Soal ASTS Matematika kelas 11 pada materi fungsi menguji lebih dari sekadar kemampuan melakukan perhitungan. Siswa perlu memahami syarat suatu relasi menjadi fungsi, menentukan domain, melakukan operasi aljabar pada fungsi, menyusun komposisi fungsi, serta menentukan invers.
Kumpulan soal berikut mencakup materi tersebut secara bertahap. Pembahasan disembunyikan menggunakan spoiler sehingga kamu dapat mencoba menyelesaikan setiap soal terlebih dahulu.
Tujuan Pembelajaran
Melalui latihan soal ASTS Matematika kelas 11 ini, siswa diharapkan mampu:
- menentukan suatu relasi yang merupakan fungsi;
- menentukan domain dan range fungsi;
- menentukan domain alami fungsi akar dan fungsi rasional;
- melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian fungsi;
- menentukan komposisi dua fungsi;
- menentukan nilai fungsi komposisi;
- menentukan fungsi yang belum diketahui dari suatu komposisi;
- menentukan invers fungsi;
- menggunakan hubungan invers dengan komposisi fungsi.
Mari Berpikir
Materi fungsi tidak cukup dipahami hanya dengan menghafal rumus.
Saat menentukan domain, kita perlu bertanya: nilai \(x\) apa saja yang membuat fungsi tetap terdefinisi?
Pada fungsi pecahan, penyebut tidak boleh nol.
$$\displaystyle \text{penyebut}\neq0$$
Pada fungsi akar pangkat dua, bagian di dalam akar harus tidak negatif.
$$\displaystyle \text{bentuk di dalam akar}\geq0$$
Untuk komposisi fungsi,
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))$$
artinya fungsi \(g\) dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya dimasukkan ke fungsi \(f\).
Sementara itu, fungsi invers membalik proses fungsi semula. Karena itu,
$$\displaystyle f^{-1}(f(x))=x$$
pada domain yang sesuai.
Sekarang cobalah mengerjakan setiap soal sebelum membuka bagian Pembahasan.
A. Soal Pilihan Ganda
Soal 1
Diketahui relasi dari himpunan \(R=\{1,2,3,4\}\) ke \(S=\{a,b,c,d\}\). Himpunan pasangan berurutan berikut yang merupakan fungsi adalah ….
A. \(\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\)
B. \(\{(1,b),(2,a),(4,d)\}\)
C. \(\{(1,b),(1,c),(2,a),(3,d)\}\)
D. \(\{(1,c),(2,a),(3,d),(4,b)\}\)
E. \(\{(1,c),(2,d),(4,a),(4,b)\}\)
Suatu relasi dari \(R\) ke \(S\) merupakan fungsi apabila setiap anggota domain mempunyai tepat satu pasangan.
Pada pilihan D, komponen pertama adalah
$$\displaystyle 1,2,3,4$$
dan masing-masing muncul tepat satu kali.
Pada pilihan A dan B, tidak semua anggota \(R\) mempunyai pasangan.
Pada pilihan C, angka \(1\) memiliki dua pasangan.
Pada pilihan E, angka \(4\) memiliki dua pasangan.
Jadi, jawaban yang benar adalah D.
Soal 2
Diketahui fungsi
$$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x-5$$
dengan daerah asal
$$\displaystyle \{x\mid 11\leq x\leq20,\ x\text{ bilangan genap}\}$$
.
Daerah hasil fungsi tersebut adalah ….
A. \(\{1,2,3,4,5\}\)
B. \(\{6,7,8,9,10\}\)
C. \(\{7,9,11,13,15\}\)
D. \(\{8,9,10,11,12\}\)
E. \(\{12,14,16,18,20\}\)
Bilangan genap yang memenuhi
$$\displaystyle 11\leq x\leq20$$
adalah
$$\displaystyle \{12,14,16,18,20\}$$
.
Substitusikan ke fungsi.
$$\displaystyle \begin{array}{l}f(12)=6-5=1\\f(14)=7-5=2\\f(16)=8-5=3\\f(18)=9-5=4\\f(20)=10-5=5\end{array}$$
Jadi, daerah hasilnya adalah
$$\displaystyle \{1,2,3,4,5\}$$
.
Jawaban: A.
Soal 3
Diketahui fungsi
$$\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2-1}$$
.
Daerah asal alami fungsi tersebut adalah ….
A. \(\{x\mid x\leq-1,\ x\in\mathbb{R}\}\)
B. \(\{x\mid x=1,\ x\in\mathbb{R}\}\)
C. \(\{x\mid x\geq1,\ x\in\mathbb{R}\}\)
D. \(\{x\mid -1\leq x\leq1,\ x\in\mathbb{R}\}\)
E. \(\{x\mid x\leq-1\text{ atau }x\geq1,\ x\in\mathbb{R}\}\)
Karena terdapat akar pangkat dua, bagian di dalam akar harus tidak negatif.
$$\displaystyle x^2-1\geq0$$
Faktorkan.
$$\displaystyle (x-1)(x+1)\geq0$$
Hasil pertidaksamaannya adalah
$$\displaystyle x\leq-1\text{ atau }x\geq1$$
.
Jadi, domain fungsi adalah
$$\displaystyle \{x\mid x\leq-1\text{ atau }x\geq1,\ x\in\mathbb{R}\}$$
.
Jawaban: E.
Soal 4
Diketahui fungsi
$$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2x-10}$$
.
Daerah asal alami fungsi tersebut adalah ….
A. \(\{x\mid x\neq-10,\ x\in\mathbb{R}\}\)
B. \(\{x\mid x\neq-5,\ x\in\mathbb{R}\}\)
C. \(\{x\mid x\neq1,\ x\in\mathbb{R}\}\)
D. \(\{x\mid x\neq5,\ x\in\mathbb{R}\}\)
E. \(\{x\mid x\neq10,\ x\in\mathbb{R}\}\)
Penyebut fungsi pecahan tidak boleh sama dengan nol.
$$\displaystyle 2x-10\neq0$$
Maka
$$\displaystyle 2x\neq10$$
sehingga
$$\displaystyle x\neq5$$
.
Jadi, domainnya adalah
$$\displaystyle \{x\mid x\neq5,\ x\in\mathbb{R}\}$$
.
Jawaban: D.
Soal 5
Daerah asal alami fungsi
$$\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x^2-4x+3}$$
adalah ….
A. \(\{x\mid x\leq2,\ x\in\mathbb{R}\}\)
B. \(\{x\mid x\geq-2,\ x\in\mathbb{R}\}\)
C. \(\{x\mid x\neq1,\ x\neq3,\ x\in\mathbb{R}\}\)
D. \(\{x\mid x\geq2,\ x\neq3,\ x\in\mathbb{R}\}\)
E. \(\{x\mid x\geq-2,\ x\neq1,\ x\neq3,\ x\in\mathbb{R}\}\)
Ada dua syarat yang harus diperiksa.
Syarat dari akar:
$$\displaystyle x-2\geq0$$
sehingga
$$\displaystyle x\geq2$$
.
Syarat dari penyebut:
$$\displaystyle x^2-4x+3\neq0$$
Faktorkan.
$$\displaystyle (x-1)(x-3)\neq0$$
sehingga
$$\displaystyle x\neq1$$
dan
$$\displaystyle x\neq3$$
.
Karena syarat akar sudah menghasilkan \(x\geq2\), nilai \(x=1\) otomatis tidak termasuk.
Jadi,
$$\displaystyle \{x\mid x\geq2,\ x\neq3,\ x\in\mathbb{R}\}$$
.
Jawaban: D.
Soal 6
Jika
$$\displaystyle f(x)=x^2-4x+3$$
dan
$$\displaystyle g(x)=6x-9$$
,
rumus fungsi \((f+g)(x)\) adalah ….
A. \(x^2+10x+11\)
B. \(x^2+2x+6\)
C. \(x^2+2x-6\)
D. \(x^2-2x+6\)
E. \(x^2-10x-11\)
Gunakan definisi penjumlahan fungsi.
$$\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)$$
Maka
$$\displaystyle \begin{array}{l}(f+g)(x)=x^2-4x+3+6x-9\\=x^2+2x-6\end{array}$$
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 7
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=\frac{3}{x+4}$$
dan
$$\displaystyle g(x)=x-2$$
.
Daerah asal fungsi \((f+g)(x)\) adalah ….
A. \(\{x\mid x\neq-4,\ x\in\mathbb{R}\}\)
B. \(\{x\mid x\neq-3,\ x\in\mathbb{R}\}\)
C. \(\{x\mid x\neq2,\ x\in\mathbb{R}\}\)
D. \(\{x\mid x\neq3,\ x\in\mathbb{R}\}\)
E. \(\{x\mid x\neq4,\ x\in\mathbb{R}\}\)
Fungsi
$$\displaystyle g(x)=x-2$$
terdefinisi untuk setiap bilangan real.
Pembatas domain hanya berasal dari fungsi
$$\displaystyle f(x)=\frac{3}{x+4}$$
.
Syaratnya
$$\displaystyle x+4\neq0$$
sehingga
$$\displaystyle x\neq-4$$
.
Jadi, jawaban yang benar adalah A.
Soal 8
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x-3}$$
dan
$$\displaystyle g(x)=x+5$$
.
Hasil operasi aljabar \((f-g)(x)\) adalah ….
A. \(\frac{x^2+15}{x-3}\)
B. \(\frac{-x^2+15}{x-3}\)
C. \(\frac{-x^2-15}{x-3}\)
D. \(\frac{-x^2+4x+15}{x-3}\)
E. \(\frac{-x^2+4x-15}{x-3}\)
Gunakan
$$\displaystyle (f-g)(x)=f(x)-g(x)$$
.
$$\displaystyle \begin{array}{l}(f-g)(x)=\frac{2x}{x-3}-(x+5)\\=\frac{2x-(x+5)(x-3)}{x-3}\end{array}$$
Hitung hasil perkalian.
$$\displaystyle (x+5)(x-3)=x^2+2x-15$$
Maka
$$\displaystyle \begin{array}{l}(f-g)(x)=\frac{2x-x^2-2x+15}{x-3}\\=\frac{-x^2+15}{x-3}\end{array}$$
Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Soal 9
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{2x+5}$$
dan
$$\displaystyle g(x)=\frac{1}{3x}$$
.
Daerah asal fungsi \((f-g)(x)\) adalah ….
A. \(\{x\mid x\neq-\frac{5}{2},\ x\in\mathbb{R}\}\)
B. \(\{x\mid x\neq-\frac{5}{2},\ x\neq0,\ x\in\mathbb{R}\}\)
C. \(\{x\mid x\neq-\frac{5}{2},\ x\neq3,\ x\in\mathbb{R}\}\)
D. \(\{x\mid x\neq\frac{5}{2},\ x\neq0,\ x\in\mathbb{R}\}\)
E. \(\{x\mid x\neq\frac{5}{2},\ x\neq2,\ x\in\mathbb{R}\}\)
Domain fungsi \(f\) mensyaratkan
$$\displaystyle 2x+5\neq0$$
sehingga
$$\displaystyle x\neq-\frac{5}{2}$$
.
Domain fungsi \(g\) mensyaratkan
$$\displaystyle 3x\neq0$$
sehingga
$$\displaystyle x\neq0$$
.
Karena operasi pengurangan harus terdefinisi pada kedua fungsi, domainnya adalah
$$\displaystyle \{x\mid x\neq-\frac{5}{2},\ x\neq0,\ x\in\mathbb{R}\}$$
.
Jawaban: B.
Soal 10
Jika
$$\displaystyle f(x)=\frac{2}{x-5}$$
dan
$$\displaystyle g(x)=\frac{x+1}{2x}$$
,
hasil operasi \((f\times g)(x)\) adalah ….
A. \(\frac{x-1}{x^2+5x}\)
B. \(\frac{x+1}{x^2-5x}\)
C. \(\frac{x+2}{2x^2-5}\)
D. \(\frac{2x+1}{2x^2-5}\)
E. \(\frac{2x+1}{x^2-5x}\)
Gunakan perkalian dua fungsi.
$$\displaystyle \begin{array}{l}(f\times g)(x)=\frac{2}{x-5}\cdot\frac{x+1}{2x}\\=\frac{2(x+1)}{2x(x-5)}\\=\frac{x+1}{x(x-5)}\\=\frac{x+1}{x^2-5x}\end{array}$$
Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Domain fungsi tetap memperhatikan syarat awal, yaitu
$$\displaystyle x\neq0$$
dan
$$\displaystyle x\neq5$$
.
Soal 11
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=\sqrt{x+3}$$
dan
$$\displaystyle g(x)=\frac{1}{4x-12}$$
.
Daerah asal fungsi \((f\times g)(x)\) adalah ….
A. \(\{x\mid x\neq3,\ x\in\mathbb{R}\}\)
B. \(\{x\mid x\neq-3,\ x\in\mathbb{R}\}\)
C. \(\{x\mid x\geq-3,\ x\in\mathbb{R}\}\)
D. \(\{x\mid x\leq3,\ x\neq-3,\ x\in\mathbb{R}\}\)
E. \(\{x\mid x\geq-3,\ x\neq3,\ x\in\mathbb{R}\}\)
Dari fungsi akar diperoleh syarat
$$\displaystyle x+3\geq0$$
sehingga
$$\displaystyle x\geq-3$$
.
Dari fungsi pecahan diperoleh
$$\displaystyle 4x-12\neq0$$
sehingga
$$\displaystyle x\neq3$$
.
Gabungkan kedua syarat tersebut.
$$\displaystyle x\geq-3,\quad x\neq3$$
Jadi, jawaban yang benar adalah E.
Soal 12
Jika
$$\displaystyle f(x)=x^2-5x+6$$
dan
$$\displaystyle g(x)=2x-4$$
,
fungsi \(\left(\frac{g}{f}\right)(x)\) adalah ….
A. \(\frac{x-3}{2}\)
B. \(\frac{x+3}{2}\)
C. \(\frac{2}{x+3}\)
D. \(\frac{2}{x-3}\)
E. \(\frac{3}{x-2}\)
Faktorkan kedua bentuk aljabar.
$$\displaystyle f(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$
dan
$$\displaystyle g(x)=2x-4=2(x-2)$$
.
Maka
$$\displaystyle \begin{array}{l}\left(\frac{g}{f}\right)(x)=\frac{2(x-2)}{(x-2)(x-3)}\\=\frac{2}{x-3}\end{array}$$
Jadi, jawaban yang benar adalah D.
Walaupun faktor \(x-2\) telah disederhanakan, domain fungsi awal tetap mengecualikan
$$\displaystyle x=2$$
dan
$$\displaystyle x=3$$
.
Soal 13
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=x-5$$
dan
$$\displaystyle g(x)=x^2-7x+10$$
.
Daerah asal fungsi \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) adalah ….
A. \(\{x\mid x\neq-10,\ x\in\mathbb{R}\}\)
B. \(\{x\mid x\neq5,\ x\in\mathbb{R}\}\)
C. \(\{x\mid x\neq-5,\ x\neq-2,\ x\in\mathbb{R}\}\)
D. \(\{x\mid x\neq-5,\ x\neq2,\ x\in\mathbb{R}\}\)
E. \(\{x\mid x\neq2,\ x\neq5,\ x\in\mathbb{R}\}\)
Karena \(g(x)\) menjadi penyebut, maka
$$\displaystyle g(x)\neq0$$
.
$$\displaystyle x^2-7x+10\neq0$$
Faktorkan.
$$\displaystyle (x-2)(x-5)\neq0$$
Maka
$$\displaystyle x\neq2$$
dan
$$\displaystyle x\neq5$$
.
Jadi, domainnya adalah
$$\displaystyle \{x\mid x\neq2,\ x\neq5,\ x\in\mathbb{R}\}$$
.
Jawaban: E.
Soal 14
Diketahui
$$\displaystyle f=\{(1,3),(2,4),(3,2),(4,5)\}$$
dan
$$\displaystyle g=\{(2,5),(3,6),(4,3),(5,4)\}$$
.
Pasangan berurutan dari komposisi \(g\circ f\) adalah ….
A. \(\{(4,2),(5,5)\}\)
B. \(\{(2,4),(4,1),(5,2)\}\)
C. \(\{(2,5),(3,6),(4,3)\}\)
D. \(\{(1,3),(2,4),(3,2),(4,5)\}\)
E. \(\{(1,6),(2,3),(3,5),(4,4)\}\)
Komposisi \(g\circ f\) berarti fungsi \(f\) dikerjakan lebih dahulu.
Untuk \(x=1\):
$$\displaystyle 1\to3\to6$$
sehingga diperoleh pasangan
$$\displaystyle (1,6)$$
.
Selanjutnya,
$$\displaystyle 2\to4\to3$$
sehingga diperoleh
$$\displaystyle (2,3)$$
.
Kemudian,
$$\displaystyle 3\to2\to5$$
sehingga diperoleh
$$\displaystyle (3,5)$$
.
Terakhir,
$$\displaystyle 4\to5\to4$$
sehingga diperoleh
$$\displaystyle (4,4)$$
.
Jadi,
$$\displaystyle g\circ f=\{(1,6),(2,3),(3,5),(4,4)\}$$
.
Jawaban: E.
Soal 15
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=3x^2-2x+4$$
dan
$$\displaystyle g(x)=2x-7$$
.
Komposisi fungsi \((g\circ f)(x)\) adalah ….
A. \(3x^2-3\)
B. \(3x^2-2x-3\)
C. \(6x^2-4x-1\)
D. \(6x^2-4x+1\)
E. \(6x^2-4x+8\)
Komposisi
$$\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))$$
.
Karena
$$\displaystyle g(x)=2x-7$$
,
maka
$$\displaystyle \begin{array}{l}g(f(x))=2(3x^2-2x+4)-7\\=6x^2-4x+8-7\\=6x^2-4x+1\end{array}$$
Jadi, jawaban yang benar adalah D.
Soal 16
Jika
$$\displaystyle f(x)=x^2+5x-3$$
dan
$$\displaystyle g(x)=2x-1$$
,
rumus komposisi fungsi \((f\circ g)(x)\) adalah ….
A. \(2x^2+10x-5\)
B. \(2x^2+10x-7\)
C. \(4x^2-14x-7\)
D. \(4x^2+6x-7\)
E. \(4x^2+6x-9\)
Gunakan
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))$$
.
Substitusikan
$$\displaystyle g(x)=2x-1$$
ke fungsi \(f\).
$$\displaystyle \begin{array}{l}f(g(x))=(2x-1)^2+5(2x-1)-3\\=4x^2-4x+1+10x-5-3\\=4x^2+6x-7\end{array}$$
Jadi, jawaban yang benar adalah D.
Soal 17
Jika
$$\displaystyle f(x)=2x-5$$
dan
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=2x^2-4x+9$$
,
rumus fungsi \(g(x)\) adalah ….
A. \(x^2-2x-2\)
B. \(x^2-2x+2\)
C. \(x^2-2x+7\)
D. \(x^2+2x-7\)
E. \(x^2+2x+7\)
Karena
$$\displaystyle f(x)=2x-5$$
,
maka
$$\displaystyle f(g(x))=2g(x)-5$$
.
Diketahui
$$\displaystyle 2g(x)-5=2x^2-4x+9$$
.
Tambahkan \(5\) pada kedua ruas.
$$\displaystyle 2g(x)=2x^2-4x+14$$
Bagi kedua ruas dengan \(2\).
$$\displaystyle g(x)=x^2-2x+7$$
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 18
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=x^2+3x-5$$
dan
$$\displaystyle g(x)=2x+9$$
.
Nilai \((g\circ f)(-2)\) adalah ….
A. \(-7\)
B. \(-5\)
C. \(2\)
D. \(5\)
E. \(7\)
Komposisi \((g\circ f)(-2)\) berarti menghitung \(f(-2)\) terlebih dahulu.
$$\displaystyle \begin{array}{l}f(-2)=(-2)^2+3(-2)-5\\=4-6-5\\=-7\end{array}$$
Selanjutnya,
$$\displaystyle g(-7)=2(-7)+9=-14+9=-5$$
.
Jadi,
$$\displaystyle (g\circ f)(-2)=-5$$
.
Jawaban: B.
Soal 19
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=2x+k$$
dan
$$\displaystyle g(x)=x^2+3x-4$$
.
Jika
$$\displaystyle (f\circ g)(3)=25$$
,
nilai \(k\) adalah ….
A. \(-3\)
B. \(-2\)
C. \(-1\)
D. \(2\)
E. \(3\)
Hitung terlebih dahulu
$$\displaystyle g(3)$$
.
$$\displaystyle \begin{array}{l}g(3)=3^2+3(3)-4\\=9+9-4\\=14\end{array}$$
Karena
$$\displaystyle (f\circ g)(3)=f(14)$$
,
maka
$$\displaystyle f(14)=2(14)+k=28+k$$
.
Diketahui
$$\displaystyle 28+k=25$$
.
Maka
$$\displaystyle k=-3$$
.
Jawaban: A.
Soal 20
Diketahui fungsi
$$\displaystyle f(x)=\frac{2x-3}{4}$$
.
Invers fungsi \(f\) adalah ….
A. \(f^{-1}(x)=\frac{2x-4}{3}\)
B. \(f^{-1}(x)=\frac{2x+4}{3}\)
C. \(f^{-1}(x)=\frac{4x-3}{2}\)
D. \(f^{-1}(x)=\frac{4x+2}{3}\)
E. \(f^{-1}(x)=\frac{4x+3}{2}\)
Misalkan
$$\displaystyle y=\frac{2x-3}{4}$$
.
Ubah persamaan tersebut sehingga \(x\) dinyatakan dalam \(y\).
$$\displaystyle \begin{array}{l}4y=2x-3\\2x=4y+3\\x=\frac{4y+3}{2}\end{array}$$
Ganti \(y\) dengan \(x\).
$$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{4x+3}{2}$$
.
Jawaban: E.
Soal 21
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=5x-4$$
.
Jika invers fungsi tersebut adalah \(f^{-1}(x)\), nilai \(f^{-1}(16)\) adalah ….
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(5\)
E. \(6\)
Misalkan
$$\displaystyle y=5x-4$$
.
Maka
$$\displaystyle x=\frac{y+4}{5}$$
.
Jadi,
$$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x+4}{5}$$
.
Hitung nilai yang diminta.
$$\displaystyle \begin{array}{l}f^{-1}(16)=\frac{16+4}{5}\\=\frac{20}{5}\\=4\end{array}$$
Jawaban: C.
Soal 22
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=\frac{3x-4}{x+2}$$
.
Jika \(f^{-1}(x)\) adalah invers dari \(f(x)\), nilai \(f^{-1}(-7)\) adalah ….
A. \(-2\)
B. \(-1\)
C. \(0\)
D. \(1\)
E. \(2\)
Untuk menentukan \(f^{-1}(-7)\), kita dapat mencari nilai \(x\) yang memenuhi
$$\displaystyle f(x)=-7$$
.
Maka
$$\displaystyle \frac{3x-4}{x+2}=-7$$
.
Kalikan silang.
$$\displaystyle 3x-4=-7x-14$$
Pindahkan suku yang memuat \(x\) ke satu ruas.
$$\displaystyle 10x=-10$$
sehingga
$$\displaystyle x=-1$$
.
Jadi,
$$\displaystyle f^{-1}(-7)=-1$$
.
Jawaban: B.
Soal 23
Jika
$$\displaystyle f(x)=4x-3$$
,
$$\displaystyle g(x)=\frac{2x}{x-1}$$
,
dan
$$\displaystyle h(x)=(f\circ g)(x)$$
,
invers fungsi \(h\) adalah ….
A. \(h^{-1}(x)=\frac{5x+3}{x-1}\)
B. \(h^{-1}(x)=\frac{5x-3}{x-1}\)
C. \(h^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-5}\)
D. \(h^{-1}(x)=\frac{x-3}{x+5}\)
E. \(h^{-1}(x)=\frac{x-5}{x-3}\)
Tentukan fungsi \(h\) terlebih dahulu.
$$\displaystyle \begin{array}{l}h(x)=f(g(x))\\=4\left(\frac{2x}{x-1}\right)-3\\=\frac{8x-3(x-1)}{x-1}\\=\frac{5x+3}{x-1}\end{array}$$
Misalkan
$$\displaystyle y=\frac{5x+3}{x-1}$$
.
Kalikan silang.
$$\displaystyle yx-y=5x+3$$
Kelompokkan suku yang mengandung \(x\).
$$\displaystyle x(y-5)=y+3$$
Maka
$$\displaystyle x=\frac{y+3}{y-5}$$
.
Jadi,
$$\displaystyle h^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-5}$$
.
Jawaban: C.
Soal 24
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x-4}$$
dan
$$\displaystyle g(x)=\frac{x}{3}$$
.
Fungsi \((f\circ g)^{-1}(x)\) adalah ….
A. \(\frac{2x-3}{x+12}\)
B. \(\frac{2x+3}{x-12}\)
C. \(\frac{12x-3}{x-2}\)
D. \(\frac{12x-3}{x+2}\)
E. \(\frac{12x+3}{x-2}\)
Tentukan komposisinya terlebih dahulu.
$$\displaystyle \begin{array}{l}(f\circ g)(x)=f\left(\frac{x}{3}\right)\\=\frac{\frac{2x}{3}+1}{\frac{x}{3}-4}\\=\frac{2x+3}{x-12}\end{array}$$
Misalkan
$$\displaystyle y=\frac{2x+3}{x-12}$$
.
Kalikan silang.
$$\displaystyle yx-12y=2x+3$$
Kelompokkan suku yang mengandung \(x\).
$$\displaystyle x(y-2)=12y+3$$
Maka
$$\displaystyle x=\frac{12y+3}{y-2}$$
.
Jadi,
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{12x+3}{x-2}$$
.
Jawaban: E.
Soal 25
Diketahui
$$\displaystyle f^{-1}(x)=2x-7$$
,
$$\displaystyle g(x)=\frac{3x-1}{2}$$
,
dan
$$\displaystyle h^{-1}(x)=x+6$$
.
Nilai
$$\displaystyle (f\circ g\circ h)^{-1}(1)$$
adalah ….
A. \(-5\)
B. \(-3\)
C. \(3\)
D. \(5\)
E. \(13\)
Gunakan sifat invers komposisi.
$$\displaystyle (f\circ g\circ h)^{-1}=h^{-1}\circ g^{-1}\circ f^{-1}$$
Hitung terlebih dahulu
$$\displaystyle f^{-1}(1)$$
.
$$\displaystyle f^{-1}(1)=2(1)-7=-5$$
.
Sekarang tentukan \(g^{-1}(x)\).
Misalkan
$$\displaystyle y=\frac{3x-1}{2}$$
.
Maka
$$\displaystyle \begin{array}{l}2y=3x-1\\3x=2y+1\\x=\frac{2y+1}{3}\end{array}$$
Jadi,
$$\displaystyle g^{-1}(x)=\frac{2x+1}{3}$$
.
Selanjutnya,
$$\displaystyle g^{-1}(-5)=\frac{2(-5)+1}{3}=-3$$
.
Terakhir,
$$\displaystyle h^{-1}(-3)=-3+6=3$$
.
Jadi,
$$\displaystyle (f\circ g\circ h)^{-1}(1)=3$$
.
Jawaban: C.
B. Soal Uraian
Soal 1
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=\frac{3x}{x+4}$$
dan
$$\displaystyle g(x)=\frac{x+1}{x-2}$$
.
Tentukan hasil operasi aljabar fungsi \((f+g)(x)\) dan daerah asalnya.
Gunakan
$$\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)$$
.
Maka
$$\displaystyle (f+g)(x)=\frac{3x}{x+4}+\frac{x+1}{x-2}$$
.
Samakan penyebut.
$$\displaystyle \begin{array}{l}(f+g)(x)=\frac{3x(x-2)+(x+1)(x+4)}{(x+4)(x-2)}\\=\frac{3x^2-6x+x^2+5x+4}{(x+4)(x-2)}\\=\frac{4x^2-x+4}{(x+4)(x-2)}\end{array}$$
Jadi,
$$\displaystyle (f+g)(x)=\frac{4x^2-x+4}{(x+4)(x-2)}$$
.
Untuk menentukan domain, periksa penyebut fungsi awal.
$$\displaystyle x+4\neq0$$
sehingga
$$\displaystyle x\neq-4$$
.
Selain itu,
$$\displaystyle x-2\neq0$$
sehingga
$$\displaystyle x\neq2$$
.
Jadi, daerah asalnya adalah
$$\displaystyle \{x\mid x\neq-4,\ x\neq2,\ x\in\mathbb{R}\}$$
.
Soal 2
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=3x-8$$
dan
$$\displaystyle g(x)=2x^2+3x-1$$
.
Tentukan komposisi fungsi \((f\circ g)(x)\).
Komposisi
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))$$
.
Karena
$$\displaystyle f(x)=3x-8$$
,
maka
$$\displaystyle \begin{array}{l}f(g(x))=3(2x^2+3x-1)-8\\=6x^2+9x-3-8\\=6x^2+9x-11\end{array}$$
Jadi,
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=6x^2+9x-11$$
.
Soal 3
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=x^2+4x-3$$
dan
$$\displaystyle g(x)=ax-5$$
.
Jika
$$\displaystyle (g\circ f)(-2)=-9$$
,
tentukan nilai \(a\).
Hitung nilai \(f(-2)\) terlebih dahulu.
$$\displaystyle \begin{array}{l}f(-2)=(-2)^2+4(-2)-3\\=4-8-3\\=-7\end{array}$$
Karena
$$\displaystyle (g\circ f)(-2)=g(-7)$$
,
maka
$$\displaystyle g(-7)=-7a-5$$
.
Diketahui
$$\displaystyle -7a-5=-9$$
.
Maka
$$\displaystyle -7a=-4$$
sehingga
$$\displaystyle a=\frac{4}{7}$$
.
Soal 4
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=2x+5$$
dan
$$\displaystyle g(x)=\frac{3x}{x-1}$$
.
Tentukan:
a. \(f^{-1}(x)\) dan \(g^{-1}(x)\);
b. \((f\circ g)^{-1}(x)\).
Untuk mencari invers fungsi \(f\), misalkan
$$\displaystyle y=2x+5$$
.
Maka
$$\displaystyle \begin{array}{l}y=2x+5\\2x=y-5\\x=\frac{y-5}{2}\end{array}$$
Jadi,
$$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x-5}{2}$$
.
Sekarang tentukan invers fungsi \(g\).
Misalkan
$$\displaystyle y=\frac{3x}{x-1}$$
.
Kalikan silang.
$$\displaystyle yx-y=3x$$
.
Kelompokkan suku yang memuat \(x\).
$$\displaystyle x(y-3)=y$$
.
Maka
$$\displaystyle x=\frac{y}{y-3}$$
.
Jadi,
$$\displaystyle g^{-1}(x)=\frac{x}{x-3}$$
.
Untuk bagian b, gunakan sifat
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$$
.
Maka
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}(x)=g^{-1}\left(\frac{x-5}{2}\right)$$
.
Substitusikan ke fungsi \(g^{-1}\).
$$\displaystyle \begin{array}{l}(f\circ g)^{-1}(x)=\frac{\frac{x-5}{2}}{\frac{x-5}{2}-3}\\=\frac{x-5}{x-11}\end{array}$$
Jadi,
$$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x-5}{2}$$
$$\displaystyle g^{-1}(x)=\frac{x}{x-3}$$
dan
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-5}{x-11}$$
.
Soal 5
Diketahui
$$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x+2}{4}$$
dan
$$\displaystyle g(x)=\frac{x-3}{5x+1}$$
.
Tentukan
$$\displaystyle (g\circ f)^{-1}(x)$$
.
Gunakan sifat
$$\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$$
.
Kita sudah mengetahui \(f^{-1}\), sehingga terlebih dahulu kita cari \(g^{-1}\).
Misalkan
$$\displaystyle y=\frac{x-3}{5x+1}$$
.
Kalikan silang.
$$\displaystyle 5xy+y=x-3$$
.
Kelompokkan suku yang memuat \(x\).
$$\displaystyle 5xy-x=-y-3$$
.
Faktorkan \(x\).
$$\displaystyle x(5y-1)=-y-3$$
.
Maka
$$\displaystyle x=\frac{-y-3}{5y-1}$$
.
Bentuk tersebut dapat ditulis sebagai
$$\displaystyle x=\frac{y+3}{1-5y}$$
.
Jadi,
$$\displaystyle g^{-1}(x)=\frac{x+3}{1-5x}$$
.
Sekarang hitung
$$\displaystyle f^{-1}(g^{-1}(x))$$
.
$$\displaystyle \begin{array}{l}(g\circ f)^{-1}(x)=\frac{\frac{x+3}{1-5x}+2}{4}\\=\frac{x+3+2(1-5x)}{4(1-5x)}\\=\frac{5-9x}{4(1-5x)}\end{array}$$
Kalikan pembilang dan penyebut dengan \(-1\).
$$\displaystyle (g\circ f)^{-1}(x)=\frac{9x-5}{4(5x-1)}$$
.
Rangkuman Konsep Penting
1. Syarat Suatu Relasi Menjadi Fungsi
Setiap anggota domain harus mempunyai tepat satu pasangan.
Satu anggota domain tidak boleh dipasangkan dengan dua nilai yang berbeda.
2. Domain Fungsi Pecahan
Untuk fungsi
$$\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$$
,
berlaku syarat
$$\displaystyle Q(x)\neq0$$
.
3. Domain Fungsi Akar
Untuk fungsi
$$\displaystyle f(x)=\sqrt{P(x)}$$
,
harus berlaku
$$\displaystyle P(x)\geq0$$
.
Jika fungsi memuat akar sekaligus pecahan, kedua syarat harus diperiksa bersama-sama.
4. Operasi Aljabar Fungsi
Penjumlahan:
$$\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)$$
Pengurangan:
$$\displaystyle (f-g)(x)=f(x)-g(x)$$
Perkalian:
$$\displaystyle (f\times g)(x)=f(x)g(x)$$
Pembagian:
$$\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$
dengan syarat
$$\displaystyle g(x)\neq0$$
.
5. Komposisi Fungsi
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))$$
Artinya, kerjakan \(g\) terlebih dahulu, kemudian masukkan hasilnya ke \(f\).
Secara umum,
$$\displaystyle f\circ g\neq g\circ f$$
.
6. Invers Fungsi
Jika
$$\displaystyle y=f(x)$$
,
langkah dasar menentukan invers adalah:
- tuliskan \(y=f(x)\);
- ubah persamaan hingga diperoleh \(x\) sebagai fungsi dari \(y\);
- ganti \(y\) dengan \(x\).
7. Invers Komposisi
Urutan fungsi akan berbalik.
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$$
Untuk tiga fungsi,
$$\displaystyle (f\circ g\circ h)^{-1}=h^{-1}\circ g^{-1}\circ f^{-1}$$
.
Cek Pemahaman
- Mengapa \(x=5\) tidak termasuk domain fungsi \(f(x)=\frac{1}{x-5}\)?
Jika \(x=5\), penyebut menjadi
$$\displaystyle 5-5=0$$
.
Pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Jadi,
$$\displaystyle x\neq5$$
.
- Tentukan domain fungsi
$$\displaystyle f(x)=\sqrt{x-4}$$
.
Bagian di dalam akar harus tidak negatif.
$$\displaystyle x-4\geq0$$
sehingga
$$\displaystyle x\geq4$$
.
- Jika
$$\displaystyle f(x)=2x+1$$
dan
$$\displaystyle g(x)=x^2$$
,
tentukan \((f\circ g)(x)\).
$$\displaystyle \begin{array}{l}(f\circ g)(x)=f(g(x))\\=f(x^2)\\=2x^2+1\end{array}$$
- Jika
$$\displaystyle f(x)=3x-6$$
,
tentukan \(f^{-1}(x)\).
Misalkan
$$\displaystyle y=3x-6$$
.
Maka
$$\displaystyle 3x=y+6$$
sehingga
$$\displaystyle x=\frac{y+6}{3}$$
.
Jadi,
$$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x+6}{3}$$
.
- Jika \(f\) dan \(g\) memiliki invers, apakah
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$$
selalu benar?
Tidak.
Urutan fungsi harus dibalik.
Yang benar adalah
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$$
.
Refleksi
- Mengapa domain hasil penyederhanaan fungsi pecahan tetap harus mengikuti pembatas pada fungsi sebelum disederhanakan?
- Mengapa urutan sangat penting dalam komposisi fungsi?
- Bagaimana cara menentukan apakah lebih efisien mencari rumus lengkap \(f^{-1}(x)\) atau langsung mencari nilai \(f^{-1}(a)\)?
- Jika suatu soal memuat akar dan penyebut sekaligus, kesalahan apa yang dapat terjadi apabila kita hanya memeriksa salah satu syarat domain?
Kesimpulan
Soal ASTS Matematika kelas 11 pada materi fungsi mencakup beberapa kemampuan yang saling berkaitan, yaitu memahami relasi dan fungsi, menentukan domain, melakukan operasi aljabar fungsi, menentukan komposisi, serta mencari fungsi invers.
Pada soal domain, jangan hanya melihat bentuk akhir fungsi. Periksa syarat setiap bentuk sejak awal.
Pada komposisi fungsi, selalu perhatikan fungsi mana yang dikerjakan terlebih dahulu.
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))$$
berarti fungsi \(g\) dikerjakan lebih dahulu.
Pada invers komposisi, urutan tersebut dibalik.
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$$
Dengan memahami alasan di balik aturan tersebut, siswa akan lebih mudah menyelesaikan soal fungsi, komposisi, dan invers meskipun bentuk pertanyaannya diubah.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Apa yang dipelajari dalam soal ASTS Matematika kelas 11 materi fungsi?
Materinya dapat meliputi relasi dan fungsi, domain dan range, operasi aljabar fungsi, komposisi fungsi, nilai komposisi, fungsi invers, serta invers dari komposisi fungsi.
Bagaimana cara cepat menentukan domain fungsi pecahan?
Cari nilai \(x\) yang membuat penyebut sama dengan nol, kemudian keluarkan nilai tersebut dari domain.
Misalnya,
$$\displaystyle f(x)=\frac{2}{x-3}$$
.
Karena
$$\displaystyle x-3\neq0$$
,
maka
$$\displaystyle x\neq3$$
.
Bagaimana menentukan domain fungsi akar?
Untuk akar pangkat dua, bagian di dalam akar harus lebih besar dari atau sama dengan nol.
Contohnya,
$$\displaystyle f(x)=\sqrt{x+2}$$
.
Syaratnya
$$\displaystyle x+2\geq0$$
sehingga
$$\displaystyle x\geq-2$$
.
Apa perbedaan perkalian fungsi dan komposisi fungsi?
Perkalian fungsi adalah
$$\displaystyle (f\times g)(x)=f(x)g(x)$$
.
Sedangkan komposisi fungsi adalah
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))$$
.
Keduanya merupakan operasi yang berbeda.
Mengapa urutan invers komposisi dibalik?
Karena invers harus membatalkan proses mulai dari fungsi yang dikerjakan terakhir.
Jika proses awalnya
$$\displaystyle g$$
kemudian
$$\displaystyle f$$
,
maka proses pembalikannya dimulai dari
$$\displaystyle f^{-1}$$
kemudian
$$\displaystyle g^{-1}$$
.
Oleh karena itu,
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$$
.
