Matriks merupakan salah satu konsep dasar dalam matematika yang digunakan untuk menyajikan data secara ringkas dan terstruktur. Sebelum mempelajari operasi matriks, determinan, dan invers matriks, kita perlu memahami terlebih dahulu pengertian matriks, baris dan kolom, ordo, serta elemen matriks.
Pada pembelajaran ini kita tidak hanya menghafal istilah. Kita akan mencoba memahami pola, menghubungkannya dengan situasi nyata, kemudian menggunakan konsep tersebut untuk menyelesaikan masalah.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari definisi matriks, kamu diharapkan mampu:
- menjelaskan pengertian matriks dengan bahasamu sendiri;
- membedakan baris dan kolom pada matriks;
- menentukan ordo suatu matriks;
- menentukan banyak elemen dalam matriks;
- membaca notasi elemen $latex \displaystyle a_{ij}$ dengan tepat;
- menentukan posisi suatu elemen berdasarkan baris dan kolom;
- mengenali matriks baris dan matriks kolom;
- menggunakan informasi tentang ordo dan elemen untuk menyelesaikan masalah.
Mari Berpikir
Bayangkan seorang guru mencatat nilai tiga siswa pada dua kali ulangan.
Siswa pertama memperoleh nilai $latex \displaystyle 80$ dan $latex \displaystyle 85$.
Siswa kedua memperoleh nilai $latex \displaystyle 75$ dan $latex \displaystyle 90$.
Siswa ketiga memperoleh nilai $latex \displaystyle 88$ dan $latex \displaystyle 92$.
Data tersebut dapat disusun menjadi
$latex \displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}80&85\\75&90\\88&92\end{array}\right)$
Perhatikan susunannya.
Jika setiap siswa ditempatkan pada satu susunan mendatar, kita memperoleh tiga baris.
Jika nilai ulangan pertama dan kedua ditempatkan pada susunan tegak yang berbeda, kita memperoleh dua kolom.
Dengan cara ini, sekumpulan data dapat ditampilkan secara ringkas sekaligus tetap mempertahankan informasi tentang posisi setiap nilai.
Susunan bilangan seperti itulah yang menjadi gagasan dasar sebuah matriks.
Pengertian atau Definisi Matriks
Matriks adalah susunan bilangan atau elemen yang disusun menurut baris dan kolom serta biasanya ditempatkan di antara tanda kurung.
Matriks umumnya diberi nama menggunakan huruf kapital seperti $latex \displaystyle A$, $latex \displaystyle B$, $latex \displaystyle C$, dan seterusnya.
Contoh:
$latex \displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2&5&7\\1&-3&4\end{array}\right)$
Matriks tersebut bernama matriks $latex \displaystyle A$.
Di dalamnya terdapat enam bilangan, yaitu $latex \displaystyle 2$, $latex \displaystyle 5$, $latex \displaystyle 7$, $latex \displaystyle 1$, $latex \displaystyle -3$, dan $latex \displaystyle 4$.
Bilangan-bilangan tersebut tidak sekadar dikumpulkan. Setiap bilangan mempunyai posisi tertentu berdasarkan baris dan kolomnya.
Inilah hal penting dalam memahami definisi matriks: posisi sebuah elemen mempunyai arti.
Baris pada Matriks
Baris matriks adalah susunan elemen secara horizontal atau mendatar.
Perhatikan kembali
$latex \displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2&5&7\\1&-3&4\end{array}\right)$
Baris pertama adalah
$latex \displaystyle \left(\begin{array}{ccc}2&5&7\end{array}\right)$
Baris kedua adalah
$latex \displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1&-3&4\end{array}\right)$
Penomoran baris dimulai dari atas ke bawah.
Jadi, ketika kita menyebut baris kedua, yang dimaksud adalah susunan mendatar kedua dari atas.
Kolom pada Matriks
Kolom matriks adalah susunan elemen secara vertikal atau tegak.
Untuk
$latex \displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2&5&7\\1&-3&4\end{array}\right)$
kolom pertama adalah
$latex \displaystyle \left(\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right)$
kolom kedua adalah
$latex \displaystyle \left(\begin{array}{c}5\\-3\end{array}\right)$
dan kolom ketiga adalah
$latex \displaystyle \left(\begin{array}{c}7\\4\end{array}\right)$
Penomoran kolom dimulai dari kiri ke kanan.
Cara mudah mengingatnya:
Baris bergerak mendatar.
Kolom bergerak tegak.
Apa Itu Ordo Matriks?
Ukuran suatu matriks disebut ordo matriks.
Jika sebuah matriks mempunyai $latex \displaystyle m$ baris dan $latex \displaystyle n$ kolom, maka ordonya adalah
$latex \displaystyle m\times n$
Urutannya sangat penting:
$latex \displaystyle \text{banyak baris}\times\text{banyak kolom}$
bukan sebaliknya.
Misalkan
$latex \displaystyle B=\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&7\\2&4&6&8\\9&10&11&12\end{array}\right)$
Matriks $latex \displaystyle B$ mempunyai tiga baris dan empat kolom.
Jadi,
$latex \displaystyle \text{ordo }B=3\times4$
Kita juga dapat menuliskannya sebagai
$latex \displaystyle B_{3\times4}$
Mengapa Baris Ditulis Lebih Dahulu?
Ordo matriks menunjukkan bentuk susunan data.
Misalnya,
$latex \displaystyle 2\times3$
berarti dua baris dan tiga kolom.
Sementara itu,
$latex \displaystyle 3\times2$
berarti tiga baris dan dua kolom.
Walaupun keduanya mempunyai enam elemen, bentuk susunannya berbeda.
Jadi,
$latex \displaystyle 2\times3\neq3\times2$
dalam konteks ukuran atau ordo matriks.
Banyak Elemen Matriks
Jika sebuah matriks berordo
$latex \displaystyle m\times n$
maka banyak seluruh elemennya adalah
$latex \displaystyle mn$
Mengapa?
Setiap baris mempunyai $latex \displaystyle n$ elemen. Jika terdapat $latex \displaystyle m$ baris, jumlah seluruh elemen adalah
$latex \displaystyle \underbrace{n+n+\cdots+n}_{m\text{ baris}}=mn$
Sebagai contoh, matriks berordo
$latex \displaystyle 3\times4$
mempunyai
$latex \displaystyle 3\cdot4=12$
elemen.
Perhatikan perbedaannya.
Ordo menjelaskan susunan baris dan kolom.
Banyak elemen menjelaskan jumlah seluruh anggota matriks.
Elemen Matriks dan Notasi $latex \displaystyle a_{ij}$
Setiap bilangan atau anggota yang terdapat dalam suatu matriks disebut elemen matriks.
Jika matriks diberi nama $latex \displaystyle A$, elemen-elemennya biasanya dinotasikan dengan huruf kecil $latex \displaystyle a$ disertai dua indeks.
Bentuknya adalah
$latex \displaystyle a_{ij}$
dengan
$latex \displaystyle i=\text{nomor baris}$
dan
$latex \displaystyle j=\text{nomor kolom}$
Dengan kata lain,
$latex \displaystyle a_{ij}=\text{elemen pada baris ke-}i\text{ dan kolom ke-}j$
Perhatikan matriks
$latex \displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}4&8&-2\\5&1&7\end{array}\right)$
Elemen pada baris pertama kolom pertama adalah
$latex \displaystyle a_{11}=4$
Elemen pada baris pertama kolom kedua adalah
$latex \displaystyle a_{12}=8$
Elemen pada baris kedua kolom pertama adalah
$latex \displaystyle a_{21}=5$
Elemen pada baris kedua kolom ketiga adalah
$latex \displaystyle a_{23}=7$
Cara Membaca $latex \displaystyle a_{ij}$
Untuk mencari $latex \displaystyle a_{ij}$, lakukan dua langkah.
Pertama, cari baris ke-$latex \displaystyle i$.
Kedua, pada baris tersebut cari kolom ke-$latex \displaystyle j$.
Jadi,
$latex \displaystyle a_{32}$
berarti baris ketiga, kolom kedua.
Bukan kolom ketiga baris kedua.
Bentuk Umum Matriks
Matriks berordo $latex \displaystyle m\times n$ dapat ditulis dalam bentuk umum
$latex \displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{array}\right)$
Dari pola tersebut kita dapat membaca beberapa posisi.
$latex \displaystyle a_{11}$ berada pada baris pertama kolom pertama.
$latex \displaystyle a_{1n}$ berada pada baris pertama kolom ke-$latex \displaystyle n$.
$latex \displaystyle a_{m1}$ berada pada baris ke-$latex \displaystyle m$ kolom pertama.
$latex \displaystyle a_{mn}$ berada pada baris ke-$latex \displaystyle m$ kolom ke-$latex \displaystyle n$.
Dengan memahami pola ini, kita tidak perlu menghafalkan posisi elemen satu per satu.
Matriks Baris
Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris.
Bentuk umumnya adalah
$latex \displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{array}\right)$
Ordonnya
$latex \displaystyle 1\times n$
Contoh:
$latex \displaystyle P=\left(\begin{array}{cccc}3&5&-2&7\end{array}\right)$
Matriks $latex \displaystyle P$ mempunyai satu baris dan empat kolom.
Jadi,
$latex \displaystyle \text{ordo }P=1\times4$
Karena hanya mempunyai satu baris, matriks $latex \displaystyle P$ merupakan matriks baris.
Matriks Kolom
Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. Elemen-elemennya tersusun secara vertikal.
Bentuk umumnya adalah
$latex \displaystyle A=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{array}\right)$
Ordonnya
$latex \displaystyle n\times1$
Contoh:
$latex \displaystyle Q=\left(\begin{array}{c}6\\-1\\8\end{array}\right)$
Matriks tersebut mempunyai tiga baris dan satu kolom.
Maka,
$latex \displaystyle \text{ordo }Q=3\times1$
Karena hanya mempunyai satu kolom, $latex \displaystyle Q$ merupakan matriks kolom.
Hubungan Baris, Kolom, Ordo, dan Elemen Matriks
Empat konsep utama dalam definisi matriks sebenarnya saling berkaitan.
Jika
$latex \displaystyle A_{m\times n}$
maka:
- terdapat $latex \displaystyle m$ baris;
- terdapat $latex \displaystyle n$ kolom;
- terdapat $latex \displaystyle mn$ elemen;
- indeks baris suatu elemen tidak dapat melebihi $latex \displaystyle m$;
- indeks kolom suatu elemen tidak dapat melebihi $latex \displaystyle n$.
Misalnya,
$latex \displaystyle A_{3\times4}$
mempunyai tiga baris dan empat kolom.
Elemen
$latex \displaystyle a_{24}$
mungkin ada karena baris kedua dan kolom keempat tersedia.
Elemen
$latex \displaystyle a_{35}$
tidak ada karena matriks hanya mempunyai empat kolom.
Elemen
$latex \displaystyle a_{41}$
juga tidak ada karena matriks hanya mempunyai tiga baris.
Kesalahan Umum saat Mempelajari Matriks
Membalik Urutan Ordo
Jika matriks mempunyai dua baris dan lima kolom, ordonya adalah
$latex \displaystyle 2\times5$
bukan
$latex \displaystyle 5\times2$
Tertukar antara Baris dan Kolom
Baris dibaca secara mendatar, sedangkan kolom dibaca secara tegak.
Membalik Indeks Elemen
$latex \displaystyle a_{23}$
berarti baris kedua kolom ketiga, bukan baris ketiga kolom kedua.
Menganggap Banyak Elemen Menentukan Satu Ordo
Sebanyak $latex \displaystyle 12$ elemen dapat membentuk beberapa ordo, misalnya
$latex \displaystyle 1\times12$
$latex \displaystyle 2\times6$
$latex \displaystyle 3\times4$
$latex \displaystyle 4\times3$
$latex \displaystyle 6\times2$
atau
$latex \displaystyle 12\times1$
Jadi, mengetahui jumlah elemen saja belum tentu cukup untuk menentukan ordo.
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1
Diberikan matriks
$latex \displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2&5&-1\\4&0&7\end{array}\right)$
Tentukan banyak baris, banyak kolom, ordo, dan banyak elemen matriks $latex \displaystyle A$.
Terdapat dua susunan mendatar sehingga matriks mempunyai dua baris.
Pada setiap baris terdapat tiga elemen sehingga matriks mempunyai tiga kolom.
Dengan demikian,
$latex \displaystyle \begin{array}{l}\text{banyak baris}=2\\\text{banyak kolom}=3\\\text{ordo }A=2\times3\\\text{banyak elemen}=2\cdot3=6\end{array}$
Soal 2
Diberikan
$latex \displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2&5&-1\\4&0&7\end{array}\right)$
Tentukan nilai $latex \displaystyle a_{23}$.
$latex \displaystyle a_{23}$ berarti elemen pada baris kedua kolom ketiga.
Baris kedua adalah
$latex \displaystyle \left(\begin{array}{ccc}4&0&7\end{array}\right)$
Elemen pada kolom ketiganya adalah $latex \displaystyle 7$.
Jadi,
$latex \displaystyle a_{23}=7$
Soal 3
Perhatikan matriks
$latex \displaystyle B=\left(\begin{array}{c}4\\-2\\9\end{array}\right)$
Tentukan ordo dan jenis matriks $latex \displaystyle B$ berdasarkan susunan baris dan kolomnya.
Matriks $latex \displaystyle B$ mempunyai tiga baris dan satu kolom.
Maka,
$latex \displaystyle \text{ordo }B=3\times1$
Karena hanya mempunyai satu kolom, $latex \displaystyle B$ merupakan matriks kolom.
Soal 4
Diberikan
$latex \displaystyle C=\left(\begin{array}{cccc}6&1&0&-5\end{array}\right)$
Tentukan ordo dan jenis matriks $latex \displaystyle C$.
Matriks $latex \displaystyle C$ mempunyai satu baris dan empat kolom.
Jadi,
$latex \displaystyle \text{ordo }C=1\times4$
Karena hanya mempunyai satu baris, $latex \displaystyle C$ merupakan matriks baris.
Soal 5
Sebuah matriks mempunyai empat baris dan seluruhnya terdiri atas $latex \displaystyle 24$ elemen. Tentukan banyak kolom dan ordonya.
Misalkan banyak kolom adalah $latex \displaystyle n$.
Karena banyak elemen sama dengan hasil kali banyak baris dan kolom,
$latex \displaystyle \begin{array}{l}4n=24\\n=6\end{array}$
Jadi, matriks mempunyai enam kolom.
Ordonnya adalah
$latex \displaystyle 4\times6$
Latihan Memahami Definisi Matriks
Soal 6
Diberikan
$latex \displaystyle D=\left(\begin{array}{cc}3&-2\\7&4\\0&5\end{array}\right)$
Tentukan banyak baris, banyak kolom, dan ordo matriks $latex \displaystyle D$.
Matriks mempunyai tiga baris dan dua kolom.
Jadi,
$latex \displaystyle \text{ordo }D=3\times2$
Soal 7
Gunakan matriks
$latex \displaystyle D=\left(\begin{array}{cc}3&-2\\7&4\\0&5\end{array}\right)$
Tuliskan baris kedua.
Baris kedua merupakan susunan mendatar kedua dari atas.
Jadi, baris keduanya adalah
$latex \displaystyle \left(\begin{array}{cc}7&4\end{array}\right)$
Soal 8
Untuk matriks
$latex \displaystyle D=\left(\begin{array}{cc}3&-2\\7&4\\0&5\end{array}\right)$
tuliskan kolom pertama.
Kolom pertama terdiri atas elemen pertama pada setiap baris.
Jadi,
$latex \displaystyle \left(\begin{array}{c}3\\7\\0\end{array}\right)$
Soal 9
Untuk matriks $latex \displaystyle D$ pada soal sebelumnya, tentukan $latex \displaystyle d_{31}$.
$latex \displaystyle d_{31}$ berarti baris ketiga kolom pertama.
Pada posisi tersebut terdapat $latex \displaystyle 0$.
Jadi,
$latex \displaystyle d_{31}=0$
Soal 10
Pada matriks
$latex \displaystyle E=\left(\begin{array}{ccc}4&-5&8\\2&1&6\end{array}\right)$
nyatakan posisi bilangan $latex \displaystyle -5$ dengan notasi elemen matriks.
Bilangan $latex \displaystyle -5$ berada pada baris pertama kolom kedua.
Karena nama matriksnya $latex \displaystyle E$, notasinya adalah
$latex \displaystyle e_{12}$
Dengan demikian,
$latex \displaystyle e_{12}=-5$
Soal 11
Sebuah matriks $latex \displaystyle F$ berordo $latex \displaystyle 2\times4$. Berapa banyak elemennya?
Banyak elemen diperoleh dengan mengalikan banyak baris dan kolom.
$latex \displaystyle 2\cdot4=8$
Jadi, matriks $latex \displaystyle F$ mempunyai $latex \displaystyle 8$ elemen.
Soal 12
Matriks $latex \displaystyle G$ berordo $latex \displaystyle 5\times1$. Termasuk matriks baris atau matriks kolom?
Ordo $latex \displaystyle 5\times1$ berarti terdapat lima baris dan satu kolom.
Karena hanya mempunyai satu kolom, $latex \displaystyle G$ merupakan matriks kolom.
Soal 13
Matriks $latex \displaystyle H$ berordo $latex \displaystyle 1\times7$. Tentukan jenis matriksnya berdasarkan banyak baris dan kolom.
Matriks tersebut mempunyai satu baris dan tujuh kolom.
Karena hanya mempunyai satu baris, $latex \displaystyle H$ merupakan matriks baris.
Soal 14
Apa arti matriks berordo $latex \displaystyle 3\times5$? Tentukan juga banyak elemennya.
Ordo $latex \displaystyle 3\times5$ berarti matriks mempunyai tiga baris dan lima kolom.
Banyak elemennya adalah
$latex \displaystyle 3\cdot5=15$
Jadi terdapat $latex \displaystyle 15$ elemen.
Soal 15
Matriks $latex \displaystyle J$ berordo $latex \displaystyle 4\times3$. Apakah elemen $latex \displaystyle j_{34}$ terdapat pada matriks tersebut?
Ordo $latex \displaystyle 4\times3$ menunjukkan bahwa matriks mempunyai empat baris tetapi hanya tiga kolom.
Elemen $latex \displaystyle j_{34}$ membutuhkan kolom keempat.
Karena kolom keempat tidak tersedia, $latex \displaystyle j_{34}$ tidak terdapat pada matriks tersebut.
Soal 16
Sebuah matriks mempunyai enam baris dan dua kolom. Tentukan ordo dan banyak elemennya.
Banyak baris adalah $latex \displaystyle 6$ dan banyak kolom adalah $latex \displaystyle 2$.
Maka,
$latex \displaystyle \text{ordo}=6\times2$
Banyak elemennya adalah
$latex \displaystyle 6\cdot2=12$
Soal 17
Suatu matriks mempunyai $latex \displaystyle 28$ elemen dan tujuh kolom. Tentukan banyak barisnya.
Misalkan banyak baris adalah $latex \displaystyle m$.
$latex \displaystyle \begin{array}{l}7m=28\\m=4\end{array}$
Jadi, matriks mempunyai empat baris dan berordo
$latex \displaystyle 4\times7$
Soal 18
Sebuah matriks mempunyai tepat $latex \displaystyle 12$ elemen. Tuliskan semua kemungkinan ordonya dengan banyak baris dan kolom berupa bilangan bulat positif.
Kita mencari pasangan faktor positif dari $latex \displaystyle 12$.
Kemungkinannya adalah
$latex \displaystyle 1\times12$
$latex \displaystyle 2\times6$
$latex \displaystyle 3\times4$
$latex \displaystyle 4\times3$
$latex \displaystyle 6\times2$
dan
$latex \displaystyle 12\times1$
Mengaplikasikan Baris, Kolom, Ordo, dan Elemen Matriks
Soal 19
Nilai empat siswa pada tiga tes disusun dalam sebuah matriks. Setiap siswa menempati satu baris dan setiap tes menempati satu kolom.
Tentukan ordo matriks tersebut.
Empat siswa menghasilkan empat baris.
Tiga tes menghasilkan tiga kolom.
Maka ordonya adalah
$latex \displaystyle 4\times3$
Soal 20
Nilai empat siswa pada tiga tes dinyatakan dengan matriks $latex \displaystyle S$. Baris menunjukkan siswa dan kolom menunjukkan tes.
Apa arti elemen $latex \displaystyle s_{32}$?
Indeks pertama menunjukkan baris, sehingga $latex \displaystyle 3$ berarti siswa ketiga.
Indeks kedua menunjukkan kolom, sehingga $latex \displaystyle 2$ berarti tes kedua.
Jadi, $latex \displaystyle s_{32}$ menyatakan nilai siswa ketiga pada tes kedua.
Soal 21
Data penjualan tiga produk pada dua hari berturut-turut adalah sebagai berikut.
Produk pertama: $latex \displaystyle 12$ dan $latex \displaystyle 15$.
Produk kedua: $latex \displaystyle 9$ dan $latex \displaystyle 11$.
Produk ketiga: $latex \displaystyle 20$ dan $latex \displaystyle 18$.
Susun data tersebut menjadi matriks dengan produk sebagai baris.
Karena produk ditempatkan sebagai baris dan hari sebagai kolom, matriksnya adalah
$latex \displaystyle P=\left(\begin{array}{cc}12&15\\9&11\\20&18\end{array}\right)$
Ordonnya adalah
$latex \displaystyle 3\times2$
Soal 22
Seorang siswa berkata bahwa matriks berordo $latex \displaystyle 2\times3$ sama ukurannya dengan matriks berordo $latex \displaystyle 3\times2$ karena keduanya mempunyai enam elemen.
Apakah pernyataan tersebut benar?
Pernyataan tersebut tidak benar.
Memang,
$latex \displaystyle 2\cdot3=3\cdot2=6$
sehingga jumlah elemennya sama.
Namun, matriks $latex \displaystyle 2\times3$ mempunyai dua baris dan tiga kolom, sedangkan matriks $latex \displaystyle 3\times2$ mempunyai tiga baris dan dua kolom.
Jadi, jumlah elemen yang sama tidak berarti ordonya sama.
Soal 23
Diberikan
$latex \displaystyle R=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)$
Jika $latex \displaystyle r_{12}=7$ dan $latex \displaystyle r_{21}=-3$, tentukan $latex \displaystyle b$ dan $latex \displaystyle c$.
$latex \displaystyle r_{12}$ adalah elemen baris pertama kolom kedua. Pada matriks tersebut, posisi ini ditempati oleh $latex \displaystyle b$.
Jadi,
$latex \displaystyle b=7$
Selanjutnya, $latex \displaystyle r_{21}$ adalah elemen baris kedua kolom pertama, yaitu $latex \displaystyle c$.
Maka,
$latex \displaystyle c=-3$
Soal 24
Suatu matriks $latex \displaystyle A$ berordo $latex \displaystyle 2\times3$ ditentukan oleh
$latex \displaystyle a_{ij}=2i+j$
Tuliskan matriks $latex \displaystyle A$.
Untuk baris pertama,
$latex \displaystyle \begin{array}{l}a_{11}=2(1)+1=3\\a_{12}=2(1)+2=4\\a_{13}=2(1)+3=5\end{array}$
Untuk baris kedua,
$latex \displaystyle \begin{array}{l}a_{21}=2(2)+1=5\\a_{22}=2(2)+2=6\\a_{23}=2(2)+3=7\end{array}$
Jadi,
$latex \displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\5&6&7\end{array}\right)$
Soal 25
Suatu matriks $latex \displaystyle B$ berordo $latex \displaystyle 3\times2$ ditentukan oleh
$latex \displaystyle b_{ij}=i-j$
Tuliskan matriks $latex \displaystyle B$.
Nilai setiap elemen ditentukan menggunakan nomor baris dan nomor kolomnya.
$latex \displaystyle \begin{array}{ll}b_{11}=1-1=0&b_{12}=1-2=-1\\b_{21}=2-1=1&b_{22}=2-2=0\\b_{31}=3-1=2&b_{32}=3-2=1\end{array}$
Jadi,
$latex \displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\\2&1\end{array}\right)$
Soal 26
Sebuah matriks mempunyai $latex \displaystyle 18$ elemen dan tiga baris. Tentukan ordonya.
Misalkan banyak kolom adalah $latex \displaystyle n$.
$latex \displaystyle \begin{array}{l}3n=18\\n=6\end{array}$
Jadi, ordonya adalah
$latex \displaystyle 3\times6$
Soal 27
Sebuah matriks baris mempunyai enam elemen. Tentukan ordonya.
Matriks baris hanya mempunyai satu baris.
Karena terdapat enam elemen, keenamnya berada pada enam kolom.
Jadi, ordonya adalah
$latex \displaystyle 1\times6$
Soal 28
Sebuah matriks kolom mempunyai delapan elemen. Tentukan ordonya.
Matriks kolom hanya mempunyai satu kolom.
Karena terdapat delapan elemen, matriks mempunyai delapan baris.
Maka ordonya adalah
$latex \displaystyle 8\times1$
Soal 29
Diketahui elemen $latex \displaystyle a_{45}$ terdapat pada suatu matriks $latex \displaystyle A$.
Apa yang dapat disimpulkan tentang banyak baris dan kolom matriks tersebut?
Keberadaan $latex \displaystyle a_{45}$ menunjukkan bahwa baris keempat dan kolom kelima harus tersedia.
Jadi, matriks mempunyai sekurang-kurangnya empat baris dan lima kolom.
Jika ordonya $latex \displaystyle m\times n$, maka
$latex \displaystyle m\geq4$
dan
$latex \displaystyle n\geq5$
Soal 30
Matriks $latex \displaystyle C$ berordo $latex \displaystyle 5\times3$. Apakah $latex \displaystyle c_{53}$, $latex \displaystyle c_{35}$, dan $latex \displaystyle c_{61}$ terdapat pada matriks tersebut?
Matriks mempunyai lima baris dan tiga kolom.
Untuk $latex \displaystyle c_{53}$, baris kelima dan kolom ketiga tersedia. Jadi, elemen ini ada.
Untuk $latex \displaystyle c_{35}$, dibutuhkan kolom kelima. Matriks hanya memiliki tiga kolom, sehingga elemen ini tidak ada.
Untuk $latex \displaystyle c_{61}$, dibutuhkan baris keenam. Matriks hanya memiliki lima baris, sehingga elemen ini tidak ada.
Jadi,
$latex \displaystyle c_{53}\text{ ada}$
sedangkan
$latex \displaystyle c_{35}\text{ dan }c_{61}\text{ tidak ada}$
Cek Pemahaman
Soal 31
Apa arti indeks $latex \displaystyle i$ dan $latex \displaystyle j$ pada notasi $latex \displaystyle a_{ij}$?
Indeks $latex \displaystyle i$ menunjukkan nomor baris.
Indeks $latex \displaystyle j$ menunjukkan nomor kolom.
Jadi,
$latex \displaystyle a_{ij}$
merupakan elemen pada baris ke-$latex \displaystyle i$ dan kolom ke-$latex \displaystyle j$.
Soal 32
Matriks $latex \displaystyle M$ berordo $latex \displaystyle 2\times6$, sedangkan matriks $latex \displaystyle N$ berordo $latex \displaystyle 3\times4$.
Apakah keduanya mempunyai banyak elemen yang sama?
Matriks $latex \displaystyle M$ mempunyai
$latex \displaystyle 2\cdot6=12$
elemen.
Matriks $latex \displaystyle N$ mempunyai
$latex \displaystyle 3\cdot4=12$
elemen.
Jadi, keduanya mempunyai banyak elemen yang sama walaupun ordonya berbeda.
Soal 33
Jika elemen $latex \displaystyle p_{24}$ terdapat dalam suatu matriks $latex \displaystyle P$, berapakah banyak baris dan kolom paling sedikit yang harus dimiliki matriks tersebut?
Elemen $latex \displaystyle p_{24}$ membutuhkan baris kedua dan kolom keempat.
Jadi, matriks harus mempunyai paling sedikit dua baris dan empat kolom.
Ukuran minimumnya adalah
$latex \displaystyle 2\times4$
Soal 34
Diberikan
$latex \displaystyle T=\left(\begin{array}{cccc}2&4&6&8\\1&3&5&7\\0&-1&-2&-3\end{array}\right)$
Tuliskan kolom kedua matriks $latex \displaystyle T$ dan tentukan $latex \displaystyle t_{32}$.
Kolom kedua diperoleh dengan membaca elemen kedua pada setiap baris.
Jadi,
$latex \displaystyle \left(\begin{array}{c}4\\3\\-1\end{array}\right)$
Elemen $latex \displaystyle t_{32}$ berada pada baris ketiga kolom kedua.
Maka,
$latex \displaystyle t_{32}=-1$
Soal 35
Sebuah matriks mempunyai $latex \displaystyle 20$ elemen dan empat baris. Tentukan banyak kolom dan ordonya.
Misalkan banyak kolom adalah $latex \displaystyle n$.
$latex \displaystyle \begin{array}{l}4n=20\\n=5\end{array}$
Jadi, matriks mempunyai lima kolom dan berordo
$latex \displaystyle 4\times5$
Soal HOTS
Soal 36
Sebuah matriks mempunyai $latex \displaystyle 12$ elemen dan diketahui bukan matriks baris maupun matriks kolom.
Tentukan semua kemungkinan ordonya.
Semua pasangan faktor positif dari $latex \displaystyle 12$ menghasilkan
$latex \displaystyle 1\times12,\ 2\times6,\ 3\times4,\ 4\times3,\ 6\times2,\ 12\times1$
Ordo
$latex \displaystyle 1\times12$
merupakan matriks baris, sedangkan
$latex \displaystyle 12\times1$
merupakan matriks kolom.
Karena kedua jenis tersebut tidak diperbolehkan, kemungkinan ordonya adalah
$latex \displaystyle 2\times6,\ 3\times4,\ 4\times3,\ \text{atau }6\times2$
Soal 37
Sebuah matriks mempunyai tepat $latex \displaystyle 18$ elemen. Dapatkah matriks tersebut mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolom?
Jika jumlah baris dan kolom sama, misalkan keduanya $latex \displaystyle n$, maka banyak elemen harus memenuhi
$latex \displaystyle n^2=18$
Tidak terdapat bilangan bulat positif $latex \displaystyle n$ yang memenuhi persamaan tersebut.
Dengan demikian, matriks dengan $latex \displaystyle 18$ elemen tidak dapat mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama.
Secara umum, matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom sama harus mempunyai jumlah elemen berupa bilangan kuadrat sempurna.
Soal 38
Sebuah matriks mempunyai $latex \displaystyle 24$ elemen dan diketahui elemen $latex \displaystyle a_{46}$ terdapat di dalamnya.
Tentukan ordo matriks tersebut.
Kemungkinan ordo dengan $latex \displaystyle 24$ elemen adalah
$latex \displaystyle 1\times24,\ 2\times12,\ 3\times8,\ 4\times6,\ 6\times4,\ 8\times3,\ 12\times2,\ 24\times1$
Keberadaan $latex \displaystyle a_{46}$ mensyaratkan
$latex \displaystyle m\geq4$
dan
$latex \displaystyle n\geq6$
Dari semua kemungkinan tersebut, hanya
$latex \displaystyle 4\times6$
yang memenuhi kedua syarat.
Jadi, ordo matriks adalah
$latex \displaystyle 4\times6$
Soal 39
Sebuah matriks mempunyai $latex \displaystyle 30$ elemen dan elemen $latex \displaystyle b_{56}$ diketahui terdapat di dalam matriks.
Tentukan ordonya.
Kemungkinan ordo dengan $latex \displaystyle 30$ elemen adalah
$latex \displaystyle 1\times30,\ 2\times15,\ 3\times10,\ 5\times6,\ 6\times5,\ 10\times3,\ 15\times2,\ 30\times1$
Karena $latex \displaystyle b_{56}$ ada, matriks harus mempunyai sedikitnya lima baris dan enam kolom.
Jadi,
$latex \displaystyle m\geq5$
dan
$latex \displaystyle n\geq6$
Satu-satunya pasangan yang memenuhi adalah
$latex \displaystyle 5\times6$
Maka, ordo matriks tersebut adalah
$latex \displaystyle 5\times6$
Soal 40
Sebuah matriks mempunyai $latex \displaystyle 36$ elemen. Diketahui elemen $latex \displaystyle c_{46}$ terdapat di dalamnya.
Tentukan semua kemungkinan ordo matriks tersebut.
Kemungkinan ordo dengan $latex \displaystyle 36$ elemen adalah
$latex \displaystyle 1\times36,\ 2\times18,\ 3\times12,\ 4\times9,\ 6\times6,\ 9\times4,\ 12\times3,\ 18\times2,\ 36\times1$
Karena $latex \displaystyle c_{46}$ terdapat dalam matriks, harus berlaku
$latex \displaystyle m\geq4$
dan
$latex \displaystyle n\geq6$
Periksa setiap pasangan.
Ordo
$latex \displaystyle 4\times9$
memenuhi karena mempunyai empat baris dan sembilan kolom.
Ordo
$latex \displaystyle 6\times6$
juga memenuhi karena mempunyai enam baris dan enam kolom.
Pasangan lainnya tidak memenuhi salah satu syarat.
Jadi, kemungkinan ordonya adalah
$latex \displaystyle 4\times9\text{ atau }6\times6$
Soal ini menunjukkan bahwa jumlah elemen dan keberadaan sebuah elemen tertentu kadang-kadang belum cukup untuk menentukan hanya satu ordo.
Refleksi
Setelah mengerjakan soal-soal di atas, pikirkan kembali beberapa hal berikut.
Mengapa urutan baris kemudian kolom harus digunakan secara konsisten ketika menuliskan ordo maupun indeks elemen?
Jika dua matriks mempunyai jumlah elemen yang sama, informasi apa lagi yang diperlukan agar kita dapat memastikan bahwa ordonya juga sama?
Mengapa keberadaan suatu elemen seperti $latex \displaystyle a_{46}$ dapat memberikan informasi tentang ukuran minimum sebuah matriks?
Cobalah menjelaskan jawabannya dengan kata-katamu sendiri. Jika kamu mampu menjelaskan alasannya tanpa sekadar menghafalkan rumus, berarti pemahamanmu tentang konsep matriks sudah semakin kuat.
Ringkasan Strategi Membaca Matriks
Ketika diberikan sebuah matriks, gunakan urutan berpikir berikut.
Pertama, hitung baris.
Baca susunan mendatar dari atas ke bawah.
Kedua, hitung kolom.
Baca susunan tegak dari kiri ke kanan.
Ketiga, tentukan ordo.
Tuliskan
$latex \displaystyle \text{banyak baris}\times\text{banyak kolom}$
Keempat, tentukan banyak elemen jika diperlukan.
Gunakan
$latex \displaystyle \text{banyak elemen}=(\text{banyak baris})(\text{banyak kolom})$
Kelima, jika mencari $latex \displaystyle a_{ij}$, cari baris terlebih dahulu.
Pilih baris ke-$latex \displaystyle i$, kemudian bergerak menuju kolom ke-$latex \displaystyle j$.
Keenam, periksa apakah indeksnya mungkin.
Pada matriks berordo $latex \displaystyle m\times n$, elemen $latex \displaystyle a_{ij}$ hanya mungkin ada jika
$latex \displaystyle 1\leq i\leq m$
dan
$latex \displaystyle 1\leq j\leq n$
Kesimpulan
Definisi matriks adalah susunan bilangan atau elemen yang diatur menurut baris dan kolom. Baris tersusun secara mendatar, sedangkan kolom tersusun secara tegak.
Jika suatu matriks mempunyai $latex \displaystyle m$ baris dan $latex \displaystyle n$ kolom, matriks tersebut berordo
$latex \displaystyle m\times n$
dan mempunyai
$latex \displaystyle mn$
elemen.
Setiap elemen matriks mempunyai posisi tertentu. Pada matriks $latex \displaystyle A$, notasi
$latex \displaystyle a_{ij}$
menunjukkan elemen pada baris ke-$latex \displaystyle i$ dan kolom ke-$latex \displaystyle j$.
Matriks dengan satu baris disebut matriks baris dan mempunyai ordo $latex \displaystyle 1\times n$. Matriks dengan satu kolom disebut matriks kolom dan mempunyai ordo $latex \displaystyle n\times1$.
Memahami baris, kolom, ordo, dan elemen matriks merupakan dasar penting sebelum mempelajari jenis matriks lainnya, kesamaan matriks, transpose, operasi matriks, determinan, dan invers.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Apa yang dimaksud dengan matriks?
Matriks adalah susunan bilangan atau elemen yang diatur menurut baris dan kolom serta biasanya ditempatkan di antara tanda kurung.
Bagaimana cara membedakan baris dan kolom matriks?
Baris tersusun secara horizontal atau mendatar, sedangkan kolom tersusun secara vertikal atau tegak. Penomoran baris dimulai dari atas dan penomoran kolom dimulai dari kiri.
Bagaimana cara menentukan ordo matriks?
Hitung banyak baris dan kolom. Jika matriks mempunyai $latex \displaystyle m$ baris dan $latex \displaystyle n$ kolom, ordonya adalah
$latex \displaystyle m\times n$
Apa arti $latex \displaystyle a_{23}$?
Notasi $latex \displaystyle a_{23}$ berarti elemen matriks $latex \displaystyle A$ yang berada pada baris kedua dan kolom ketiga.
Apakah dua matriks dengan jumlah elemen sama selalu memiliki ordo sama?
Tidak. Sebagai contoh, matriks berordo
$latex \displaystyle 2\times6$
dan
$latex \displaystyle 3\times4$
sama-sama mempunyai $latex \displaystyle 12$ elemen, tetapi jumlah baris dan kolomnya berbeda sehingga ordonya juga berbeda.
