku orde pertama saling menghilangkan.
Nilai limit berikutnya masih ditentukan oleh suku dengan orde lebih tinggi.
Bagian b
Gunakan identitas
$$\displaystyle \sin3x=3\sin x-4\sin^3x$$
Maka
$$\displaystyle \sin3x-3\sin x=-4\sin^3x$$
Sehingga limit menjadi
$$\displaystyle
\lim_{x\to0}
\frac{-4\sin^3x}{x(1-\cos x)}
$$
Gunakan
$$\displaystyle \sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$$
dan
$$\displaystyle 1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$$
Diperoleh
$$\displaystyle
\frac{-4\sin^3x}{x(1-\cos x)}
=
-16
\cos^3\frac{x}{2}
\frac{\sin\frac{x}{2}}{x}
$$
Karena
$$\displaystyle
\frac{\sin\frac{x}{2}}{x}
=
\frac12
\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}
$$
maka saat \(x\to0\),
$$\displaystyle
-16(1)^3\left(\frac12\right)
=-8
$$
Jadi, nilai limit adalah \(-8\).
Bagian c
Pembilang berorde tiga terhadap \(x\), sedangkan penyebut juga berorde tiga.
Karena ordonya sama, hasil limit dapat berupa konstanta tak nol.
Soal 5
Bilangan real \(a\) dan \(b\) memenuhi
$$\displaystyle
\lim_{x\to\infty}
\left(
\sqrt{16x^2+ax+b}-4x-5
\right)=0
$$
a. Tentukan seluruh pasangan \((a,b)\) yang mungkin.
b. Seorang siswa menyimpulkan bahwa \(a=40\) dan \(b=25\) karena bentuk di dalam akar harus sama dengan \((4x+5)^2\). Evaluasi kesimpulan tersebut.
c. Jelaskan perbedaan antara dua bentuk yang identik dengan dua bentuk yang hanya mempunyai selisih menuju nol.
Bagian a
Gunakan bentuk sekawan.
$$\displaystyle
\sqrt{16x^2+ax+b}-4x-5
$$
$$\displaystyle
=
\frac{
16x^2+ax+b-(4x+5)^2
}{
\sqrt{16x^2+ax+b}+4x+5
}
$$
Karena
$$\displaystyle (4x+5)^2=16x^2+40x+25$$
maka
$$\displaystyle
=
\frac{
(a-40)x+(b-25)
}{
\sqrt{16x^2+ax+b}+4x+5
}
$$
Penyebut berorde \(x\).
Agar limitnya 0, suku berorde \(x\) pada pembilang harus hilang.
$$\displaystyle a-40=0$$
$$\displaystyle a=40$$
Setelah \(a=40\), pembilang menjadi konstanta \(b-25\), sedangkan penyebut menuju tak hingga.
Maka limit tetap 0 untuk setiap nilai real \(b\).
Jadi,
$$\displaystyle a=40,\qquad b\in\mathbb{R}$$
Bagian b
Kesimpulan siswa hanya benar untuk nilai \(a\), tetapi terlalu kuat untuk \(b\).
Limit tidak mensyaratkan kedua bentuk identik untuk setiap \(x\). Yang dibutuhkan hanya selisih kedua bentuk menuju nol ketika \(x\to\infty\).
Bagian c
Dua bentuk identik mempunyai nilai yang sama untuk setiap nilai \(x\) pada domainnya.
Dua bentuk yang selisihnya menuju nol belum tentu sama untuk setiap \(x\), tetapi semakin dekat ketika \(x\) menuju nilai tertentu atau menuju tak hingga.
Soal 6
Bilangan real \(b\) memenuhi dua kondisi:
$$\displaystyle
\lim_{x\to\infty}
\left(
\sqrt{x^2+8x+b}-x
\right)=4
$$
dan
$$\displaystyle
\lim_{x\to\infty}
x
\left(
\sqrt{x^2+8x+b}-x-4
\right)
=-3
$$
a. Tentukan nilai \(b\).
b. Verifikasi bahwa nilai tersebut memenuhi kedua kondisi.
c. Jelaskan informasi tambahan yang diberikan kondisi kedua.
Bagian a
Untuk limit pertama gunakan sekawan.
$$\displaystyle
\sqrt{x^2+8x+b}-x
=
\frac{8x+b}
{\sqrt{x^2+8x+b}+x}
$$
Saat \(x\to\infty\), limit tersebut adalah
$$\displaystyle \frac82=4$$
untuk setiap \(b\).
Jadi kondisi pertama belum dapat menentukan \(b\).
Gunakan kondisi kedua.
$$\displaystyle
x
\left(
\sqrt{x^2+8x+b}-(x+4)
\right)
$$
Gunakan sekawan.
$$\displaystyle
=
x
\frac{
x^2+8x+b-(x+4)^2
}{
\sqrt{x^2+8x+b}+x+4
}
$$
Karena
$$\displaystyle (x+4)^2=x^2+8x+16$$
maka
$$\displaystyle
=
x
\frac{b-16}
{\sqrt{x^2+8x+b}+x+4}
$$
Ketika \(x\to\infty\),
$$\displaystyle
\frac{x}
{\sqrt{x^2+8x+b}+x+4}
\to\frac12
$$
Dengan demikian,
$$\displaystyle \frac{b-16}{2}=-3$$
$$\displaystyle b-16=-6$$
$$\displaystyle b=10$$
Jadi, \(b=10\).
Bagian b
Untuk \(b=10\), limit pertama tetap bernilai 4.
Limit kedua menjadi
$$\displaystyle
\frac{10-16}{2}
=-3
$$
sehingga kedua syarat terpenuhi.
Bagian c
Kondisi pertama hanya memberikan informasi tentang perilaku dominan fungsi.
Kondisi kedua mengukur kesalahan yang lebih kecil setelah suku dominan dan konstanta utama dikurangi. Karena itu, kondisi kedua mampu menentukan \(b\).
Soal 7
Didefinisikan
$$\displaystyle
M_p=
\lim_{x\to2}
\frac{x^2+px-2p-4}{x-2}
$$
a. Jelaskan mengapa bentuk \(\frac00\) tidak berarti \(M_p=0\).
b. Tentukan \(M_p\) sebagai fungsi dari \(p\).
c. Jika \(M_p=9\), tentukan nilai \(p\).
Pembilang dapat difaktorkan:
$$\displaystyle
x^2+px-2p-4
=
(x-2)(x+p+2)
$$
Maka
$$\displaystyle
M_p=
\lim_{x\to2}(x+p+2)
$$
$$\displaystyle =p+4$$
Jadi,
$$\displaystyle M_p=p+4$$
Jika \(M_p=9\), maka
$$\displaystyle p+4=9$$
$$\displaystyle p=5$$
Jadi, \(p=5\).
Soal 8
Hitung limit
$$\displaystyle
\lim_{x\to0}
\frac{
\sqrt{1+4x}-\sqrt{1-2x}
}{x}
$$
dan jelaskan mengapa bentuk sekawan merupakan strategi yang tepat.
Kalikan dengan sekawan.
$$\displaystyle
\frac{
\sqrt{1+4x}-\sqrt{1-2x}
}{x}
\cdot
\frac{
\sqrt{1+4x}+\sqrt{1-2x}
}{
\sqrt{1+4x}+\sqrt{1-2x}
}
$$
Diperoleh
$$\displaystyle
\frac{
(1+4x)-(1-2x)
}{
x\left(
\sqrt{1+4x}+\sqrt{1-2x}
\right)
}
$$
$$\displaystyle
=
\frac{6}
{
\sqrt{1+4x}+\sqrt{1-2x}
}
$$
Saat \(x\to0\),
$$\displaystyle
\frac{6}{1+1}=3
$$
Jadi, nilai limit adalah \(3\).
Bentuk sekawan tepat digunakan karena menghilangkan selisih akar yang menyebabkan bentuk tak tentu.
Soal 9
Hitung limit
$$\displaystyle
\lim_{x\to0}
\frac{1-\cos3x}{x\sin x}
$$
dan jelaskan mengapa hasilnya tidak dapat diperoleh hanya dari perbandingan angka 3 dan 1.
Gunakan
$$\displaystyle 1-\cos3x=2\sin^2\frac{3x}{2}$$
Maka
$$\displaystyle
\frac{1-\cos3x}{x\sin x}
=
2
\frac{\sin\frac{3x}{2}}{x}
\frac{\sin\frac{3x}{2}}{\sin x}
$$
Faktor pertama:
$$\displaystyle
\lim_{x\to0}
\frac{\sin\frac{3x}{2}}{x}
=
\frac32
$$
Faktor kedua:
$$\displaystyle
\lim_{x\to0}
\frac{\sin\frac{3x}{2}}{\sin x}
=
\frac32
$$
Jadi,
$$\displaystyle
2\left(\frac32\right)\left(\frac32\right)
=
\frac92
$$
Nilai limit adalah \(\frac92\).
Hal ini terjadi karena \(1-\cos3x\) mempunyai perilaku kuadrat terhadap sudut, sehingga analisis rasio sudut secara linear saja tidak cukup.
Soal 10
Hitung limit
$$\displaystyle
\lim_{x\to\infty}
\left(
\sqrt{4x^2+5x+1}-2x
\right)
$$
dengan bentuk sekawan.
Gunakan bentuk sekawan.
$$\displaystyle
\sqrt{4x^2+5x+1}-2x
=
\frac{5x+1}
{\sqrt{4x^2+5x+1}+2x}
$$
Bagi pembilang dan penyebut dengan \(x\).
$$\displaystyle
=
\frac{
5+\frac1x
}{
\sqrt{
4+\frac5x+\frac1{x^2}
}+2
}
$$
Saat \(x\to\infty\),
$$\displaystyle
\frac5{2+2}
=
\frac54
$$
Jadi, nilai limit adalah \(\frac54\).
B. Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung
Soal 11
Ujung-ujung diameter sebuah lingkaran adalah
$$\displaystyle A(-3,2)$$
dan
$$\displaystyle B(5,6)$$
a. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran.
b. Tentukan persamaan lingkaran dalam bentuk baku dan bentuk umum.
c. Tentukan kedudukan titik \(P(5,2)\) terhadap lingkaran tanpa menggambar.
Bagian a
Pusat merupakan titik tengah diameter.
$$\displaystyle
\left(
\frac{-3+5}{2},
\frac{2+6}{2}
\right)
=
(1,4)
$$
Panjang diameter kuadrat:
$$\displaystyle
AB^2
=
(5+3)^2+(6-2)^2
$$
$$\displaystyle
=64+16
=80
$$
Karena jari-jari setengah diameter,
$$\displaystyle
r^2=\frac{80}{4}=20
$$
Jadi
$$\displaystyle r=2\sqrt5$$
Bagian b
Bentuk baku:
$$\displaystyle
(x-1)^2+(y-4)^2=20
$$
Kembangkan.
$$\displaystyle
x^2-2x+1+y^2-8y+16=20
$$
$$\displaystyle
x^2+y^2-2x-8y-3=0
$$
Bagian c
Untuk titik \(P(5,2)\):
$$\displaystyle
(5-1)^2+(2-4)^2
=
16+4
=
20
$$
Nilainya sama dengan \(r^2\).
Jadi, titik \(P\) berada pada lingkaran.
Soal 12
Perhatikan gambar berikut.
Lingkaran berpusat di \(O(2,-1)\) dengan jari-jari 4.
a. Tentukan kedudukan titik \(A\), \(B\), \(C\), dan \(D\).
b. Buktikan setiap kesimpulan menggunakan perbandingan kuadrat jarak terhadap \(r^2\).
Diketahui
$$\displaystyle r^2=16$$
Titik \(A(6,-1)\)
$$\displaystyle
(6-2)^2+(-1+1)^2
=
16
$$
Jadi A berada pada lingkaran.
Titik \(B(2,3)\)
$$\displaystyle
(2-2)^2+(3+1)^2
=
16
$$
Jadi B berada pada lingkaran.
Titik \(C(4,2)\)
$$\displaystyle
(4-2)^2+(2+1)^2
=
4+9
=
13
$$
Karena
$$\displaystyle 13\lt16$$
C berada di dalam lingkaran.
Titik \(D(7,2)\)
$$\displaystyle
(7-2)^2+(2+1)^2
=
25+9
=
34
$$
Karena
$$\displaystyle 34\gt16$$
D berada di luar lingkaran.
Soal 13
Diketahui lingkaran
$$\displaystyle x^2+y^2=13$$
dan titik
$$\displaystyle T(2,3)$$
Perhatikan ilustrasi berikut.
a. Buktikan bahwa \(T\) berada pada lingkaran.
b. Tentukan persamaan garis singgung di titik \(T\).
c. Verifikasi bahwa garis singgung tegak lurus dengan jari-jari \(OT\).
Bagian a
$$\displaystyle
2^2+3^2
=
4+9
=
13
$$
Jadi \(T\) benar berada pada lingkaran.
Bagian b
Untuk lingkaran
$$\displaystyle x^2+y^2=r^2$$
garis singgung di \((x_1,y_1)\) adalah
$$\displaystyle xx_1+yy_1=r^2$$
Maka
$$\displaystyle 2x+3y=13$$
Jadi, persamaan garis singgung adalah \(2x+3y=13\).
Bagian c
Gradien jari-jari OT:
$$\displaystyle m_{OT}=\frac32$$
Persamaan garis singgung dapat ditulis
$$\displaystyle
y=-\frac23x+\frac{13}{3}
$$
sehingga gradiennya
$$\displaystyle m_t=-\frac23$$
Karena
$$\displaystyle
\left(\frac32\right)
\left(-\frac23\right)
=-1
$$
kedua garis saling tegak lurus.
Soal 14
Diketahui lingkaran
$$\displaystyle
(x-1)^2+(y-1)^2=9
$$
dan titik luar \(P(6,1)\).
a. Buktikan bahwa \(P\) berada di luar lingkaran.
b. Misalkan garis melalui \(P\) bergradien \(m\). Tentukan kedua nilai \(m\) agar garis tersebut menyinggung lingkaran.
c. Tentukan dua persamaan garis singgungnya.
d. Tentukan panjang ruas garis singgung dari \(P\) ke lingkaran.
Bagian a
Pusat lingkaran
$$\displaystyle O(1,1)$$
dan
$$\displaystyle r=3$$
Kuadrat jarak OP:
$$\displaystyle
OP^2=(6-1)^2+(1-1)^2=25
$$
Karena
$$\displaystyle 25\gt9$$
P berada di luar lingkaran.
Bagian b
Garis melalui \(P\):
$$\displaystyle y-1=m(x-6)$$
Bentuk umumnya:
$$\displaystyle mx-y+1-6m=0$$
Jarak pusat ke garis harus sama dengan 3.
$$\displaystyle
\frac{
|m-1+1-6m|
}{
\sqrt{m^2+1}
}
=3
$$
$$\displaystyle
\frac{5|m|}
{\sqrt{m^2+1}}
=3
$$
Kuadratkan:
$$\displaystyle
25m^2
=
9m^2+9
$$
$$\displaystyle
16m^2=9
$$
$$\displaystyle
m=\frac34
$$
atau
$$\displaystyle
m=-\frac34
$$
Bagian c
Untuk \(m=\frac34\):
$$\displaystyle
y-1=\frac34(x-6)
$$
sehingga
$$\displaystyle
3x-4y-14=0
$$
Untuk \(m=-\frac34\):
$$\displaystyle
y-1=-\frac34(x-6)
$$
sehingga
$$\displaystyle
3x+4y-22=0
$$
Jadi kedua garis singgung adalah
$$\displaystyle
3x-4y-14=0
$$
dan
$$\displaystyle
3x+4y-22=0
$$
Bagian d
Panjang garis singgung:
$$\displaystyle
PT=\sqrt{OP^2-r^2}
$$
$$\displaystyle
=\sqrt{25-9}
$$
$$\displaystyle
=4
$$
Jadi panjang masing-masing ruas garis singgung adalah 4 satuan.
Soal 15
Diberikan dua lingkaran:
$$\displaystyle C_1:x^2+y^2=25$$
dan
$$\displaystyle C_2:(x-4)^2+y^2=9$$
a. Tentukan pusat dan jari-jari masing-masing lingkaran.
b. Tentukan hubungan kedua lingkaran.
c. Tentukan persamaan tali busur persekutuan.
d. Tentukan kedua titik potong lingkaran.
Bagian a
Untuk \(C_1\):
$$\displaystyle O_1=(0,0),\qquad r_1=5$$
Untuk \(C_2\):
$$\displaystyle O_2=(4,0),\qquad r_2=3$$
Bagian b
Jarak antarpusat:
$$\displaystyle d=4$$
Sedangkan
$$\displaystyle
|r_1-r_2|=2
$$
dan
$$\displaystyle
r_1+r_2=8
$$
Karena
$$\displaystyle
2\lt4\lt8
$$
kedua lingkaran berpotongan pada dua titik.
Bagian c
Bentuk umum \(C_1\):
$$\displaystyle x^2+y^2-25=0$$
Bentuk umum \(C_2\):
$$\displaystyle x^2+y^2-8x+7=0$$
Kurangkan kedua persamaan.
$$\displaystyle 8x-32=0$$
$$\displaystyle x=4$$
Jadi persamaan tali busur persekutuannya adalah \(x=4\).
Bagian d
Substitusikan \(x=4\) ke \(C_1\):
$$\displaystyle
16+y^2=25
$$
$$\displaystyle
y^2=9
$$
$$\displaystyle
y=3
$$
atau
$$\displaystyle
y=-3
$$
Jadi titik potongnya adalah \((4,3)\) dan \((4,-3)\).
Soal 16
Untuk bilangan real \(k\), diberikan dua lingkaran
$$\displaystyle
C_k:x^2+y^2-4x+2y+k=0
$$
dan
$$\displaystyle
D:(x-7)^2+(y+1)^2=9
$$
a. Tentukan nilai \(k\) agar kedua lingkaran bersinggungan luar.
b. Tentukan koordinat titik singgung.
c. Tentukan persamaan garis singgung bersama pada titik tersebut.
d. Untuk \(0\lt\varepsilon\lt1\), klasifikasikan kedudukan kedua lingkaran jika \(k\) diganti menjadi \(1-\varepsilon\) dan \(1+\varepsilon\).
Bagian a
Ubah \(C_k\) ke bentuk baku.
$$\displaystyle
x^2-4x+y^2+2y+k=0
$$
$$\displaystyle
(x-2)^2+(y+1)^2=5-k
$$
Jadi pusatnya
$$\displaystyle O_1=(2,-1)$$
dan
$$\displaystyle r_1=\sqrt{5-k}$$
Untuk lingkaran D:
$$\displaystyle O_2=(7,-1)$$
dan
$$\displaystyle r_2=3$$
Jarak antarpusat:
$$\displaystyle d=5$$
Agar bersinggungan luar:
$$\displaystyle r_1+r_2=d$$
$$\displaystyle
\sqrt{5-k}+3=5
$$
$$\displaystyle
\sqrt{5-k}=2
$$
$$\displaystyle
5-k=4
$$
$$\displaystyle
k=1
$$
Jadi, \(k=1\).
Bagian b
Kedua pusat berada pada garis horizontal \(y=-1\).
Dari \(O_1=(2,-1)\), titik singgung berjarak 2 satuan ke kanan.
$$\displaystyle T=(4,-1)$$
Bagian c
Jari-jari menuju T horizontal, sehingga garis singgung tegak lurusnya vertikal.
$$\displaystyle x=4$$
Bagian d
Jika
$$\displaystyle k=1-\varepsilon$$
maka
$$\displaystyle r_1=\sqrt{4+\varepsilon}\gt2$$
sehingga
$$\displaystyle r_1+3\gt5$$
dan kedua lingkaran berpotongan pada dua titik.
Jika
$$\displaystyle k=1+\varepsilon$$
maka
$$\displaystyle r_1=\sqrt{4-\varepsilon}\lt2$$
sehingga
$$\displaystyle r_1+3\lt5$$
dan kedua lingkaran saling lepas.
Soal 17
Diketahui lingkaran
$$\displaystyle
x^2+y^2-4x+2y-4=0
$$
Tentukan semua garis singgung lingkaran yang mempunyai gradien 1.
Verifikasi jawaban menggunakan jarak pusat ke garis.
Ubah ke bentuk baku.
$$\displaystyle
x^2-4x+y^2+2y=4
$$
$$\displaystyle
(x-2)^2+(y+1)^2=9
$$
Pusat lingkaran adalah
$$\displaystyle (2,-1)$$
dan jari-jari
$$\displaystyle r=3$$
Garis bergradien 1 berbentuk
$$\displaystyle y=x+c$$
atau
$$\displaystyle x-y+c=0$$
Syarat singgung:
$$\displaystyle
\frac{|2-(-1)+c|}{\sqrt2}=3
$$
$$\displaystyle
|3+c|=3\sqrt2
$$
Maka
$$\displaystyle
c=-3+3\sqrt2
$$
atau
$$\displaystyle
c=-3-3\sqrt2
$$
Jadi kedua garis singgung adalah
$$\displaystyle
y=x-3+3\sqrt2
$$
dan
$$\displaystyle
y=x-3-3\sqrt2
$$
Jika masing-masing persamaan ditulis ke bentuk umum dan jarak pusat dihitung, hasilnya tepat 3 sehingga keduanya benar-benar menyinggung lingkaran.
Soal 18
Diketahui lingkaran
$$\displaystyle
(x-2)^2+(y+1)^2=10
$$
dan garis
$$\displaystyle
x-3y+6=0
$$
a. Tentukan apakah garis memotong, menyinggung, atau berada di luar lingkaran.
b. Tentukan semua nilai \(c\) agar garis
$$\displaystyle x-3y+c=0$$
menyinggung lingkaran.
Pusat lingkaran adalah
$$\displaystyle (2,-1)$$
dan
$$\displaystyle r=\sqrt{10}$$
Bagian a
Jarak pusat ke garis:
$$\displaystyle
d=
\frac{|2-3(-1)+6|}{\sqrt{1+9}}
$$
$$\displaystyle
=
\frac{11}{\sqrt{10}}
$$
Bandingkan dengan jari-jari:
$$\displaystyle
\frac{11}{\sqrt{10}}\gt\sqrt{10}
$$
Jadi garis berada di luar lingkaran dan tidak mempunyai titik potong.
Bagian b
Syarat singgung:
$$\displaystyle
\frac{|2-3(-1)+c|}{\sqrt{10}}
=
\sqrt{10}
$$
$$\displaystyle
|5+c|=10
$$
Maka
$$\displaystyle c=5$$
atau
$$\displaystyle c=-15$$
Jadi nilai \(c\) adalah \(5\) atau \(-15\).
Soal 19
Diberikan lingkaran
$$\displaystyle
x^2+y^2-4x-6y-12=0
$$
dan titik \(T(2,8)\).
a. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran.
b. Buktikan bahwa \(T\) berada pada lingkaran.
c. Tentukan persamaan garis singgung pada titik \(T\).
d. Jelaskan mengapa soal tersebut dapat diselesaikan tanpa menghitung gradien secara panjang.
Bagian a
Lengkapi kuadrat.
$$\displaystyle
x^2-4x+y^2-6y=12
$$
$$\displaystyle
(x-2)^2+(y-3)^2=25
$$
Pusat lingkaran adalah
$$\displaystyle (2,3)$$
dan
$$\displaystyle r=5$$
Bagian b
Substitusikan \(T(2,8)\).
$$\displaystyle
(2-2)^2+(8-3)^2
=
25
$$
Jadi T berada pada lingkaran.
Bagian c
Jari-jari dari \((2,3)\) menuju \((2,8)\) merupakan garis vertikal.
Garis singgung tegak lurus terhadap jari-jari, sehingga garis singgungnya horizontal.
Melalui \(T(2,8)\), persamaannya adalah
$$\displaystyle y=8$$
Bagian d
Kita tidak perlu menghitung gradien karena posisi pusat dan titik singgung mempunyai absis sama. Secara langsung radius vertikal sehingga tangent horizontal.
Soal 20
Sebuah lingkaran melalui titik asal \(O(0,0)\), pusatnya terletak pada sumbu-\(x\), dan lingkaran menyinggung garis
$$\displaystyle
3x+4y=20
$$
a. Jika pusat lingkaran adalah \((a,0)\), tunjukkan bahwa jari-jarinya adalah \(|a|\).
b. Tentukan semua nilai \(a\) yang mungkin.
c. Tentukan semua persamaan lingkaran yang memenuhi syarat.
d. Jelaskan mengapa terdapat dua lingkaran yang memenuhi.
Bagian a
Karena lingkaran melalui titik asal, jari-jari sama dengan jarak pusat \((a,0)\) ke \((0,0)\).
$$\displaystyle
r=\sqrt{a^2}=|a|
$$
Bagian b
Jarak pusat ke garis harus sama dengan jari-jari.
$$\displaystyle
\frac{|3a-20|}{5}=|a|
$$
Maka
$$\displaystyle
|3a-20|=5|a|
$$
Kuadratkan kedua ruas.
$$\displaystyle
(3a-20)^2=25a^2
$$
$$\displaystyle
9a^2-120a+400=25a^2
$$
$$\displaystyle
16a^2+120a-400=0
$$
Bagi dengan 8.
$$\displaystyle
2a^2+15a-50=0
$$
Faktorkan.
$$\displaystyle
(2a-5)(a+10)=0
$$
Maka
$$\displaystyle
a=\frac52
$$
atau
$$\displaystyle
a=-10
$$
Bagian c
Untuk
$$\displaystyle a=\frac52$$
jari-jarinya
$$\displaystyle r=\frac52$$
sehingga persamaan lingkarannya
$$\displaystyle
\left(x-\frac52\right)^2+y^2=\frac{25}{4}
$$
Untuk
$$\displaystyle a=-10$$
jari-jarinya
$$\displaystyle r=10$$
sehingga persamaan lingkarannya
$$\displaystyle
(x+10)^2+y^2=100
$$
Jadi terdapat dua lingkaran yang memenuhi:
$$\displaystyle
\left(x-\frac52\right)^2+y^2=\frac{25}{4}
$$
dan
$$\displaystyle
(x+10)^2+y^2=100
$$
Bagian d
Pusat lingkaran dibatasi berada pada sumbu-\(x\), tetapi tidak dibatasi harus berada di sisi positif.
Syarat geometris memungkinkan satu pusat berada di sebelah kanan titik asal dan satu pusat lainnya berada jauh di sebelah kiri.
Strategi Menghadapi ASTS-1 Matematika Tingkat Lanjut
1. Jangan Menganggap \(\frac00=0\)
Jika substitusi menghasilkan \(\frac00\), berhenti dan analisis struktur fungsi. Cari kemungkinan faktorisasi, sekawan, atau identitas.
2. Kenali Bentuk Akar
Untuk selisih dua bentuk akar, bentuk sekawan biasanya merupakan strategi pertama yang patut dicoba.
3. Pada Limit Trigonometri, Ubah ke Bentuk Dasar
Usahakan membuat faktor seperti
$$\displaystyle \frac{\sin u}{u}$$
karena limit bentuk tersebut sudah diketahui.
4. Jangan Menggunakan Perbandingan Koefisien secara Serampangan
Untuk bentuk sinus, faktor sudut dapat muncul secara linear. Namun pada \(1-\cos x\), perilakunya kuadrat sehingga faktor sudut juga muncul dalam bentuk kuadrat.
5. Pada Kekontinuan, Periksa Tiga Hal
Pastikan:
- limit kiri ada;
- limit kanan ada dan sama;
- nilai fungsi sama dengan limit.
6. Pada Lingkaran, Cari Pusat dan Jari-jari Terlebih Dahulu
Banyak soal yang terlihat panjang menjadi sederhana setelah pusat dan jari-jari diketahui.
7. Sebelum Menentukan Garis Singgung, Periksa Titiknya
Jika suatu titik diklaim sebagai titik singgung, substitusikan terlebih dahulu ke persamaan lingkaran.
8. Gunakan Jarak Pusat ke Garis
Untuk garis singgung yang belum diketahui titik singgungnya, syarat
$$\displaystyle d=r$$
sering menjadi metode paling efektif.
9. Jangan Salah Menggunakan Kriteria Dua Lingkaran
Jangan hanya membandingkan jarak antarpusat dengan jari-jari terbesar.
Bandingkan \(d\) terhadap
$$\displaystyle r_1+r_2$$
dan
$$\displaystyle |r_1-r_2|$$
10. Jelaskan Alasan, Bukan Hanya Hasil
Pada soal uraian tingkat lanjut, jawaban akhir yang benar tetapi tanpa alasan matematis yang memadai belum menunjukkan penguasaan konsep secara utuh.
Rangkuman Rumus Penting
Limit dasar:
$$\displaystyle
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1
$$
$$\displaystyle
1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}
$$
Lingkaran:
$$\displaystyle
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
$$
Pusat bentuk umum:
$$\displaystyle
\left(-\frac D2,-\frac E2\right)
$$
Jari-jari bentuk umum:
$$\displaystyle
r^2=\frac{D^2+E^2}{4}-F
$$
Garis singgung lingkaran \(x^2+y^2=r^2\) di \((x_1,y_1)\):
$$\displaystyle
xx_1+yy_1=r^2
$$
Jarak titik \((a,b)\) ke garis \(Ax+By+C=0\):
$$\displaystyle
d=
\frac{|Aa+Bb+C|}
{\sqrt{A^2+B^2}}
$$
Panjang garis singgung dari titik luar:
$$\displaystyle
PT=\sqrt{OP^2-r^2}
$$
Kesimpulan
Persiapan ASTS-1 Matematika Tingkat Lanjut Kelas XII memerlukan kemampuan yang lebih luas daripada sekadar menghafal rumus. Pada materi limit, peserta didik perlu mampu mengenali bentuk tak tentu, memilih manipulasi aljabar yang tepat, menggunakan identitas trigonometri, dan menganalisis perilaku fungsi.
Pada materi lingkaran, pemahaman tentang pusat, jari-jari, jarak, dan sifat tegak lurus garis singgung menjadi dasar utama. Hubungan dua lingkaran juga harus dianalisis dengan membandingkan jarak antarpusat terhadap jumlah dan selisih jari-jari.
Dua puluh latihan di atas dirancang agar peserta didik terbiasa dengan soal yang menuntut analisis, evaluasi klaim, pembuktian, verifikasi, dan penalaran matematis. Kerjakan secara runtut dan jangan hanya mengejar jawaban akhir.
Siapkan diri menghadapi Prediksi ASTS-1 Matematika Tingkat Lanjut Kelas XII melalui latihan yang mencakup materi utama Limit Fungsi Aljabar, Limit Fungsi Trigonometri, Limit di Tak Hingga, Persamaan Lingkaran, serta Persamaan Garis Singgung Lingkaran. Latihan ini dapat digunakan untuk menguji pemahaman konsep, ketelitian perhitungan, dan kesiapan menghadapi variasi soal ASTS-1 agar kamu lebih percaya diri saat ujian.
Gunakan password: 1234 untuk mencoba soal prediksi ASTS-1 Matematika Tingkat Lanjut Kelas XII
Tinggalkan komentar