Sistem pertidaksamaan linear dua variabel sering terasa lebih sulit daripada persamaan biasa karena jawabannya bukan sekadar satu nilai \(x\) atau satu nilai \(y\). Kita harus mencari sekumpulan titik yang memenuhi beberapa syarat sekaligus, lalu menggambarkannya sebagai sebuah daerah himpunan penyelesaian atau DHP.
Kabar baiknya, materi ini sebenarnya sangat visual. Begitu kamu paham hubungan antara garis batas, titik uji, arah arsiran, dan irisan beberapa daerah, sistem pertidaksamaan tidak lagi terasa seperti kumpulan simbol yang harus dihafal.
Bayangkan setiap pertidaksamaan sebagai sebuah aturan yang membatasi ruang gerak. Satu aturan mungkin berkata, “jangan melewati garis ini.” Aturan lain berkata, “harus berada di sebelah kanan garis itu.” Ketika semua aturan diterapkan bersama-sama, hanya tersisa satu daerah yang memenuhi semuanya. Daerah itulah DHP.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan mampu:
- memahami pengertian pertidaksamaan linear dua variabel;
- membedakan persamaan linear dan pertidaksamaan linear;
- menentukan garis batas suatu pertidaksamaan;
- membedakan garis batas penuh dan putus-putus;
- menggunakan titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian;
- menggambar DHP satu pertidaksamaan;
- menggambar DHP suatu sistem pertidaksamaan;
- membaca sistem pertidaksamaan dari grafik;
- menentukan titik-titik pojok DHP;
- menentukan apakah DHP terbatas, tak terbatas, atau kosong;
- menentukan luas DHP sederhana;
- memodelkan masalah kontekstual dengan pertidaksamaan;
- menganalisis perubahan DHP akibat perubahan parameter;
- menyelesaikan soal penalaran standar TKA dan HOTS.
Mari Berpikir
Misalkan kamu mempunyai dua syarat:
\(x+y\le6\)
dan
\(x\ge2\).
Syarat pertama mengatakan bahwa jumlah \(x\) dan \(y\) tidak boleh lebih dari \(6\). Syarat kedua mengatakan bahwa nilai \(x\) tidak boleh kurang dari \(2\).
Sekarang coba pikirkan titik \(A(1,3)\). Titik ini memenuhi \(x+y\le6\), tetapi gagal memenuhi \(x\ge2\). Jadi titik tersebut bukan penyelesaian sistem.
Bagaimana dengan \(B(3,2)\)? Kita mempunyai \(3+2\le6\) dan \(3\ge2\). Kedua syarat benar. Maka \(B(3,2)\) merupakan penyelesaian.
Di sinilah kata sistem menjadi penting. Sebuah titik harus lolos dari semua syarat sekaligus.
Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yang melibatkan dua variabel, biasanya \(x\) dan \(y\), dengan pangkat tertinggi setiap variabel adalah satu.
Bentuk umumnya dapat berupa:
$$\displaystyle ax+by<c$$
$$\displaystyle ax+by\le c$$
$$\displaystyle ax+by>c$$
$$\displaystyle ax+by\ge c$$
dengan \(a\), \(b\), dan \(c\) bilangan real serta \(a\) dan \(b\) tidak keduanya nol.
Contoh pertidaksamaan linear dua variabel:
\(2x+3y\le12\)
\(x-y>4\)
\(y\ge2x-1\)
\(x\ge0\)
\(y<5\)
Perhatikan bahwa \(x\ge0\) juga dapat dianggap sebagai pertidaksamaan linear dua variabel karena dapat ditulis \(x+0y\ge0\).
Apa Bedanya Persamaan dan Pertidaksamaan?
Persamaan linear seperti
$$\displaystyle 2x+y=8$$
mempunyai penyelesaian berupa semua titik yang tepat berada pada sebuah garis.
Sementara pertidaksamaan
$$\displaystyle 2x+y\le8$$
mempunyai penyelesaian berupa semua titik pada salah satu sisi garis \(2x+y=8\), termasuk garis tersebut.
Jadi perbedaannya bisa diringkas seperti ini:
- persamaan menghasilkan garis;
- pertidaksamaan menghasilkan daerah atau setengah bidang.
Garis Batas Pertidaksamaan
Untuk menggambar pertidaksamaan, langkah pertama adalah menemukan garis batas.
Caranya sederhana: ubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan.
Misalnya:
\(2x+y\le8\)
mempunyai garis batas
$$\displaystyle 2x+y=8$$
Sedangkan
\(x-2y>4\)
mempunyai garis batas
$$\displaystyle x-2y=4$$
Garis Penuh dan Garis Putus-Putus
Tidak semua garis batas digambar dengan cara yang sama.
Jika pertidaksamaan menggunakan \( \le \) atau \( \ge \), titik-titik pada garis batas ikut menjadi penyelesaian. Karena itu garis digambar penuh.
Jika pertidaksamaan menggunakan \(<\) atau \(>\), titik-titik pada garis batas tidak termasuk penyelesaian. Karena itu garis digambar putus-putus.
Menentukan Garis dari Titik Potong Sumbu
Salah satu cara termudah menggambar garis adalah mencari titik potongnya dengan sumbu-\(x\) dan sumbu-\(y\).
Misalkan garisnya
$$\displaystyle 2x+y=8$$
Untuk mencari titik potong dengan sumbu-\(x\), ambil \(y=0\).
$$\displaystyle 2x=8$$
$$\displaystyle x=4$$
Maka titik potongnya adalah \( (4,0) \).
Untuk mencari titik potong dengan sumbu-\(y\), ambil \(x=0\).
$$\displaystyle y=8$$
Maka titik potongnya adalah \( (0,8) \).
Menentukan Arah Arsiran dengan Titik Uji
Setelah garis batas digambar, kita masih perlu menentukan sisi mana yang menjadi penyelesaian.
Cara yang paling aman adalah menggunakan titik uji.
Titik yang paling sering digunakan adalah \( (0,0) \), selama titik itu tidak terletak pada garis batas.
Misalnya:
$$\displaystyle 2x+y\le8$$
Substitusikan \( (0,0) \).
$$\displaystyle 2(0)+0\le8$$
$$\displaystyle 0\le8$$
Pernyataan ini benar.
Artinya sisi garis yang memuat titik \( (0,0) \) adalah daerah penyelesaian.
Sekarang bandingkan dengan
$$\displaystyle 2x+y\ge8$$
Substitusi \( (0,0) \) menghasilkan
$$\displaystyle 0\ge8$$
yang salah.
Jadi daerah penyelesaian berada pada sisi yang tidak memuat \( (0,0) \).
Apa Itu Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel?
Sebuah sistem pertidaksamaan linear dua variabel terdiri atas dua atau lebih pertidaksamaan yang harus dipenuhi secara bersamaan.
Contohnya:
\(x\ge0\)
\(y\ge0\)
\(x+y\le6\)
Pertidaksamaan pertama berarti daerah di kanan sumbu-\(y\).
Pertidaksamaan kedua berarti daerah di atas sumbu-\(x\).
Pertidaksamaan ketiga berarti daerah di bawah garis \(x+y=6\).
Irisan ketiga daerah tersebut membentuk segitiga.
Daerah Himpunan Penyelesaian atau DHP
DHP adalah daerah yang memenuhi seluruh pertidaksamaan dalam suatu sistem secara bersamaan.
Kata kuncinya adalah irisan.
Jangan memilih daerah yang hanya memenuhi satu atau dua syarat. Semua pertidaksamaan harus benar pada titik yang berada di DHP.
Misalkan diberikan:
\(2x+y\le8\)
\(x+2y\le8\)
\(x\ge0\)
\(y\ge0\)
DHP-nya merupakan irisan keempat daerah.
Menentukan Titik Pojok DHP
Titik pojok muncul dari perpotongan garis-garis batas yang benar-benar membatasi DHP.
Pada sistem
\(2x+y\le8\)
\(x+2y\le8\)
\(x\ge0\)
\(y\ge0\)
salah satu titik pojok berasal dari perpotongan
$$\displaystyle 2x+y=8$$
dan
$$\displaystyle x+2y=8$$
Kurangkan kedua persamaan.
$$\displaystyle x-y=0$$
$$\displaystyle x=y$$
Substitusikan \(y=x\).
$$\displaystyle 2x+x=8$$
$$\displaystyle 3x=8$$
$$\displaystyle x=\frac83$$
Karena \(x=y\), diperoleh
$$\displaystyle y=\frac83$$
Jadi titik potong kedua garis adalah \( \left(\frac83,\frac83\right) \).
Membaca Sistem dari Grafik
Soal tidak selalu memberikan pertidaksamaan. Kadang grafik DHP diberikan terlebih dahulu, lalu kita diminta menentukan sistemnya.
Strateginya:
- tentukan persamaan setiap garis batas;
- perhatikan apakah garis penuh atau putus-putus;
- lihat sisi mana yang diarsir;
- gunakan satu titik di dalam DHP untuk menentukan arah tanda;
- jangan lupa batas sumbu seperti \(x\ge0\) dan \(y\ge0\).
Contoh Visual
Perhatikan grafik berikut.
Dari grafik terlihat bahwa DHP berada di kuadran I, sehingga terdapat syarat \(x\ge0\) dan \(y\ge0\).
DHP juga berada di bawah dua garis miring, sehingga kedua pertidaksamaan memakai tanda \( \le \).
DHP Terbatas, Tak Terbatas, dan Kosong
DHP Terbatas
DHP disebut terbatas jika seluruh daerahnya dikelilingi garis batas dan tidak memanjang terus tanpa akhir.
Contoh:
\(x\ge0\)
\(y\ge0\)
\(x+y\le5\)
DHP Tak Terbatas
Jika daerah penyelesaian terus memanjang ke arah tertentu tanpa batas, DHP disebut tak terbatas.
Contoh:
\(x\ge0\)
\(y\ge0\)
\(x+y\ge5\)
DHP Kosong
Kadang beberapa syarat saling bertentangan sehingga tidak ada satu pun titik yang memenuhi semuanya.
Misalnya:
\(x+y\le4\)
\(x+y\ge6\)
Tidak mungkin sebuah bilangan sekaligus memenuhi \(x+y\le4\) dan \(x+y\ge6\).
Pertidaksamaan Ketat dan Tidak Ketat
Bandingkan:
\(x+y\le4\)
dan
\(x+y<4\).
Kedua daerah penyelesaian terletak pada sisi yang sama. Bedanya, pada pertidaksamaan pertama garis \(x+y=4\) ikut menjadi solusi, sedangkan pada pertidaksamaan kedua garis itu tidak termasuk.
Model Matematika dari Masalah Kontekstual
Sistem pertidaksamaan sering digunakan untuk menggambarkan berbagai batasan dalam kehidupan sehari-hari.
Misalnya sebuah kegiatan menggunakan dua jenis paket, A dan B. Misalkan jumlah paket A adalah \(x\) dan paket B adalah \(y\).
Jika jumlah seluruh paket paling banyak \(30\), kita tulis
$$\displaystyle x+y\le30$$
Jika paket A minimal \(8\), kita tulis
$$\displaystyle x\ge8$$
Jika paket B minimal \(5\), kita tulis
$$\displaystyle y\ge5$$
Karena \(x\) dan \(y\) menyatakan banyak barang, umumnya juga berlaku \(x\ge0\) dan \(y\ge0\).
Kata-Kata Penting dalam Soal Cerita
- paling banyak → \( \le \)
- maksimal → \( \le \)
- tidak lebih dari → \( \le \)
- paling sedikit → \( \ge \)
- minimal → \( \ge \)
- sekurang-kurangnya → \( \ge \)
- lebih dari → \(>\)
- kurang dari → \(<\)
Menghitung Luas DHP
Jika DHP berbentuk segitiga, persegi panjang, atau bangun sederhana lain, luasnya dapat dihitung menggunakan rumus geometri.
Contoh:
\(x\ge0\)
\(y\ge0\)
\(x+y\le6\)
DHP merupakan segitiga siku-siku dengan alas \(6\) dan tinggi \(6\).
$$\displaystyle L=\frac12(6)(6)$$
$$\displaystyle L=18$$
Mengapa Titik Pojok Sangat Penting?
Titik pojok merangkum struktur DHP. Banyak soal penalaran meminta kita menentukan jumlah titik pojok, koordinat titik potong, luas daerah, atau nilai suatu ekspresi pada titik-titik pojok.
Dalam materi lanjutan seperti program linear, titik pojok menjadi sangat penting karena nilai maksimum atau minimum fungsi objektif pada daerah poligon biasanya dicari melalui titik-titik tersebut.
Di artikel ini kita tetap fokus pada sistem pertidaksamaan. Karena itu penggunaan titik pojok hanya dipakai untuk memahami bentuk dan sifat DHP.
Strategi Cepat Menyelesaikan Soal
- Baca setiap pertidaksamaan secara terpisah.
- Tentukan garis batas.
- Cek apakah garis penuh atau putus-putus.
- Cari dua titik untuk menggambar garis.
- Gunakan titik uji untuk menentukan sisi yang benar.
- Ambil irisan semua daerah.
- Jika diminta titik pojok, cari perpotongan garis-garis pembatas.
- Substitusikan titik yang meragukan ke semua pertidaksamaan.
- Pada soal parameter, ubah informasi “masuk DHP”, “di luar DHP”, atau “tepat di batas” menjadi syarat aljabar.
50 Soal Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Level Mudah
Soal 1
Manakah yang merupakan pertidaksamaan linear dua variabel?
A. \(x^2+y\le7\)
B. \(xy>8\)
C. \(2x+3y\le12\)
D. \(\sqrt{x}+y>4\)
E. \(\frac1x+y<5\)
Pertidaksamaan linear dua variabel harus mempunyai variabel berpangkat satu dan tidak mengandung perkalian antarkomponen variabel, akar variabel, atau variabel di penyebut.
Pilihan C, yaitu \(2x+3y\le12\), memenuhi syarat tersebut.
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 2
Titik yang memenuhi pertidaksamaan \(2x+y\le7\) adalah ….
A. \((3,3)\)
B. \((2,2)\)
C. \((4,1)\)
D. \((1,6)\)
E. \((5,0)\)
Substitusikan pilihan B.
$$\displaystyle 2(2)+2=6$$
Karena \(6\le7\), titik \((2,2)\) memenuhi pertidaksamaan.
Pilihan lainnya menghasilkan nilai lebih besar dari \(7\).
Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Soal 3
Garis batas dari pertidaksamaan \(x+y<5\) adalah ….
A. \(x-y=5\)
B. \(x+y=-5\)
C. \(x+y=5\)
D. \(x=5\)
E. \(y=5\)
Garis batas diperoleh dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan.
$$\displaystyle x+y=5$$
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 4
Pertidaksamaan \(3x-y>6\) mempunyai garis batas yang harus digambar ….
A. penuh karena koefisien \(x\) positif
B. penuh karena terdapat dua variabel
C. vertikal
D. putus-putus karena menggunakan tanda \(>\)
E. horizontal
Tanda \(>\) berarti titik pada garis batas \(3x-y=6\) tidak termasuk solusi.
Karena itu garis batas harus digambar putus-putus.
Jadi, jawaban yang benar adalah D.
Soal 5
Titik yang tidak berada pada DHP sistem \(x\ge0\), \(y\ge0\), dan \(x+y\le6\) adalah ….
A. \((0,0)\)
B. \((1,2)\)
C. \((3,3)\)
D. \((5,1)\)
E. \((4,4)\)
Untuk titik \((4,4)\), kedua koordinat memang tidak negatif, tetapi
$$\displaystyle 4+4=8$$
Nilai \(8\) tidak memenuhi \(x+y\le6\).
Jadi, jawaban yang benar adalah E.
Soal 6
Perhatikan grafik berikut.
Sistem pertidaksamaan yang sesuai dengan DHP adalah ….
A. \(x\le0,\ y\le0,\ x+y\ge6\)
B. \(x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\le6\)
C. \(x\ge0,\ y\le0,\ x+y\le6\)
D. \(x\le0,\ y\ge0,\ x+y\le6\)
E. \(x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\ge6\)
DHP berada di kuadran I, sehingga \(x\ge0\) dan \(y\ge0\).
Daerah terletak di bawah garis \(x+y=6\), sehingga pertidaksamaan ketiganya adalah \(x+y\le6\).
Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Soal 7
Titik potong garis \(2x+3y=12\) dengan sumbu-\(x\) dan sumbu-\(y\) berturut-turut adalah ….
A. \((6,0)\) dan \((0,4)\)
B. \((4,0)\) dan \((0,6)\)
C. \((12,0)\) dan \((0,12)\)
D. \((3,0)\) dan \((0,2)\)
E. \((2,0)\) dan \((0,3)\)
Untuk sumbu-\(x\), ambil \(y=0\).
$$\displaystyle 2x=12$$
$$\displaystyle x=6$$
Titiknya \((6,0)\).
Untuk sumbu-\(y\), ambil \(x=0\).
$$\displaystyle 3y=12$$
$$\displaystyle y=4$$
Titiknya \((0,4)\).
Jadi, jawaban yang benar adalah A.
Soal 8
Kalimat “jumlah \(x\) dan \(y\) paling sedikit \(10\)” dapat ditulis sebagai ….
A. \(x+y<10\)
B. \(x+y\le10\)
C. \(x+y=10\)
D. \(x+y\ge10\)
E. \(x+y>10\)
Istilah paling sedikit berarti nilai boleh sama dengan batas atau lebih besar.
Jadi modelnya adalah \(x+y\ge10\).
Jawaban yang benar adalah D.
Soal 9
Titik yang berada tepat pada garis \(x+2y=8\) adalah ….
A. \((2,2)\)
B. \((3,1)\)
C. \((4,2)\)
D. \((5,2)\)
E. \((2,4)\)
Uji pilihan C.
$$\displaystyle 4+2(2)=8$$
$$\displaystyle 4+4=8$$
Jadi \((4,2)\) berada pada garis tersebut.
Jawaban yang benar adalah C.
Soal 10
Titik pojok DHP sistem \(x\ge0\), \(y\ge0\), dan \(x+y\le4\) adalah ….
A. \((0,0)\), \((4,0)\), dan \((0,4)\)
B. \((0,0)\), \((2,2)\), dan \((4,4)\)
C. \((4,0)\), \((0,4)\), dan \((4,4)\)
D. \((0,0)\), \((4,0)\), dan \((4,4)\)
E. \((0,0)\), \((0,4)\), dan \((4,4)\)
Garis \(x+y=4\) memotong sumbu-\(x\) di \((4,0)\) dan sumbu-\(y\) di \((0,4)\).
Karena DHP berada di kuadran I, titik asal \((0,0)\) juga menjadi titik pojok.
Jadi, jawaban yang benar adalah A.
Level Sedang
Soal 11
DHP sistem \(x\ge1\), \(y\ge0\), dan \(x+y\le5\) mempunyai titik pojok ….
A. \((0,0)\), \((5,0)\), \((0,5)\)
B. \((1,0)\), \((4,0)\), \((1,4)\)
C. \((1,0)\), \((5,0)\), \((1,4)\)
D. \((1,1)\), \((5,0)\), \((0,5)\)
E. \((0,1)\), \((5,0)\), \((1,4)\)
Batas DHP adalah \(x=1\), \(y=0\), dan \(x+y=5\).
Perpotongan \(x=1\) dan \(y=0\) adalah \((1,0)\).
Perpotongan \(y=0\) dan \(x+y=5\) adalah \((5,0)\).
Perpotongan \(x=1\) dan \(x+y=5\):
$$\displaystyle 1+y=5$$
$$\displaystyle y=4$$
Jadi titik ketiganya \((1,4)\).
Jawaban yang benar adalah C.
Soal 12
Perhatikan grafik berikut.
Koordinat perpotongan dua garis miring adalah ….
A. \((2,2)\)
B. \(\left(\frac83,2\right)\)
C. \(\left(\frac83,\frac83\right)\)
D. \((3,3)\)
E. \((4,4)\)
Dua garisnya adalah
$$\displaystyle 2x+y=8$$
dan
$$\displaystyle x+2y=8$$
Kurangkan kedua persamaan.
$$\displaystyle x-y=0$$
$$\displaystyle x=y$$
Substitusi \(y=x\).
$$\displaystyle 3x=8$$
$$\displaystyle x=\frac83$$
Maka \(y=\frac83\).
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 13
Pertidaksamaan \(y>-x+3\) mempunyai daerah penyelesaian ….
A. di bawah garis penuh \(y=-x+3\)
B. di bawah garis putus-putus \(y=-x+3\)
C. di atas garis penuh \(y=-x+3\)
D. di atas garis putus-putus \(y=-x+3\)
E. hanya pada garis \(y=-x+3\)
Tanda \(>\) menunjukkan daerah di atas garis dan garis batas tidak termasuk solusi.
Jadi garisnya putus-putus dan daerahnya berada di atas.
Jawaban yang benar adalah D.
Soal 14
Titik yang memenuhi pertidaksamaan \(3x+2y\ge12\) adalah ….
A. \((1,2)\)
B. \((2,2)\)
C. \((1,4)\)
D. \((3,1)\)
E. \((2,3)\)
Uji titik \((2,3)\).
$$\displaystyle 3(2)+2(3)=12$$
Karena \(12\ge12\), titik tersebut memenuhi.
Pilihan lainnya menghasilkan nilai kurang dari \(12\).
Jadi, jawaban yang benar adalah E.
Soal 15
Jika titik \((2,3)\) berada pada garis \(x+ky=11\), nilai \(k\) adalah ….
A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(4\)
E. \(5\)
Substitusikan koordinat titik.
$$\displaystyle 2+3k=11$$
$$\displaystyle 3k=9$$
$$\displaystyle k=3$$
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 16
Banyak titik berkoordinat bulat tak negatif yang memenuhi \(x+y\le3\) adalah ….
A. \(6\)
B. \(7\)
C. \(8\)
D. \(9\)
E. \(10\)
Hitung berdasarkan nilai \(x\).
Jika \(x=0\), terdapat 4 nilai \(y\): \(0,1,2,3\).
Jika \(x=1\), terdapat 3 nilai \(y\).
Jika \(x=2\), terdapat 2 nilai \(y\).
Jika \(x=3\), terdapat 1 nilai \(y\).
$$\displaystyle 4+3+2+1=10$$
Jadi, jawaban yang benar adalah E.
Soal 17
Luas DHP sistem \(x\ge0\), \(y\ge0\), dan \(x+y\le6\) adalah ….
A. \(12\)
B. \(18\)
C. \(24\)
D. \(30\)
E. \(36\)
DHP berbentuk segitiga siku-siku dengan alas \(6\) dan tinggi \(6\).
$$\displaystyle L=\frac12(6)(6)$$
$$\displaystyle L=18$$
Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Soal 18
Sebuah kegiatan menggunakan dua jenis paket, A sebanyak \(x\) dan B sebanyak \(y\). Jumlah paket paling sedikit \(12\), paket A paling banyak \(7\), dan paket B paling sedikit \(3\). Model yang benar adalah ….
A. \(x+y\le12,\ x\le7,\ y\ge3\)
B. \(x+y\ge12,\ x\ge7,\ y\ge3\)
C. \(x+y\ge12,\ x\le7,\ y\ge3\)
D. \(x+y\le12,\ x\ge7,\ y\le3\)
E. \(x+y>12,\ x<7,\ y>3\)
“Paling sedikit 12” berarti \(x+y\ge12\).
“Paling banyak 7” berarti \(x\le7\).
“Paling sedikit 3” berarti \(y\ge3\).
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 19
Sistem yang tidak mempunyai penyelesaian adalah ….
A. \(x+y\le4\) dan \(x+y\ge6\)
B. \(x\ge0\) dan \(y\ge0\)
C. \(x\le4\) dan \(x\ge1\)
D. \(y\le5\) dan \(y\ge2\)
E. \(x+y\le6\) dan \(x\ge0\)
Pada pilihan A, satu syarat meminta \(x+y\le4\), sementara syarat lain meminta \(x+y\ge6\).
Keduanya tidak dapat dipenuhi secara bersamaan.
Jadi, jawaban yang benar adalah A.
Soal 20
DHP sistem \(x\ge0\), \(y\ge0\), dan \(x+y\ge5\) bersifat ….
A. kosong
B. hanya satu titik
C. berupa ruas garis
D. terbatas
E. tak terbatas
Daerah berada di kuadran I dan di atas garis \(x+y=5\).
Daerah tersebut terus memanjang ke kanan dan ke atas tanpa batas.
Jadi DHP bersifat tak terbatas.
Jawaban yang benar adalah E.
Soal 21
Perhatikan grafik berikut.
Banyak titik pojok DHP adalah ….
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(5\)
E. \(6\)
Titik pojoknya adalah titik asal, dua titik potong dengan sumbu, dan titik potong dua garis miring.
Jadi terdapat empat titik pojok.
Jawaban yang benar adalah C.
Soal 22
DHP sistem \(x\ge2\), \(y\ge1\), dan \(x+y\le6\) mempunyai luas ….
A. \(3\)
B. \(4\)
C. \(\frac92\)
D. \(6\)
E. \(9\)
Titik pojoknya adalah \((2,1)\), \((5,1)\), dan \((2,4)\).
Segitiga tersebut mempunyai alas \(3\) dan tinggi \(3\).
$$\displaystyle L=\frac12(3)(3)$$
$$\displaystyle L=\frac92$$
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 23
Agar titik \((3,2)\) menjadi anggota DHP \(x\ge0\), \(y\ge0\), dan \(x+y\le k\), nilai minimum \(k\) adalah ….
A. \(3\)
B. \(4\)
C. \(5\)
D. \(6\)
E. \(7\)
Substitusikan titik \((3,2)\).
$$\displaystyle 3+2\le k$$
$$\displaystyle 5\le k$$
Nilai minimum \(k\) adalah \(5\).
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 24
Perbedaan utama antara DHP \(x+y\le4\) dan \(x+y<4\) adalah ….
A. arah arsirannya berlawanan
B. garis batas pertama termasuk DHP, sedangkan garis batas kedua tidak
C. garis batas keduanya berbeda
D. pertidaksamaan kedua tidak mempunyai DHP
E. pertidaksamaan pertama hanya mempunyai satu solusi
Kedua pertidaksamaan mempunyai garis batas yang sama, yaitu \(x+y=4\), dan sisi arsiran yang sama.
Perbedaannya hanya pada garis batas: tanda \( \le \) memasukkan garis, sedangkan tanda \(<\) tidak. Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Soal 25
Untuk pertidaksamaan \(2x+y\ge8\), titik \(O(0,0)\) berada ….
A. pada garis batas
B. di daerah penyelesaian
C. di luar daerah penyelesaian
D. tepat pada sumbu-\(x\) sehingga tidak dapat diuji
E. tepat pada sumbu-\(y\) sehingga tidak dapat diuji
Substitusikan \(O(0,0)\).
$$\displaystyle 2(0)+0\ge8$$
$$\displaystyle 0\ge8$$
Pernyataan ini salah.
Jadi titik asal berada di luar daerah penyelesaian.
Jawaban yang benar adalah C.
Level Sulit
Soal 26
Perhatikan grafik sistem \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(x+y\le8\), dan \(2x+y\ge8\).
Luas DHP adalah ….
A. \(8\)
B. \(12\)
C. \(16\)
D. \(20\)
E. \(32\)
Titik pojok DHP adalah \((4,0)\), \((8,0)\), dan \((0,8)\).
Gunakan alas pada sumbu-\(x\), yaitu dari \(x=4\) sampai \(x=8\), sehingga panjang alas \(4\).
Tinggi terhadap sumbu-\(x\) adalah \(8\).
$$\displaystyle L=\frac12(4)(8)$$
$$\displaystyle L=16$$
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 27
DHP sistem \(0\le x\le5\), \(0\le y\le4\), dan \(x+y\ge3\) mempunyai banyak titik pojok ….
A. \(3\)
B. \(4\)
C. \(5\)
D. \(6\)
E. \(7\)
Tanpa syarat \(x+y\ge3\), daerahnya adalah persegi panjang.
Garis \(x+y=3\) memotong sudut dekat titik asal pada \((3,0)\) dan \((0,3)\).
Titik pojok akhirnya adalah:
\((3,0)\), \((5,0)\), \((5,4)\), \((0,4)\), dan \((0,3)\).
Jumlahnya \(5\).
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 28
Nilai maksimum \(2x+y\) pada titik-titik pojok DHP \(x\ge0\), \(y\ge0\), dan \(x+y\le6\) adalah ….
A. \(6\)
B. \(8\)
C. \(10\)
D. \(12\)
E. \(14\)
Titik pojok DHP adalah \((0,0)\), \((6,0)\), dan \((0,6)\).
Hitung \(2x+y\).
Pada \((0,0)\): \(0\).
Pada \((6,0)\):
$$\displaystyle 2(6)+0=12$$
Pada \((0,6)\): \(6\).
Nilai terbesar adalah \(12\).
Jadi, jawaban yang benar adalah D.
Soal 29
Untuk DHP \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(2x+y\le8\), dan \(x+2y\le8\), nilai maksimum \(x+y\) pada titik pojok adalah ….
A. \(4\)
B. \(5\)
C. \(\frac{16}{3}\)
D. \(6\)
E. \(8\)
Titik pojok yang memberi kandidat terbesar adalah perpotongan dua garis miring.
Dari pembahasan sebelumnya, titik itu adalah
$$\displaystyle \left(\frac83,\frac83\right)$$
Maka
$$\displaystyle x+y=\frac83+\frac83$$
$$\displaystyle x+y=\frac{16}{3}$$
Nilai di titik \((4,0)\) dan \((0,4)\) hanya \(4\).
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 30
Diberikan sistem \(x\ge a\), \(y\ge a\), dan \(x+y\le10\). Nilai maksimum \(a\) agar DHP tidak kosong adalah ….
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(5\)
E. \(10\)
Jika \(x\ge a\) dan \(y\ge a\), nilai paling kecil yang mungkin untuk \(x+y\) adalah \(2a\).
Agar masih mungkin memenuhi \(x+y\le10\), harus berlaku
$$\displaystyle 2a\le10$$
$$\displaystyle a\le5$$
Nilai maksimum \(a\) adalah \(5\).
Jadi, jawaban yang benar adalah D.
Soal 31
Luas DHP sistem \(x\ge1\), \(y\ge2\), dan \(x+y\le8\) adalah ….
A. \(\frac{15}{2}\)
B. \(10\)
C. \(\frac{25}{2}\)
D. \(15\)
E. \(25\)
Titik pojoknya adalah \((1,2)\), \((6,2)\), dan \((1,7)\).
Panjang alas dan tinggi masing-masing \(5\).
$$\displaystyle L=\frac12(5)(5)$$
$$\displaystyle L=\frac{25}{2}$$
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 32
DHP \(x\ge0\), \(y\ge0\), dan \(x+y\le k\) mempunyai luas \(18\). Nilai \(k\) adalah ….
A. \(3\)
B. \(4\)
C. \(5\)
D. \(6\)
E. \(9\)
DHP berbentuk segitiga siku-siku dengan alas dan tinggi \(k\).
$$\displaystyle \frac12k^2=18$$
$$\displaystyle k^2=36$$
Karena \(k\) merupakan panjang, ambil nilai positif.
$$\displaystyle k=6$$
Jadi, jawaban yang benar adalah D.
Soal 33
Banyak pasangan bilangan bulat tak negatif \((x,y)\) yang memenuhi \(x+y=4\) adalah ….
A. \(3\)
B. \(4\)
C. \(5\)
D. \(6\)
E. \(7\)
Pasangan yang mungkin adalah:
\((0,4)\), \((1,3)\), \((2,2)\), \((3,1)\), dan \((4,0)\).
Ada \(5\) pasangan.
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 34
Banyak pasangan bilangan bulat positif yang memenuhi \(x>0\), \(y>0\), dan \(x+y<4\) adalah ….
A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(4\)
E. \(5\)
Karena \(x\) dan \(y\) positif, nilai terkecil keduanya adalah \(1\).
Pasangan yang memenuhi \(x+y<4\) adalah: \((1,1)\), \((1,2)\), dan \((2,1)\). Jumlahnya \(3\). Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 35
Perhatikan grafik berikut.
Koordinat perpotongan dua garis miring adalah ….
A. \(\left(\frac{18}{7},\frac{36}{7}\right)\)
B. \(\left(\frac{36}{7},\frac{18}{7}\right)\)
C. \((3,3)\)
D. \((4,2)\)
E. \((2,4)\)
Dua garisnya:
$$\displaystyle 3x+2y=18$$
$$\displaystyle x+3y=18$$
Dari persamaan kedua:
$$\displaystyle x=18-3y$$
Substitusikan.
$$\displaystyle 3(18-3y)+2y=18$$
$$\displaystyle 54-9y+2y=18$$
$$\displaystyle -7y=-36$$
$$\displaystyle y=\frac{36}{7}$$
Kemudian
$$\displaystyle x=18-3\left(\frac{36}{7}\right)$$
$$\displaystyle x=\frac{18}{7}$$
Jadi, jawaban yang benar adalah A.
Soal 36
Jumlah koordinat \(x+y\) dari titik potong dua garis \(3x+2y=18\) dan \(x+3y=18\) adalah ….
A. \(\frac{36}{7}\)
B. \(\frac{45}{7}\)
C. \(\frac{54}{7}\)
D. \(\frac{63}{7}\)
E. \(\frac{72}{7}\)
Dari soal sebelumnya diperoleh
$$\displaystyle x=\frac{18}{7}$$
dan
$$\displaystyle y=\frac{36}{7}$$
Maka
$$\displaystyle x+y=\frac{18}{7}+\frac{36}{7}$$
$$\displaystyle x+y=\frac{54}{7}$$
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 37
DHP sistem \(x\ge0\), \(y\ge0\), dan \(x+y\le m\) memuat titik \((4,1)\), tetapi tidak memuat titik \((3,3)\). Nilai \(m\) memenuhi ….
A. \(m<5\)
B. \(4\le m<5\)
C. \(5\le m<6\)
D. \(6\le m<7\)
E. \(m\ge6\)
Agar \((4,1)\) masuk DHP:
$$\displaystyle 4+1\le m$$
$$\displaystyle 5\le m$$
Agar \((3,3)\) tidak masuk:
$$\displaystyle 3+3\le m$$
harus salah, sehingga
$$\displaystyle m<6$$
Gabungkan.
$$\displaystyle 5\le m<6$$
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 38
Sistem \(x+y\le4\), \(x+y\ge4\), \(x\ge0\), dan \(y\ge0\) mempunyai DHP berupa ….
A. segitiga
B. persegi panjang
C. daerah tak terbatas
D. ruas garis dari \((4,0)\) ke \((0,4)\)
E. himpunan kosong
Dua syarat pertama jika digabung menghasilkan
$$\displaystyle x+y=4$$
Dengan syarat \(x\ge0\) dan \(y\ge0\), bagian garis yang memenuhi adalah ruas dari \((4,0)\) sampai \((0,4)\).
Jadi, jawaban yang benar adalah D.
Level HOTS dan TKA
Soal 39
Sistem I adalah \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(x+y\le6\). Sistem II adalah \(x\ge1\), \(y\ge1\), \(x+y\le6\). Selisih luas DHP Sistem I dan Sistem II adalah ….
A. \(6\)
B. \(8\)
C. \(9\)
D. \(10\)
E. \(12\)
Luas DHP Sistem I:
$$\displaystyle L_1=\frac12(6)(6)$$
$$\displaystyle L_1=18$$
Sistem II mempunyai titik pojok \((1,1)\), \((5,1)\), dan \((1,5)\).
Alas dan tingginya masing-masing \(4\).
$$\displaystyle L_2=\frac12(4)(4)$$
$$\displaystyle L_2=8$$
Selisih:
$$\displaystyle 18-8=10$$
Jadi, jawaban yang benar adalah D.
Soal 40
Sebuah produksi mempunyai batas \(2x+y\le12\), \(x+2y\le12\), \(x\ge0\), dan \(y\ge0\). Nilai maksimum \(x+y\) pada titik pojok DHP adalah ….
A. \(6\)
B. \(7\)
C. \(8\)
D. \(9\)
E. \(12\)
Perpotongan dua garis:
$$\displaystyle 2x+y=12$$
$$\displaystyle x+2y=12$$
Karena bentuknya simetris, diperoleh \(x=y\).
$$\displaystyle 3x=12$$
$$\displaystyle x=4$$
Maka \(y=4\).
Di titik tersebut:
$$\displaystyle x+y=8$$
Titik pojok pada sumbu menghasilkan jumlah \(6\), sehingga nilai maksimum adalah \(8\).
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 41
Sebuah kelompok harus memilih \(x\) peserta kegiatan A dan \(y\) peserta kegiatan B. Syaratnya \(x+y\le20\), \(x\ge6\), dan \(y\ge8\). Manakah pasangan yang mungkin?
A. \((5,10)\)
B. \((6,15)\)
C. \((7,9)\)
D. \((12,10)\)
E. \((6,7)\)
Uji pilihan C.
\(7\ge6\), benar.
\(9\ge8\), benar.
$$\displaystyle 7+9=16$$
Karena \(16\le20\), semua syarat dipenuhi.
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 42
Diberikan sistem \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(x+y\le6\), \(x\le6\), dan \(y\le6\). Pertidaksamaan yang sebenarnya tidak memperkecil DHP adalah ….
A. hanya \(x\ge0\)
B. hanya \(y\ge0\)
C. \(x\le6\) dan \(y\le6\)
D. \(x+y\le6\)
E. semua pertidaksamaan diperlukan
Dari \(x\ge0\), \(y\ge0\), dan \(x+y\le6\), otomatis berlaku \(x\le6\) dan \(y\le6\).
Karena itu dua syarat tersebut tidak mengubah DHP.
Dalam bahasa sistem pertidaksamaan, keduanya merupakan kendala yang redundan.
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 43
Garis \(x+y=k\) digeser sejajar dari titik asal sampai pertama kali menyentuh DHP \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(2x+y\le8\), dan \(x+2y\le8\) pada sisi terjauh. Nilai \(k\) adalah ….
A. \(4\)
B. \(5\)
C. \(\frac{16}{3}\)
D. \(6\)
E. \(8\)
Nilai \(k=x+y\).
Garis akan mencapai posisi terjauh ketika \(x+y\) maksimum pada DHP.
Titik penting adalah perpotongan dua garis miring:
$$\displaystyle x=y=\frac83$$
Maka
$$\displaystyle k=x+y$$
$$\displaystyle k=\frac83+\frac83$$
$$\displaystyle k=\frac{16}{3}$$
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 44
Seorang siswa menentukan daerah \(2x+y\ge8\). Ia menguji titik \(O(0,0)\), memperoleh \(0\ge8\) yang salah, lalu mengarsir sisi yang memuat \(O\). Kesalahan siswa tersebut adalah ….
A. tidak perlu membuat garis batas
B. seharusnya mengarsir sisi yang tidak memuat \(O\)
C. seharusnya selalu memakai titik \((1,1)\)
D. tanda \( \ge \) harus diganti \( \le \)
E. garis batas seharusnya putus-putus
Karena titik uji \(O(0,0)\) menghasilkan pernyataan salah, daerah yang memuat \(O\) justru bukan daerah penyelesaian.
Daerah yang benar adalah sisi sebaliknya.
Tanda \( \ge \) juga berarti garis batas tetap digambar penuh.
Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Soal 45
Perhatikan grafik sistem \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(2x+y\ge8\), \(x+2y\ge8\), dan \(x+y\le7\).
Titik yang berada di dalam atau pada batas DHP adalah ….
A. \((1,1)\)
B. \((2,2)\)
C. \((3,3)\)
D. \((7,2)\)
E. \((1,3)\)
Uji titik \((3,3)\).
$$\displaystyle 2(3)+3=9\ge8$$
$$\displaystyle 3+2(3)=9\ge8$$
$$\displaystyle 3+3=6\le7$$
Selain itu, \(x\) dan \(y\) tidak negatif.
Semua syarat dipenuhi.
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 46
Diberikan sistem \(x\ge a\), \(y\ge a\), dan \(x+y\le10\). Jika luas DHP tepat \(8\), nilai \(a\) adalah ….
A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(4\)
E. \(5\)
Geser titik awal dari \((0,0)\) ke \((a,a)\).
Pada garis \(x+y=10\), panjang kaki segitiga DHP adalah
$$\displaystyle 10-2a$$
Luasnya:
$$\displaystyle \frac12(10-2a)^2=8$$
$$\displaystyle (10-2a)^2=16$$
Karena panjang kaki tidak negatif,
$$\displaystyle 10-2a=4$$
$$\displaystyle 2a=6$$
$$\displaystyle a=3$$
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 47
Banyak titik berkoordinat bulat tak negatif yang memenuhi \(2x+y\le6\) adalah ….
A. \(10\)
B. \(12\)
C. \(14\)
D. \(16\)
E. \(18\)
Karena \(x\ge0\) dan \(y\ge0\), nilai \(x\) yang mungkin adalah \(0,1,2,3\).
Jika \(x=0\), maka \(y\le6\), ada \(7\) kemungkinan.
Jika \(x=1\), maka \(y\le4\), ada \(5\) kemungkinan.
Jika \(x=2\), maka \(y\le2\), ada \(3\) kemungkinan.
Jika \(x=3\), maka \(y\le0\), ada \(1\) kemungkinan.
$$\displaystyle 7+5+3+1=16$$
Jadi, jawaban yang benar adalah D.
Soal 48
Perhatikan grafik berikut.
Sistem pertidaksamaan yang sesuai dengan grafik adalah ….
A. \(x\ge0,\ y\ge0,\ 2x+y\ge8,\ x+2y\ge8,\ x+y\le4\)
B. \(x\ge0,\ y\ge0,\ 2x+y\le8,\ x+2y\le8,\ x+y\ge4\)
C. \(x\le0,\ y\le0,\ 2x+y\le8,\ x+2y\le8,\ x+y\ge4\)
D. \(x\ge0,\ y\ge0,\ 2x+y\le8,\ x+2y\ge8,\ x+y\le4\)
E. \(x\ge0,\ y\ge0,\ 2x+y\ge8,\ x+2y\le8,\ x+y\ge4\)
DHP berada di kuadran I, sehingga \(x\ge0\) dan \(y\ge0\).
Daerah berada di bawah dua garis \(2x+y=8\) dan \(x+2y=8\), sehingga menggunakan \( \le \).
Daerah berada di atas garis \(x+y=4\), sehingga menggunakan \(x+y\ge4\).
Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Soal 49
DHP sistem \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(2x+y\le8\), dan \(x+2y\le8\) diperbesar dengan mengganti kedua konstanta \(8\) menjadi \(16\). Faktor perubahan luas DHP adalah ….
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(8\)
E. \(16\)
Semua garis batas miring digeser sehingga titik-titik koordinat DHP menjadi dua kali lebih jauh dari titik asal.
Artinya seluruh panjang linear pada bangun diperbesar dengan faktor \(2\).
Luas berubah menurut kuadrat faktor panjang.
$$\displaystyle 2^2=4$$
Jadi luas DHP menjadi \(4\) kali semula.
Jawaban yang benar adalah C.
Soal 50
Untuk bilangan bulat tak negatif \(x\) dan \(y\), DHP \(x\ge0\), \(y\ge0\), dan \(x+y\le k\) memuat tepat \(66\) titik berkoordinat bulat. Nilai \(k\) adalah ….
A. \(8\)
B. \(9\)
C. \(10\)
D. \(11\)
E. \(12\)
Untuk suatu \(k\) bulat tak negatif, jumlah titik kisi pada daerah \(x+y\le k\) dapat dihitung per nilai \(x\).
Banyaknya membentuk pola:
$$\displaystyle (k+1)+k+(k-1)+\cdots+1$$
Jumlahnya adalah
$$\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$
Diketahui jumlah titik \(66\).
$$\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)}{2}=66$$
$$\displaystyle (k+1)(k+2)=132$$
Kita mencari dua bilangan berurutan dengan hasil kali \(132\).
$$\displaystyle 11\cdot12=132$$
Maka
$$\displaystyle k+1=11$$
$$\displaystyle k=10$$
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Pola Penting dari 50 Soal
Kalau kita melihat kembali seluruh soal, ternyata pola penyelesaiannya tidak sebanyak kelihatannya.
Pola 1: Cek Titik dengan Substitusi
Jika pertanyaannya menanyakan apakah sebuah titik masuk DHP, tidak perlu menggambar grafik lengkap.
Cukup substitusikan titik tersebut ke semua pertidaksamaan.
Jika semua benar, titik masuk DHP.
Jika satu saja salah, titik bukan penyelesaian.
Pola 2: Baca Garis Batas Sebelum Membaca Arsiran
Dalam soal visual, identifikasi dulu persamaan setiap garis.
Setelah itu baru tentukan tanda \( \le \), \( \ge \), \(<\), atau \(>\).
Cara ini lebih aman daripada mencoba “menebak arsiran” langsung dari gambar.
Pola 3: Sumbu Koordinat Juga Merupakan Batas
Syarat \(x\ge0\) menghasilkan batas \(x=0\), yaitu sumbu-\(y\).
Syarat \(y\ge0\) menghasilkan batas \(y=0\), yaitu sumbu-\(x\).
Karena itu sumbu koordinat sering menjadi sisi dari DHP.
Pola 4: Parameter Mengubah Letak Garis
Pada sistem \(x+y\le k\), perubahan \(k\) menggeser garis \(x+y=k\) secara sejajar.
Semakin besar \(k\), garis bergeser semakin jauh dari titik asal ke arah kuadran I.
DHP untuk tanda \( \le \) menjadi semakin besar.
Pola 5: Sistem Bisa Kehilangan Dimensi
DHP tidak selalu berupa daerah dua dimensi.
Jika kita mempunyai \(x+y\le4\) sekaligus \(x+y\ge4\), keduanya memaksa
$$\displaystyle x+y=4$$
Akibatnya DHP bisa berubah menjadi sebuah garis atau ruas garis.
Jika syaratnya semakin bertentangan, DHP bahkan bisa kosong.
Kesalahan Umum yang Perlu Dihindari
Salah Membaca “Paling Sedikit” dan “Paling Banyak”
“Paling sedikit” berarti boleh sama dengan batas dan boleh lebih besar, sehingga menggunakan \( \ge \).
“Paling banyak” berarti boleh sama dengan batas dan tidak boleh lebih besar, sehingga menggunakan \( \le \).
Mengarsir Sebelum Menguji Titik
Garis yang sama mempunyai dua sisi. Jangan mengandalkan feeling. Gunakan titik uji.
Mengabaikan Tanda Sama Dengan
Perbedaan antara \(<\) dan \( \le \) mungkin terlihat kecil, tetapi secara matematis menentukan apakah garis batas ikut menjadi penyelesaian.
Menganggap Semua Titik Potong adalah Titik Pojok DHP
Dua garis mungkin berpotongan, tetapi titik potongnya belum tentu memenuhi seluruh pertidaksamaan lain.
Setelah mendapatkan titik potong, cek kembali ke semua syarat.
Mengandalkan Grafik yang Tidak Berskala
Grafik membantu memahami struktur, tetapi hasil eksak tetap harus diperoleh secara aljabar jika koordinatnya berupa pecahan atau jika gambar hanya sketsa.
Strategi untuk Soal TKA
Pada soal TKA, tujuan utama bukan melakukan hitungan sebanyak mungkin. Yang dinilai justru kemampuan memilih informasi yang relevan dan menemukan jalan paling efisien.
Jika pilihan jawaban berupa beberapa titik, gunakan substitusi langsung.
Jika diminta sistem dari grafik, baca batas dan posisi DHP.
Jika diminta titik pojok, cari hanya perpotongan garis yang benar-benar membatasi DHP.
Jika terdapat parameter, ubah kondisi geometris menjadi pertidaksamaan aljabar.
Jika diminta luas, tentukan bentuk bangun dan panjang sisi yang diperlukan. Tidak perlu mencari semua informasi jika tidak dibutuhkan.
Hubungan Geometri dan Aljabar
Sistem pertidaksamaan adalah contoh bagus bagaimana geometri dan aljabar menjelaskan hal yang sama.
Secara aljabar, kita melihat simbol seperti
$$\displaystyle 2x+y\le8$$
Secara geometri, kita melihat garis \(2x+y=8\) dan seluruh daerah pada salah satu sisinya.
Secara aljabar, sistem berarti semua syarat harus benar.
Secara geometri, sistem berarti mencari irisan beberapa daerah.
Secara aljabar, tanda \(=\) pada \( \le \) atau \( \ge \) memasukkan titik batas.
Secara geometri, hal itu terlihat sebagai garis penuh.
Memahami kedua bahasa ini membuat soal jauh lebih mudah.
Cek Pemahaman
- Mengapa satu pertidaksamaan linear dua variabel menghasilkan daerah, bukan hanya satu garis?
- Apa makna garis putus-putus pada grafik pertidaksamaan?
- Mengapa titik uji harus dipilih di luar garis batas?
- Bagaimana menentukan apakah suatu titik potong benar-benar menjadi titik pojok DHP?
- Apa yang biasanya terjadi pada DHP \(x+y\le k\) ketika \(k\) diperbesar?
Refleksi
- Ketika menghadapi grafik yang rumit, apakah lebih efisien menentukan garis batas terlebih dahulu atau langsung melihat daerah arsirannya? Jelaskan alasannya.
- Bagaimana cara membedakan sistem yang DHP-nya kosong dengan sistem yang DHP-nya tak terbatas?
- Jika sebuah pertidaksamaan baru ditambahkan ke suatu sistem, apakah DHP selalu menjadi lebih kecil? Jelaskan kemungkinan yang terjadi.
- Mengapa sebuah kendala dapat disebut redundan walaupun secara aljabar tetap benar dan tercantum di dalam sistem?
Kesimpulan
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel pada dasarnya adalah cara untuk mencari semua pasangan \( (x,y) \) yang memenuhi beberapa syarat secara bersamaan.
Setiap pertidaksamaan mempunyai garis batas. Garis batas tersebut membagi bidang koordinat menjadi dua bagian. Dengan titik uji, kita dapat menentukan sisi yang memenuhi pertidaksamaan.
Jika beberapa pertidaksamaan digabung, DHP merupakan irisan seluruh daerah penyelesaian.
Hal penting yang perlu benar-benar dikuasai adalah:
- mengubah pertidaksamaan menjadi garis batas;
- membedakan garis penuh dan putus-putus;
- menggunakan titik uji;
- menemukan irisan daerah;
- menentukan titik pojok;
- membaca sistem dari grafik;
- mengenali DHP terbatas, tak terbatas, atau kosong;
- mengubah masalah kontekstual menjadi model pertidaksamaan;
- menganalisis pengaruh parameter terhadap bentuk DHP.
Semakin sering kamu menghubungkan simbol dengan gambar, semakin cepat pola soal terlihat. Pada akhirnya, grafik bukan lagi sesuatu yang harus dihafal. Grafik hanya menjadi cara visual untuk memperlihatkan syarat-syarat aljabar yang sudah kamu pahami.
FAQ
Apa yang dimaksud sistem pertidaksamaan linear dua variabel?
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah kumpulan dua atau lebih pertidaksamaan linear yang melibatkan dua variabel dan harus dipenuhi secara bersamaan.
Apa yang dimaksud DHP?
DHP adalah daerah himpunan penyelesaian, yaitu kumpulan semua titik \( (x,y) \) yang memenuhi seluruh pertidaksamaan dalam sistem.
Kapan garis batas digambar putus-putus?
Garis batas digambar putus-putus jika pertidaksamaan menggunakan tanda \(<\) atau \(>\), karena titik-titik pada garis batas tidak termasuk penyelesaian.
Bagaimana menentukan arah arsiran yang benar?
Gunakan titik uji yang tidak berada pada garis batas. Substitusikan koordinat titik tersebut ke pertidaksamaan. Jika hasilnya benar, arsir sisi yang memuat titik uji. Jika salah, arsir sisi sebaliknya.
Apakah DHP selalu berupa daerah tertutup?
Tidak. DHP dapat berupa daerah terbatas, daerah tak terbatas, ruas garis, satu titik, atau bahkan himpunan kosong, tergantung hubungan seluruh pertidaksamaan dalam sistem.
