Lingkaran dan busur lingkaran merupakan dua konsep yang saling berkaitan. Ketika sebuah titik bergerak mengelilingi pusat dengan jarak yang tetap, terbentuk sebuah lingkaran. Sementara itu, bagian dari keliling yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut busur.
Sekilas, busur mungkin terlihat hanya sebagai garis lengkung pada lingkaran. Namun, panjang busur dapat dihitung dengan tepat jika kita mengetahui jari-jari lingkaran dan besar sudut pusat yang menghadap busur tersebut.
Misalnya, sebuah lingkaran memiliki jari-jari \(21\) cm dan sudut pusat \(120^\circ\). Apakah panjang busurnya cukup dihitung menggunakan keliling lingkaran?
Tidak.
Kita hanya membutuhkan sebagian dari keliling lingkaran. Besarnya bagian tersebut ditentukan oleh perbandingan sudut pusat terhadap satu putaran penuh, yaitu \(360^\circ\).
Pada materi ini kita akan membahas pengertian lingkaran, jari-jari dan diameter, busur minor dan mayor, hubungan sudut pusat dengan busur, rumus panjang busur, serta contoh soal dan latihan secara bertahap.
Pengertian Lingkaran
Lingkaran adalah himpunan titik-titik pada bidang datar yang mempunyai jarak sama terhadap satu titik tetap.
Titik tetap tersebut disebut titik pusat.
Misalkan titik pusat sebuah lingkaran adalah \(P\). Titik \(A\), \(B\), dan \(C\) berada pada lingkaran.
Karena ketiga titik tersebut berada pada lingkaran yang sama, jaraknya terhadap pusat \(P\) sama.
$$\displaystyle PA=PB=PC=r$$
Jarak dari titik pusat ke sebuah titik pada lingkaran disebut jari-jari.
Jadi, gagasan terpenting dalam definisi lingkaran adalah jarak yang tetap terhadap pusat.
Jari-Jari dan Diameter Lingkaran
Jari-Jari
Jari-jari adalah ruas garis yang menghubungkan titik pusat dengan satu titik pada lingkaran.
Jari-jari biasanya dinyatakan dengan huruf
$$\displaystyle r$$
Pada gambar berikut, ruas \(PC\) merupakan salah satu jari-jari.
Semua jari-jari pada satu lingkaran mempunyai panjang yang sama.
Diameter
Diameter adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melewati titik pusat.
Perhatikan gambar berikut.
Diameter terdiri atas dua jari-jari.
Karena itu,
$$\displaystyle d=2r$$
Sebaliknya,
$$\displaystyle r=\frac{d}{2}$$
Misalnya, jika diameter sebuah lingkaran \(20\) cm, maka jari-jarinya adalah
$$\displaystyle r=\frac{20}{2}=10\text{ cm}$$
Keliling Lingkaran sebagai Dasar Menghitung Panjang Busur
Sebelum menghitung panjang busur, kita perlu mengingat keliling lingkaran.
Keliling lingkaran berjari-jari \(r\) adalah
$$\displaystyle K=2\pi r$$
Karena \(d=2r\), rumus tersebut juga dapat ditulis sebagai
$$\displaystyle K=\pi d$$
Perhatikan gambar berikut. Garis berwarna biru merupakan seluruh keliling lingkaran.
Hal ini penting karena busur bukan bagian dari luas lingkaran. Busur merupakan bagian dari keliling.
Pada perhitungan, nilai \(\pi\) yang sering digunakan adalah
$$\displaystyle \pi\approx3{,}14$$
atau
$$\displaystyle \pi=\frac{22}{7}$$
Pemilihan nilai \(\pi\) dapat disesuaikan dengan bilangan pada soal.
Apa yang Dimaksud dengan Busur Lingkaran?
Busur lingkaran adalah bagian dari keliling lingkaran yang berada di antara dua titik pada lingkaran.
Misalkan titik \(A\) dan \(B\) berada pada lingkaran.
Bagian lengkung yang diberi warna merupakan busur \(AB\).
Namun, ada sesuatu yang perlu diperhatikan.
Dua titik \(A\) dan \(B\) sebenarnya membentuk dua busur: satu busur yang lebih pendek dan satu busur yang lebih panjang.
Karena itu, kita mengenal busur minor dan busur mayor.
Busur Minor dan Busur Mayor
Busur Minor
Busur minor adalah busur yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran.
Pada gambar berikut, busur berwarna merah muda merupakan busur minor \(AB\).
Busur minor merupakan jalur yang lebih pendek dari \(A\) menuju \(B\).
Jika sudut pusat yang menghadap busur tersebut kurang dari \(180^\circ\), busur yang dihadapinya merupakan busur minor.
Busur Mayor
Busur mayor adalah busur yang panjangnya lebih dari setengah keliling lingkaran.
Busur mayor merupakan jalur yang lebih panjang dari \(A\) menuju \(B\).
Jika busur minor antara \(A\) dan \(B\) menghadap sudut pusat \(100^\circ\), maka bagian lingkaran lainnya mempunyai ukuran
$$\displaystyle 360^\circ-100^\circ=260^\circ$$
Bagian \(260^\circ\) tersebut merupakan busur mayor.
Membandingkan Busur Minor dan Mayor
Kedua busur dapat diperlihatkan sekaligus pada satu gambar.
Jika soal hanya menuliskan busur \(AB\) tanpa keterangan lain, biasanya yang dimaksud adalah busur minor.
Sudut Pusat dan Busur yang Dihadapinya
Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya berada tepat di pusat lingkaran.
Misalkan \(P\) merupakan pusat lingkaran. Jari-jari \(PA\) dan \(PB\) membentuk sudut pusat \(\angle APB\).
Pada gambar tersebut,
$$\displaystyle \angle APB=100^\circ$$
dan sudut itu menghadap busur minor \(AB\).
Semakin besar sudut pusat, semakin besar pula bagian keliling yang menjadi busur.
Mengapa Panjang Busur Bergantung pada Sudut Pusat?
Satu putaran penuh mempunyai besar sudut
$$\displaystyle 360^\circ$$
dan panjang seluruh kelilingnya adalah
$$\displaystyle 2\pi r$$
Sekarang perhatikan busur yang menghadap sudut pusat \(90^\circ\).
Karena
$$\displaystyle \frac{90^\circ}{360^\circ}=\frac14$$
maka panjang busurnya adalah seperempat dari seluruh keliling.
Sekarang bandingkan dengan sudut \(180^\circ\).
Karena
$$\displaystyle \frac{180^\circ}{360^\circ}=\frac12$$
maka panjang busurnya adalah setengah dari keliling lingkaran.
Dari sini terlihat bahwa panjang busur ditentukan oleh berapa bagian sudut pusat terhadap \(360^\circ\).
Rumus Panjang Busur Lingkaran
Misalkan sebuah busur menghadap sudut pusat \(\alpha\).
Perbandingan panjang busur terhadap seluruh keliling sama dengan perbandingan sudut pusat terhadap \(360^\circ\).
$$\displaystyle
\frac{\text{panjang busur}}{\text{keliling lingkaran}}
=
\frac{\alpha}{360^\circ}
$$
Karena keliling lingkaran adalah
$$\displaystyle K=2\pi r$$
maka panjang busur dapat dihitung menggunakan
$$\displaystyle
s=\frac{\alpha}{360^\circ}\times2\pi r
$$
dengan:
- \(s\) = panjang busur;
- \(\alpha\) = besar sudut pusat;
- \(r\) = jari-jari lingkaran.
Rumus tersebut bukan rumus yang muncul tiba-tiba.
Kita hanya mengambil bagian
$$\displaystyle \frac{\alpha}{360^\circ}$$
dari seluruh keliling lingkaran.
Memahami Rumus Panjang Busur Tanpa Menghafal
Misalkan sudut pusat sebuah busur adalah
$$\displaystyle 60^\circ$$
Karena
$$\displaystyle \frac{60}{360}=\frac16$$
maka panjang busur tersebut adalah
$$\displaystyle \frac16$$
dari keliling lingkaran.
Jika sudut pusatnya \(120^\circ\), situasinya berubah menjadi berikut.
Karena
$$\displaystyle \frac{120}{360}=\frac13$$
maka panjang busurnya adalah sepertiga dari seluruh keliling.
Jadi, sebelum memasukkan angka ke rumus, tanyakan:
“Busur ini merupakan berapa bagian dari satu lingkaran penuh?”
Contoh Soal Panjang Busur Lingkaran
Soal 1
Perhatikan lingkaran berpusat di \(P\) berikut.
Diketahui
$$\displaystyle PA=21\text{ cm}$$
dan
$$\displaystyle \angle APB=120^\circ$$
Tentukan panjang busur minor \(AB\).
Diketahui
$$\displaystyle r=21\text{ cm}$$
dan
$$\displaystyle \alpha=120^\circ$$
Gambar menunjukkan bahwa busur \(AB\) merupakan bagian lingkaran yang dihadapi sudut pusat \(120^\circ\).
Gunakan rumus panjang busur.
$$\displaystyle
s=\frac{\alpha}{360^\circ}\times2\pi r
$$
Substitusikan nilai yang diketahui.
$$\displaystyle
s=\frac{120^\circ}{360^\circ}
\times2\times\frac{22}{7}\times21
$$
Sederhanakan perbandingan sudut.
$$\displaystyle
\frac{120}{360}=\frac13
$$
Maka
$$\displaystyle
s=\frac13\times2\times\frac{22}{7}\times21
$$
Karena
$$\displaystyle \frac{21}{7}=3$$
diperoleh
$$\displaystyle
s=\frac13\times44\times3
$$
sehingga
$$\displaystyle s=44\text{ cm}$$
Jadi, panjang busur minor \(AB\) adalah 44 cm.
Mengapa Jawaban Contoh Tadi 44 cm?
Kita dapat memahami hasil tersebut tanpa langsung memakai rumus panjang busur.
Sudut pusatnya adalah
$$\displaystyle 120^\circ$$
Karena
$$\displaystyle \frac{120}{360}=\frac13$$
busur \(AB\) adalah sepertiga dari seluruh keliling.
Keliling lingkaran berjari-jari \(21\) cm adalah
$$\displaystyle
K=2\pi r
$$
$$\displaystyle
K=2\times\frac{22}{7}\times21
$$
$$\displaystyle
K=132\text{ cm}
$$
Karena busurnya hanya sepertiga keliling,
$$\displaystyle
s=\frac13(132)=44\text{ cm}
$$
Jadi, rumus panjang busur sebenarnya hanya merupakan cara singkat untuk menghitung bagian tertentu dari keliling lingkaran.
Langkah Sistematis Menghitung Panjang Busur
Untuk mengurangi kesalahan, perhatikan gambar berikut terlebih dahulu.
1. Tentukan Jari-Jari
Cari nilai \(r\) pada gambar atau informasi soal.
Jika yang diberikan adalah diameter, gunakan
$$\displaystyle r=\frac{d}{2}$$
2. Tentukan Sudut Pusat
Cari sudut yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran.
Sudut pusat inilah yang digunakan dalam rumus panjang busur.
3. Tentukan Bagian dari Satu Putaran
Hitung
$$\displaystyle \frac{\alpha}{360^\circ}$$
Nilai tersebut menunjukkan bagian dari seluruh keliling yang membentuk busur.
4. Kalikan dengan Keliling Lingkaran
Gunakan
$$\displaystyle
s=\frac{\alpha}{360^\circ}\times2\pi r
$$
5. Periksa Kewajaran Jawaban
Jika sudut pusat kurang dari \(180^\circ\), busur minor yang dihasilkan harus lebih pendek daripada setengah keliling lingkaran.
Jika hasil perhitungan tidak sesuai dengan gambar, periksa kembali sudut, jari-jari, dan proses perhitungan.
Kesalahan yang Sering Terjadi Saat Menghitung Panjang Busur
Menggunakan Luas Lingkaran
Busur berada pada keliling, bukan pada daerah di dalam lingkaran.
Karena itu, dasar rumus panjang busur adalah
$$\displaystyle 2\pi r$$
bukan
$$\displaystyle \pi r^2$$
Lupa Membandingkan Sudut dengan \(360^\circ\)
Sudut pusat tidak langsung dikalikan dengan keliling.
Kita harus menentukan bagian lingkarannya terlebih dahulu.
$$\displaystyle
\frac{\alpha}{360^\circ}
$$
Keliru Membedakan Jari-Jari dan Diameter
Perhatikan gambar berikut.
Jika diketahui diameter \(24\) cm, jari-jarinya adalah
$$\displaystyle r=\frac{24}{2}=12\text{ cm}$$
Bukan \(24\) cm.
Tidak Memperhatikan Busur Minor dan Mayor
Dua titik pada lingkaran dapat menghasilkan dua busur.
Karena itu, selalu periksa busur mana yang dimaksud oleh soal.
Latihan Soal Busur Lingkaran
Soal 2
Perhatikan lingkaran berpusat di \(P\).
Diketahui
$$\displaystyle \angle KPL=135^\circ$$
dan
$$\displaystyle PK=12\text{ cm}$$
Panjang busur minor \(KL\) adalah…
Diketahui
$$\displaystyle r=12\text{ cm}$$
dan
$$\displaystyle \alpha=135^\circ$$
Gunakan rumus panjang busur.
$$\displaystyle
s=\frac{135^\circ}{360^\circ}\times2\pi(12)
$$
Sederhanakan.
$$\displaystyle
\frac{135}{360}=\frac38
$$
Maka
$$\displaystyle
s=\frac38\times24\pi
$$
$$\displaystyle
s=9\pi\text{ cm}
$$
Jawaban: B.
Soal 3
Sebuah lingkaran mempunyai jari-jari \(14\) cm. Jika sebuah busur menghadap sudut pusat \(90^\circ\), panjang busur tersebut adalah…
Gunakan
$$\displaystyle
s=\frac{90^\circ}{360^\circ}\times2\pi(14)
$$
Karena
$$\displaystyle
\frac{90}{360}=\frac14
$$
maka
$$\displaystyle
s=\frac14\times28\pi
$$
$$\displaystyle
s=7\pi\text{ cm}
$$
Jawaban: B.
Soal 4
Sebuah lingkaran memiliki jari-jari \(10\) cm. Jika sudut pusat yang menghadap sebuah busur adalah \(180^\circ\), panjang busur tersebut adalah…
Sudut \(180^\circ\) merupakan setengah dari satu putaran penuh.
$$\displaystyle
\frac{180^\circ}{360^\circ}=\frac12
$$
Maka
$$\displaystyle
s=\frac{180^\circ}{360^\circ}\times2\pi(10)
$$
$$\displaystyle
s=\frac12\times20\pi
$$
$$\displaystyle
s=10\pi\text{ cm}
$$
Jawaban: B.
Soal 5
Sebuah lingkaran mempunyai diameter \(20\) cm. Sebuah busur minor menghadap sudut pusat \(72^\circ\). Panjang busur tersebut adalah…
Diameter lingkaran adalah
$$\displaystyle d=20\text{ cm}$$
Maka jari-jarinya
$$\displaystyle
r=\frac{20}{2}=10\text{ cm}
$$
Gunakan rumus panjang busur.
$$\displaystyle
s=\frac{72^\circ}{360^\circ}\times2\pi(10)
$$
Karena
$$\displaystyle
\frac{72}{360}=\frac15
$$
maka
$$\displaystyle
s=\frac15\times20\pi
$$
$$\displaystyle
s=4\pi\text{ cm}
$$
Jawaban: B.
Soal 6
Sebuah lintasan berbentuk lingkaran mempunyai jari-jari \(18\) m. Bagian lintasan dari titik \(A\) ke titik \(B\) menghadap sudut pusat \(80^\circ\).
Panjang lintasan pada busur minor \(AB\) adalah…
Gunakan rumus panjang busur.
$$\displaystyle
s=\frac{80^\circ}{360^\circ}\times2\pi(18)
$$
Karena
$$\displaystyle
\frac{80}{360}=\frac29
$$
maka
$$\displaystyle
s=\frac29\times36\pi
$$
$$\displaystyle
s=8\pi\text{ m}
$$
Jawaban: B.
Soal 7
Pada sebuah lingkaran berjari-jari \(18\) cm, panjang busur minor \(AB\) adalah \(15\pi\) cm.
Besar sudut pusat \(\angle APB\) adalah…
Keliling lingkaran adalah
$$\displaystyle
K=2\pi(18)=36\pi
$$
Busur \(AB\) mempunyai panjang \(15\pi\). Jadi, busur tersebut merupakan
$$\displaystyle
\frac{15\pi}{36\pi}=\frac{5}{12}
$$
bagian dari seluruh keliling.
Maka sudut pusatnya juga
$$\displaystyle
\frac{5}{12}
$$
bagian dari \(360^\circ\).
$$\displaystyle
\alpha=\frac{5}{12}\times360^\circ
$$
$$\displaystyle
\alpha=150^\circ
$$
Jawaban: C.
Soal 8
Panjang sebuah busur minor adalah \(12\pi\) cm dan sudut pusat yang menghadap busur tersebut adalah \(120^\circ\).
Jari-jari lingkaran adalah…
Gunakan
$$\displaystyle
12\pi=\frac{120^\circ}{360^\circ}\times2\pi r
$$
Karena
$$\displaystyle
\frac{120}{360}=\frac13
$$
maka
$$\displaystyle
12\pi=\frac13(2\pi r)
$$
Kalikan kedua ruas dengan \(3\).
$$\displaystyle
36\pi=2\pi r
$$
Sehingga
$$\displaystyle
r=18\text{ cm}
$$
Jawaban: C.
Soal 9
Sebuah lingkaran mempunyai diameter \(28\) cm. Busur minor \(AB\) menghadap sudut pusat \(45^\circ\).
Panjang busur \(AB\) adalah…
Diameter lingkaran adalah \(28\) cm.
Maka
$$\displaystyle
r=14\text{ cm}
$$
Sudut \(45^\circ\) merupakan
$$\displaystyle
\frac{45}{360}=\frac18
$$
dari satu putaran penuh.
Keliling lingkaran adalah
$$\displaystyle
2\pi(14)=28\pi
$$
Maka
$$\displaystyle
s=\frac18(28\pi)
$$
$$\displaystyle
s=\frac{7\pi}{2}\text{ cm}
$$
Jawaban: C.
Soal 10
Sebuah lingkaran berjari-jari \(10\) cm memiliki busur minor \(AB\) yang menghadap sudut pusat \(144^\circ\).
Jika yang dicari adalah panjang busur mayor \(AB\), hasilnya adalah…
Sudut \(144^\circ\) menghadap busur minor.
Maka sudut yang bersesuaian dengan busur mayor adalah
$$\displaystyle
360^\circ-144^\circ=216^\circ
$$
Keliling lingkaran adalah
$$\displaystyle
2\pi(10)=20\pi
$$
Panjang busur mayor:
$$\displaystyle
s=\frac{216^\circ}{360^\circ}\times20\pi
$$
$$\displaystyle
s=\frac35\times20\pi
$$
$$\displaystyle
s=12\pi\text{ cm}
$$
Jawaban: C.
Soal 11
Pada lingkaran yang sama, busur minor \(AB\) menghadap sudut pusat \(72^\circ\), sedangkan busur minor \(CD\) menghadap sudut pusat \(120^\circ\).
Jika panjang busur \(AB=6\pi\) cm, maka panjang busur \(CD\) adalah…
Pada lingkaran yang sama, jari-jari tetap.
Karena itu, panjang busur berbanding lurus dengan besar sudut pusat.
$$\displaystyle
\frac{s_{CD}}{s_{AB}}
=
\frac{120}{72}
$$
Substitusikan
$$\displaystyle
s_{AB}=6\pi
$$
sehingga
$$\displaystyle
s_{CD}
=
6\pi\times\frac{120}{72}
$$
$$\displaystyle
s_{CD}
=
6\pi\times\frac53
$$
$$\displaystyle
s_{CD}=10\pi\text{ cm}
$$
Jawaban: C.
Soal 12
Lingkaran I mempunyai jari-jari \(12\) cm dan busur yang menghadap sudut pusat \(150^\circ\).
Lingkaran II mempunyai jari-jari \(20\) cm. Sebuah busur pada Lingkaran II mempunyai panjang yang sama dengan busur pada Lingkaran I.
Besar sudut pusat pada Lingkaran II adalah…
Panjang busur pada Lingkaran I adalah
$$\displaystyle
s=\frac{150^\circ}{360^\circ}\times2\pi(12)
$$
$$\displaystyle
s=\frac{5}{12}\times24\pi
$$
$$\displaystyle
s=10\pi\text{ cm}
$$
Pada Lingkaran II,
$$\displaystyle
10\pi=
\frac{\alpha}{360^\circ}\times2\pi(20)
$$
$$\displaystyle
10=
\frac{\alpha}{360}\times40
$$
Maka
$$\displaystyle
\frac{\alpha}{360}=\frac14
$$
sehingga
$$\displaystyle
\alpha=90^\circ
$$
Jawaban: C.
Soal 13
Sebuah tanda berwarna pada tepi sebuah roda bergerak dari titik \(A\) menuju titik \(B\) melalui busur mayor.
Sudut pusat yang menghadap busur minor \(AB\) adalah \(144^\circ\). Jika jari-jari roda \(35\) cm, jarak yang ditempuh tanda tersebut sepanjang tepi roda adalah…
Sudut busur mayor adalah
$$\displaystyle
360^\circ-144^\circ=216^\circ
$$
Keliling roda:
$$\displaystyle
K=2\pi(35)=70\pi
$$
Maka panjang busur mayor adalah
$$\displaystyle
s=\frac{216}{360}\times70\pi
$$
$$\displaystyle
s=\frac35\times70\pi
$$
$$\displaystyle
s=42\pi\text{ cm}
$$
Jawaban: D.
Soal 14
Sebuah penunjuk pada dial berbentuk lingkaran bergerak sebesar \(40\%\) dari satu putaran penuh. Jari-jari lintasan ujung penunjuk adalah \(7{,}5\) cm.
Panjang lintasan yang ditempuh ujung penunjuk adalah…
Empat puluh persen dari satu putaran adalah
$$\displaystyle
0{,}4\times360^\circ=144^\circ
$$
Keliling lintasan ujung penunjuk adalah
$$\displaystyle
2\pi(7{,}5)=15\pi
$$
Karena lintasan yang ditempuh adalah \(40\%\) dari keliling,
$$\displaystyle
s=0{,}4(15\pi)
$$
$$\displaystyle
s=6\pi\text{ cm}
$$
Jawaban: D.
Soal 15
Seorang siswa menghitung panjang busur mayor \(AB\) pada lingkaran berjari-jari \(9\) cm.
Ia menggunakan sudut \(110^\circ\) langsung ke dalam rumus, padahal \(110^\circ\) adalah sudut pusat yang menghadap busur minor \(AB\).
Panjang busur mayor yang benar adalah…
Karena \(110^\circ\) menghadap busur minor, sudut untuk busur mayor adalah
$$\displaystyle
360^\circ-110^\circ=250^\circ
$$
Keliling lingkaran adalah
$$\displaystyle
2\pi(9)=18\pi
$$
Maka panjang busur mayor adalah
$$\displaystyle
s=\frac{250}{360}\times18\pi
$$
Sederhanakan.
$$\displaystyle
s=\frac{25}{36}\times18\pi
$$
$$\displaystyle
s=\frac{25\pi}{2}\text{ cm}
$$
Kesalahan siswa adalah menggunakan sudut busur minor untuk menghitung busur mayor.
Jawaban: C.
Soal 16
Pada sebuah lingkaran, panjang busur minor \(AB\) dan \(CD\) berbanding
$$\displaystyle 3:5$$
Jika busur \(AB\) menghadap sudut pusat \(54^\circ\), maka sudut pusat yang menghadap busur \(CD\) adalah…
Pada satu lingkaran, panjang busur berbanding lurus dengan sudut pusatnya.
Maka
$$\displaystyle
54^\circ:\alpha=3:5
$$
Sehingga
$$\displaystyle
\frac{54}{\alpha}=\frac35
$$
Kalikan silang.
$$\displaystyle
3\alpha=270
$$
$$\displaystyle
\alpha=90^\circ
$$
Jawaban: C.
Soal 17
Pada sebuah lingkaran, panjang busur mayor \(AB\) adalah \(21\pi\) cm. Sudut pusat yang menghadap busur minor \(AB\) adalah \(108^\circ\).
Jari-jari lingkaran tersebut adalah…
Sudut busur mayor adalah
$$\displaystyle
360^\circ-108^\circ=252^\circ
$$
Gunakan rumus panjang busur.
$$\displaystyle
21\pi=
\frac{252}{360}\times2\pi r
$$
Karena
$$\displaystyle
\frac{252}{360}=\frac{7}{10}
$$
maka
$$\displaystyle
21\pi=
\frac{7}{10}\times2\pi r
$$
$$\displaystyle
21\pi=\frac75\pi r
$$
Hilangkan faktor \(\pi\).
$$\displaystyle
21=\frac75r
$$
Sehingga
$$\displaystyle
r=15\text{ cm}
$$
Jawaban: C.
Soal 18
Dua lingkaran mempunyai sudut pusat yang sama, yaitu \(135^\circ\).
Lingkaran I berjari-jari \(8\) cm, sedangkan Lingkaran II berjari-jari \(14\) cm.
Selisih panjang busur yang dihadapi sudut \(135^\circ\) pada kedua lingkaran adalah…
Karena sudut pusat pada kedua lingkaran sama, kita dapat langsung menggunakan selisih jari-jari.
Selisih jari-jari adalah
$$\displaystyle
14-8=6
$$
Maka selisih panjang busurnya
$$\displaystyle
\frac{135}{360}\times2\pi(6)
$$
Karena
$$\displaystyle
\frac{135}{360}=\frac38
$$
diperoleh
$$\displaystyle
\frac38\times12\pi
=
\frac{36\pi}{8}
$$
$$\displaystyle
=\frac{9\pi}{2}\text{ cm}
$$
Jawaban: C.
Soal 19
Keliling sebuah lingkaran adalah \(50\pi\) cm. Sebuah busur pada lingkaran tersebut mempunyai panjang \(15\pi\) cm.
Besar sudut pusat yang menghadap busur tersebut adalah…
Busur mempunyai panjang
$$\displaystyle
15\pi
$$
dari keliling total
$$\displaystyle
50\pi
$$
Jadi bagian lingkarannya adalah
$$\displaystyle
\frac{15\pi}{50\pi}=\frac{3}{10}
$$
Sudut pusat merupakan bagian yang sama dari \(360^\circ\).
$$\displaystyle
\alpha=\frac{3}{10}\times360^\circ
$$
$$\displaystyle
\alpha=108^\circ
$$
Jawaban: D.
Soal 20
Pada sebuah lingkaran, dua titik \(A\) dan \(B\) membentuk busur minor dan busur mayor.
Panjang busur minor \(AB\) adalah \(8\pi\) cm, sedangkan panjang busur mayor \(AB\) adalah \(32\pi\) cm.
Pasangan jari-jari lingkaran dan besar sudut pusat yang menghadap busur minor yang benar adalah…
Busur minor dan busur mayor bersama-sama membentuk seluruh keliling lingkaran.
Maka
$$\displaystyle
K=8\pi+32\pi
$$
$$\displaystyle
K=40\pi
$$
Karena
$$\displaystyle
K=2\pi r
$$
maka
$$\displaystyle
40\pi=2\pi r
$$
sehingga
$$\displaystyle
r=20\text{ cm}
$$
Selanjutnya, busur minor mempunyai panjang
$$\displaystyle
8\pi
$$
dari keliling total
$$\displaystyle
40\pi
$$
Jadi busur minor merupakan
$$\displaystyle
\frac{8\pi}{40\pi}=\frac15
$$
dari satu lingkaran.
Maka sudut pusatnya
$$\displaystyle
\alpha=\frac15\times360^\circ
$$
$$\displaystyle
\alpha=72^\circ
$$
Jadi pasangan yang benar adalah
\(r=20\) cm dan \(\alpha=72^\circ\).
Jawaban: B.
Ringkasan Lingkaran dan Busur Lingkaran
Perhatikan kembali hubungan utama pada gambar berikut.
Lingkaran merupakan himpunan titik yang mempunyai jarak sama terhadap satu titik pusat.
Jarak dari pusat ke lingkaran disebut jari-jari.
Hubungan diameter dan jari-jari adalah
$$\displaystyle d=2r$$
Keliling lingkaran adalah
$$\displaystyle K=2\pi r$$
Busur merupakan bagian dari keliling lingkaran yang berada di antara dua titik pada lingkaran.
Busur yang lebih pendek dari setengah lingkaran disebut busur minor, sedangkan busur yang lebih panjang dari setengah lingkaran disebut busur mayor.
Jika sebuah busur menghadap sudut pusat \(\alpha\), panjang busurnya adalah
$$\displaystyle
s=\frac{\alpha}{360^\circ}\times2\pi r
$$
Semakin besar sudut pusat, semakin besar bagian keliling yang menjadi busur.
Pertanyaan yang Sering Ditanyakan
Apa yang Dimaksud dengan Busur Lingkaran?
Busur lingkaran adalah bagian dari keliling lingkaran yang berada di antara dua titik pada lingkaran.
Apa Perbedaan Busur Minor dan Busur Mayor?
Busur minor panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran. Sebaliknya, busur mayor panjangnya lebih dari setengah keliling.
Apa Rumus Panjang Busur Lingkaran?
Jika sudut pusatnya \(\alpha\) dan jari-jari lingkaran \(r\), maka
$$\displaystyle
s=\frac{\alpha}{360^\circ}\times2\pi r
$$
Mengapa Rumus Panjang Busur Menggunakan \(360^\circ\)?
Karena satu putaran penuh pada lingkaran mempunyai sudut \(360^\circ\).
Karena itu,
$$\displaystyle
\frac{\alpha}{360^\circ}
$$
menunjukkan bagian dari seluruh lingkaran yang digunakan oleh busur tersebut.
Jika Diketahui Diameter, Apakah Bisa Menghitung Panjang Busur?
Bisa.
Jika menggunakan rumus panjang busur dengan jari-jari, diameter terlebih dahulu diubah menggunakan
$$\displaystyle r=\frac{d}{2}$$
Kesimpulan
Konsep busur lingkaran menjadi lebih mudah jika kita melihatnya sebagai bagian dari keliling lingkaran.
Satu lingkaran penuh memiliki sudut
$$\displaystyle 360^\circ$$
Jika sebuah busur menghadap sudut pusat \(\alpha\), bagian keliling yang membentuk busur tersebut adalah
$$\displaystyle \frac{\alpha}{360^\circ}$$
Karena keliling lingkaran adalah
$$\displaystyle 2\pi r$$
maka diperoleh
$$\displaystyle
s=\frac{\alpha}{360^\circ}\times2\pi r
$$
Jadi, kunci utama dalam soal panjang busur adalah mengenali jari-jari, sudut pusat, dan busur yang sedang dihitung.
Dengan memahami hubungan pada gambar, rumus panjang busur tidak lagi terasa sebagai rumus yang harus dihafal. Rumus tersebut merupakan konsekuensi langsung dari pembagian satu lingkaran penuh.
Tinggalkan komentar