Limit fungsi aljabar digunakan untuk mengetahui nilai yang didekati oleh suatu fungsi ketika variabelnya mendekati nilai tertentu. Pada banyak soal, nilai limit dapat diperoleh dengan substitusi langsung. Namun, jika substitusi menghasilkan bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\), kita perlu mengubah bentuk fungsi terlebih dahulu.
Dua teknik yang sangat penting adalah pemfaktoran dan merasionalkan bentuk akar. Keduanya memiliki tujuan yang sama, yaitu menghilangkan faktor yang menyebabkan bentuk tak tentu sehingga nilai yang sebenarnya didekati fungsi dapat terlihat.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari limit fungsi aljabar dan mengerjakan latihan pada artikel ini, kamu diharapkan mampu mengenali bentuk tak tentu, memilih teknik pemfaktoran atau merasionalkan, menggunakan sifat-sifat limit, dan menyelesaikan masalah limit yang melibatkan parameter.
Latihan disusun bertahap dari soal dasar hingga penalaran. Keterampilan yang dilatih meliputi substitusi, pemfaktoran, operasi pecahan, parameter, sifat limit, serta penggunaan akar sekawan.
Seluruh 40 soal di bawah dapat digunakan sebagai latihan mandiri.
Mari Berpikir
Perhatikan limit berikut.
$$\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}$$
Jika \(x=3\) langsung disubstitusikan, kita memperoleh
$$\displaystyle \frac{0}{0}$$
Bentuk tersebut bukan berarti jawabannya nol.
Bentuk \(\frac{0}{0}\) disebut bentuk tak tentu. Kita perlu melihat struktur aljabarnya.
Karena
$$\displaystyle x^2-9=(x-3)(x+3)$$
maka faktor \(x-3\) dapat disederhanakan untuk nilai \(x\) yang mendekati \(3\).
Pada fungsi yang mengandung akar, kita sering menggunakan bentuk sekawan.
Misalnya, sekawan dari \(\sqrt{x}-2\) adalah \(\sqrt{x}+2\).
Keduanya berguna karena
$$\displaystyle (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4$$
Jadi, inti penyelesaian limit bukan sekadar menghitung, tetapi mengenali pola yang menyebabkan bentuk tak tentu.
Strategi Menentukan Limit Fungsi Aljabar
Langkah pertama adalah mencoba substitusi langsung.
Jika hasil substitusi sudah berupa bilangan tertentu, pekerjaan selesai.
Jika diperoleh \(\frac{0}{0}\), periksa bentuk fungsi.
Untuk polinom, cobalah pemfaktoran.
Untuk bentuk yang memuat akar, cobalah merasionalkan dengan bentuk sekawan.
Beberapa pola faktorisasi penting adalah
$$\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$
$$\displaystyle a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$
$$\displaystyle a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
Untuk akar sekawan berlaku
$$\displaystyle (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$$
Pembahasan pada artikel ini sengaja difokuskan pada manipulasi aljabar dan akar sekawan tanpa menggunakan aturan L’Hospital agar siswa memahami struktur dasarnya terlebih dahulu.
40 Soal Latihan Limit Fungsi Aljabar
Kerjakan setiap soal sebelum membuka spoiler pembahasan.
Soal 1
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^2+x-2}{x+1}$$
adalah ….
A. \(\frac{2}{3}\)
B. \(1\)
C. \(\frac{4}{3}\)
D. \(2\)
E. \(4\)
Karena penyebut tidak menjadi nol saat \(x=2\), kita dapat langsung melakukan substitusi.
$$\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^2+x-2}{x+1}$$
$$\displaystyle =\frac{2^2+2-2}{2+1}$$
$$\displaystyle =\frac{4}{3}$$
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 2
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to5}\frac{x^2-25}{x-5}$$
adalah ….
A. \(5\)
B. \(6\)
C. \(8\)
D. \(9\)
E. \(10\)
Substitusi langsung menghasilkan \(\frac{0}{0}\), sehingga pembilang perlu difaktorkan.
$$\displaystyle x^2-25=(x-5)(x+5)$$
Maka
$$\displaystyle \lim_{x\to5}\frac{x^2-25}{x-5}$$
$$\displaystyle =\lim_{x\to5}\frac{(x-5)(x+5)}{x-5}$$
$$\displaystyle =\lim_{x\to5}(x+5)$$
$$\displaystyle =10$$
Jadi, jawaban yang benar adalah E.
Soal 3
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to-3}\frac{x^2+5x+6}{x+3}$$
adalah ….
A. \(-2\)
B. \(-1\)
C. \(0\)
D. \(1\)
E. \(2\)
Faktorkan pembilang.
$$\displaystyle x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$$
Maka
$$\displaystyle \frac{x^2+5x+6}{x+3}=x+2$$
untuk \(x\neq-3\).
$$\displaystyle \lim_{x\to-3}(x+2)=-1$$
Jawaban: B.
Soal 4
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to4}\frac{x^2-7x+12}{x-4}$$
adalah ….
A. \(-2\)
B. \(-1\)
C. \(0\)
D. \(1\)
E. \(4\)
Faktorkan pembilang.
$$\displaystyle x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$$
Maka
$$\displaystyle \frac{x^2-7x+12}{x-4}=x-3$$
untuk \(x\neq4\).
$$\displaystyle \lim_{x\to4}(x-3)=1$$
Jawaban: D.
Soal 5
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^2+x-6}{x^2-4}$$
adalah ….
A. \(\frac{5}{4}\)
B. \(\frac{4}{5}\)
C. \(\frac{3}{2}\)
D. \(2\)
E. \(5\)
Faktorkan pembilang dan penyebut.
$$\displaystyle x^2+x-6=(x-2)(x+3)$$
$$\displaystyle x^2-4=(x-2)(x+2)$$
Sehingga
$$\displaystyle \frac{x^2+x-6}{x^2-4}=\frac{x+3}{x+2}$$
untuk \(x\neq2\).
$$\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x+3}{x+2}=\frac54$$
Jawaban: A.
Soal 6
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{2x^2-5x-3}{x^2-9}$$
adalah ….
A. \(\frac{5}{6}\)
B. \(1\)
C. \(\frac{7}{6}\)
D. \(\frac{3}{2}\)
E. \(2\)
Faktorkan kedua bagian.
$$\displaystyle 2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3)$$
$$\displaystyle x^2-9=(x-3)(x+3)$$
Maka
$$\displaystyle \frac{2x^2-5x-3}{x^2-9}=\frac{2x+1}{x+3}$$
$$\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{2x+1}{x+3}=\frac76$$
Jawaban: C.
Soal 7
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to-2}\frac{x^2+3x+2}{x^2-4}$$
adalah ….
A. \(-1\)
B. \(-\frac14\)
C. \(0\)
D. \(\frac12\)
E. \(\frac14\)
Faktorkan.
$$\displaystyle x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$$
$$\displaystyle x^2-4=(x+2)(x-2)$$
Maka
$$\displaystyle \frac{x^2+3x+2}{x^2-4}=\frac{x+1}{x-2}$$
$$\displaystyle \lim_{x\to-2}\frac{x+1}{x-2}=\frac14$$
Jawaban: E.
Soal 8
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}$$
adalah ….
A. \(1\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(6\)
E. \(9\)
Gunakan faktorisasi selisih kubik.
$$\displaystyle x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$
Maka
$$\displaystyle \frac{x^3-1}{x-1}=x^2+x+1$$
$$\displaystyle \lim_{x\to1}(x^2+x+1)=3$$
Jawaban: B.
Soal 9
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to-2}\frac{x^3+8}{x+2}$$
adalah ….
A. \(4\)
B. \(6\)
C. \(8\)
D. \(12\)
E. \(16\)
Gunakan faktorisasi jumlah kubik.
$$\displaystyle x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$$
Maka
$$\displaystyle \lim_{x\to-2}(x^2-2x+4)$$
$$\displaystyle =4+4+4$$
$$\displaystyle =12$$
Jawaban: D.
Soal 10
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{x^3-27}{x^2-9}$$
adalah ….
A. \(\frac92\)
B. \(3\)
C. \(\frac72\)
D. \(6\)
E. \(9\)
Faktorkan.
$$\displaystyle x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$$
$$\displaystyle x^2-9=(x-3)(x+3)$$
Maka
$$\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{x^2+3x+9}{x+3}$$
$$\displaystyle =\frac{9+9+9}{6}$$
$$\displaystyle =\frac92$$
Jawaban: A.
Soal 11
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{5x^4-3x}{x^3+2x}$$
adalah ….
A. \(-3\)
B. \(-2\)
C. \(-\frac32\)
D. \(\frac32\)
E. \(3\)
Keluarkan faktor \(x\) dari pembilang dan penyebut.
$$\displaystyle \frac{x(5x^3-3)}{x(x^2+2)}=\frac{5x^3-3}{x^2+2}$$
Maka
$$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{5x^3-3}{x^2+2}=-\frac32$$
Jawaban: C.
Soal 12
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^3-2x^2}{x^2-4}$$
adalah ….
A. \(-1\)
B. \(0\)
C. \(\frac12\)
D. \(2\)
E. \(1\)
Faktorkan.
$$\displaystyle x^3-2x^2=x^2(x-2)$$
$$\displaystyle x^2-4=(x-2)(x+2)$$
Maka
$$\displaystyle \frac{x^3-2x^2}{x^2-4}=\frac{x^2}{x+2}$$
$$\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^2}{x+2}=1$$
Jawaban: E.
Soal 13
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^4-1}{x-1}$$
adalah ….
A. \(2\)
B. \(4\)
C. \(6\)
D. \(8\)
E. \(16\)
Faktorkan.
$$\displaystyle x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$$
$$\displaystyle =(x-1)(x+1)(x^2+1)$$
Maka
$$\displaystyle \lim_{x\to1}(x+1)(x^2+1)$$
$$\displaystyle =2(2)$$
$$\displaystyle =4$$
Jawaban: B.
Soal 14
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}$$
adalah ….
A. \(-3\)
B. \(-2\)
C. \(-1\)
D. \(-\frac32\)
E. \(\frac32\)
Faktorkan.
$$\displaystyle x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$$
$$\displaystyle x^2-1=(x+1)(x-1)$$
Maka
$$\displaystyle \lim_{x\to-1}\frac{x^2-x+1}{x-1}$$
$$\displaystyle =\frac{1+1+1}{-2}$$
$$\displaystyle =-\frac32$$
Jawaban: D.
Soal 15
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{(x-1)^2-1}{x-2}$$
adalah ….
A. \(2\)
B. \(1\)
C. \(0\)
D. \(-1\)
E. \(-2\)
Sederhanakan pembilang.
$$\displaystyle (x-1)^2-1=x^2-2x=x(x-2)$$
Maka
$$\displaystyle \frac{(x-1)^2-1}{x-2}=x$$
untuk \(x\neq2\).
$$\displaystyle \lim_{x\to2}x=2$$
Jawaban: A.
Soal 16
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to2}\left(\frac{3}{x-2}-\frac{12}{x^2-4}\right)$$
adalah ….
A. \(\frac14\)
B. \(\frac12\)
C. \(\frac34\)
D. \(1\)
E. \(\frac32\)
Faktorkan \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), kemudian samakan penyebut.
$$\displaystyle \frac{3}{x-2}-\frac{12}{(x-2)(x+2)}$$
$$\displaystyle =\frac{3(x+2)-12}{(x-2)(x+2)}$$
$$\displaystyle =\frac{3x-6}{(x-2)(x+2)}$$
$$\displaystyle =\frac{3}{x+2}$$
Maka
$$\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{3}{x+2}=\frac34$$
Jawaban: C.
Soal 17
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to3}\left(\frac{2}{x-3}-\frac{8}{x^2-2x-3}\right)$$
adalah ….
A. \(-1\)
B. \(-\frac12\)
C. \(0\)
D. \(1\)
E. \(\frac12\)
Faktorkan
$$\displaystyle x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$$
Kemudian
$$\displaystyle \frac{2}{x-3}-\frac{8}{(x-3)(x+1)}$$
$$\displaystyle =\frac{2(x+1)-8}{(x-3)(x+1)}$$
$$\displaystyle =\frac{2x-6}{(x-3)(x+1)}$$
$$\displaystyle =\frac{2}{x+1}$$
Maka
$$\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{2}{x+1}=\frac12$$
Jawaban: E.
Soal 18
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{2}{1-x^2}\right)$$
adalah ….
A. \(-1\)
B. \(-\frac12\)
C. \(0\)
D. \(\frac12\)
E. \(1\)
Faktorkan
$$\displaystyle 1-x^2=(1-x)(1+x)$$
Kemudian
$$\displaystyle \frac{1}{1-x}-\frac{2}{(1-x)(1+x)}$$
$$\displaystyle =\frac{1+x-2}{(1-x)(1+x)}$$
$$\displaystyle =\frac{x-1}{(1-x)(1+x)}$$
$$\displaystyle =-\frac{1}{1+x}$$
Maka
$$\displaystyle \lim_{x\to1}-\frac{1}{1+x}=-\frac12$$
Jawaban: B.
Soal 19
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to2}\left(\frac{4}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}\right)$$
adalah ….
A. \(-1\)
B. \(-\frac12\)
C. \(0\)
D. \(-\frac14\)
E. \(\frac14\)
Faktorkan penyebut pertama.
$$\displaystyle x^2-4=(x-2)(x+2)$$
Maka
$$\displaystyle \frac{4}{(x-2)(x+2)}-\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}$$
$$\displaystyle =\frac{2-x}{(x-2)(x+2)}$$
$$\displaystyle =-\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}$$
$$\displaystyle =-\frac{1}{x+2}$$
Jadi,
$$\displaystyle \lim_{x\to2}-\frac{1}{x+2}=-\frac14$$
Jawaban: D.
Soal 20
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to1}\left(\frac{3}{x-1}-\frac{6}{x^2-1}\right)$$
adalah ….
A. \(\frac32\)
B. \(1\)
C. \(\frac12\)
D. \(2\)
E. \(3\)
Karena
$$\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1)$$
maka
$$\displaystyle \frac{3}{x-1}-\frac{6}{(x-1)(x+1)}$$
$$\displaystyle =\frac{3(x+1)-6}{(x-1)(x+1)}$$
$$\displaystyle =\frac{3x-3}{(x-1)(x+1)}$$
$$\displaystyle =\frac{3}{x+1}$$
Jadi,
$$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{3}{x+1}=\frac32$$
Jawaban: A.
Soal 21
Diketahui
$$\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{x^2+ax-12}{x-3}=7$$
Nilai \(a\) adalah ….
A. \(-2\)
B. \(-1\)
C. \(1\)
D. \(2\)
E. \(3\)
Agar limit bernilai hingga, pembilang harus bernilai nol ketika \(x=3\).
$$\displaystyle 3^2+3a-12=0$$
$$\displaystyle 9+3a-12=0$$
$$\displaystyle 3a=3$$
$$\displaystyle a=1$$
Dengan \(a=1\), pembilang menjadi
$$\displaystyle x^2+x-12=(x-3)(x+4)$$
sehingga limitnya memang \(7\).
Jawaban: C.
Soal 22
Diketahui
$$\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^2+2x+b}{x-2}=6$$
Nilai \(b\) adalah ….
A. \(-12\)
B. \(-10\)
C. \(-6\)
D. \(-4\)
E. \(-8\)
Agar limit berhingga, pembilang harus bernilai nol ketika \(x=2\).
$$\displaystyle 2^2+2(2)+b=0$$
$$\displaystyle 8+b=0$$
$$\displaystyle b=-8$$
Dengan demikian,
$$\displaystyle x^2+2x-8=(x-2)(x+4)$$
dan limitnya menjadi
$$\displaystyle \lim_{x\to2}(x+4)=6$$
Jawaban: E.
Soal 23
Diketahui
$$\displaystyle \lim_{x\to p}\frac{x^2-p^2}{x-p}=10$$
Nilai \(p\) adalah ….
A. \(2\)
B. \(5\)
C. \(8\)
D. \(10\)
E. \(20\)
Faktorkan selisih kuadrat.
$$\displaystyle x^2-p^2=(x-p)(x+p)$$
Maka
$$\displaystyle \lim_{x\to p}(x+p)=2p$$
Diketahui limit bernilai \(10\), sehingga
$$\displaystyle 2p=10$$
$$\displaystyle p=5$$
Jawaban: B.
Soal 24
Diketahui
$$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=3$$
dan
$$\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=-2$$
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to a}\left(2f(x)-3g(x)\right)$$
adalah ….
A. \(0\)
B. \(3\)
C. \(6\)
D. \(12\)
E. \(15\)
Gunakan sifat linear limit.
$$\displaystyle 2(3)-3(-2)$$
$$\displaystyle =6+6$$
$$\displaystyle =12$$
Jawaban: D.
Soal 25
Diketahui
$$\displaystyle \lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=7$$
dan
$$\displaystyle \lim_{x\to a}(2f(x)-g(x))=5$$
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)g(x)$$
adalah ….
A. \(12\)
B. \(10\)
C. \(8\)
D. \(6\)
E. \(4\)
Misalkan
$$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=m$$
dan
$$\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=n$$
Maka
$$\displaystyle m+n=7$$
$$\displaystyle 2m-n=5$$
Jumlahkan kedua persamaan.
$$\displaystyle 3m=12$$
$$\displaystyle m=4$$
Sehingga
$$\displaystyle n=3$$
Dengan demikian,
$$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)g(x)=mn=4(3)=12$$
Jawaban: A.
Soal 26
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to9}\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}$$
adalah ….
A. \(\frac13\)
B. \(\frac14\)
C. \(\frac16\)
D. \(\frac19\)
E. \(6\)
Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan \(\sqrt{x}+3\).
$$\displaystyle \frac{\sqrt{x}-3}{x-9}\cdot\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}$$
$$\displaystyle =\frac{x-9}{(x-9)(\sqrt{x}+3)}$$
$$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{x}+3}$$
Maka
$$\displaystyle \lim_{x\to9}\frac{1}{\sqrt{x}+3}=\frac16$$
Jawaban: C.
Soal 27
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to4}\frac{x-4}{\sqrt{x}-2}$$
adalah ….
A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(8\)
E. \(4\)
Kalikan dengan sekawan penyebut.
$$\displaystyle \frac{x-4}{\sqrt{x}-2}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}$$
$$\displaystyle =\frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{x-4}$$
$$\displaystyle =\sqrt{x}+2$$
Maka
$$\displaystyle \lim_{x\to4}(\sqrt{x}+2)=2+2=4$$
Jawaban: E.
Soal 28
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to5}\frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5}$$
adalah ….
A. \(\frac13\)
B. \(\frac16\)
C. \(\frac19\)
D. \(3\)
E. \(6\)
Sekawan pembilang adalah \(\sqrt{x+4}+3\).
$$\displaystyle \frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5}\cdot\frac{\sqrt{x+4}+3}{\sqrt{x+4}+3}$$
$$\displaystyle =\frac{x+4-9}{(x-5)(\sqrt{x+4}+3)}$$
$$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{x+4}+3}$$
Maka
$$\displaystyle \lim_{x\to5}\frac{1}{\sqrt{x+4}+3}=\frac16$$
Jawaban: B.
Soal 29
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to7}\frac{x-7}{\sqrt{x+2}-3}$$
adalah ….
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(6\)
E. \(9\)
Kalikan dengan sekawan penyebut.
$$\displaystyle \frac{x-7}{\sqrt{x+2}-3}\cdot\frac{\sqrt{x+2}+3}{\sqrt{x+2}+3}$$
$$\displaystyle =\frac{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)}{x+2-9}$$
$$\displaystyle =\sqrt{x+2}+3$$
Maka
$$\displaystyle \lim_{x\to7}(\sqrt{x+2}+3)=3+3=6$$
Jawaban: D.
Soal 30
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{\sqrt{2x+3}-3}{x-3}$$
adalah ….
A. \(\frac13\)
B. \(\frac12\)
C. \(\frac23\)
D. \(1\)
E. \(3\)
Kalikan dengan sekawan pembilang.
$$\displaystyle \frac{\sqrt{2x+3}-3}{x-3}\cdot\frac{\sqrt{2x+3}+3}{\sqrt{2x+3}+3}$$
$$\displaystyle =\frac{2x+3-9}{(x-3)(\sqrt{2x+3}+3)}$$
$$\displaystyle =\frac{2(x-3)}{(x-3)(\sqrt{2x+3}+3)}$$
$$\displaystyle =\frac{2}{\sqrt{2x+3}+3}$$
Untuk \(x=3\),
$$\displaystyle \frac{2}{3+3}=\frac13$$
Jawaban: A.
Soal 31
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x+5}-3}{x^2-16}$$
adalah ….
A. \(\frac1{12}\)
B. \(\frac1{24}\)
C. \(\frac1{48}\)
D. \(\frac18\)
E. \(\frac16\)
Rasionalkan pembilang.
$$\displaystyle \frac{\sqrt{x+5}-3}{x^2-16}\cdot\frac{\sqrt{x+5}+3}{\sqrt{x+5}+3}$$
$$\displaystyle =\frac{x-4}{(x^2-16)(\sqrt{x+5}+3)}$$
Karena
$$\displaystyle x^2-16=(x-4)(x+4)$$
maka
$$\displaystyle \frac{1}{(x+4)(\sqrt{x+5}+3)}$$
Substitusikan \(x=4\).
$$\displaystyle \frac{1}{8(3+3)}=\frac1{48}$$
Jawaban: C.
Soal 32
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{\sqrt{x+3}-2}$$
adalah ….
A. \(2\)
B. \(4\)
C. \(6\)
D. \(10\)
E. \(8\)
Rasionalkan penyebut.
$$\displaystyle \frac{x^2-1}{\sqrt{x+3}-2}\cdot\frac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{x+3}+2}$$
$$\displaystyle =\frac{(x^2-1)(\sqrt{x+3}+2)}{x-1}$$
Faktorkan
$$\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1)$$
Maka
$$\displaystyle (x+1)(\sqrt{x+3}+2)$$
Untuk \(x=1\),
$$\displaystyle 2(2+2)=8$$
Jawaban: E.
Soal 33
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{\sqrt{x+2}-2}$$
adalah ….
A. \(8\)
B. \(16\)
C. \(12\)
D. \(20\)
E. \(24\)
Rasionalkan penyebut.
$$\displaystyle \frac{x^2-4}{\sqrt{x+2}-2}\cdot\frac{\sqrt{x+2}+2}{\sqrt{x+2}+2}$$
$$\displaystyle =\frac{(x^2-4)(\sqrt{x+2}+2)}{x-2}$$
Karena
$$\displaystyle x^2-4=(x-2)(x+2)$$
maka
$$\displaystyle (x+2)(\sqrt{x+2}+2)$$
Untuk \(x=2\),
$$\displaystyle 4(2+2)=16$$
Jawaban: B.
Soal 34
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{\sqrt{2x+3}-3}{x^2-9}$$
adalah ….
A. \(\frac19\)
B. \(\frac1{12}\)
C. \(\frac16\)
D. \(\frac1{18}\)
E. \(\frac13\)
Rasionalkan pembilang.
$$\displaystyle \frac{\sqrt{2x+3}-3}{x^2-9}\cdot\frac{\sqrt{2x+3}+3}{\sqrt{2x+3}+3}$$
$$\displaystyle =\frac{2(x-3)}{(x^2-9)(\sqrt{2x+3}+3)}$$
Karena
$$\displaystyle x^2-9=(x-3)(x+3)$$
maka
$$\displaystyle \frac{2}{(x+3)(\sqrt{2x+3}+3)}$$
Substitusikan \(x=3\).
$$\displaystyle \frac{2}{6(6)}=\frac1{18}$$
Jawaban: D.
Soal 35
Nilai
$$\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{3-\sqrt{x^2+5}}{4-x^2}$$
adalah ….
A. \(\frac16\)
B. \(\frac13\)
C. \(\frac12\)
D. \(3\)
E. \(6\)
Rasionalkan pembilang menggunakan \(3+\sqrt{x^2+5}\).
$$\displaystyle \frac{3-\sqrt{x^2+5}}{4-x^2}\cdot\frac{3+\sqrt{x^2+5}}{3+\sqrt{x^2+5}}$$
$$\displaystyle =\frac{9-(x^2+5)}{(4-x^2)(3+\sqrt{x^2+5})}$$
$$\displaystyle =\frac{4-x^2}{(
