Berikut disusun untuk membantu peserta didik mempersiapkan asesmen pada materi Komposisi Fungsi, Invers Fungsi Komposisi, Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV), dan Program Linear.
Seluruh fungsi, bilangan, konteks, dan situasi telah dibuat, keterampilan yang dilatih dibuat setipe dengan kompetensi yang perlu dikuasai.
Latihan berbentuk uraian sehingga kamu tidak hanya dituntut memperoleh jawaban akhir. Setiap penyelesaian perlu menunjukkan proses berpikir, alasan penggunaan suatu konsep, pemeriksaan syarat, dan interpretasi hasil.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ringkas dan mengerjakan latihan ini, peserta didik diharapkan mampu:
- menentukan komposisi dua fungsi;
- menentukan parameter fungsi dari informasi komposisi;
- menganalisis apakah dua komposisi fungsi dapat menghasilkan nilai yang sama;
- menentukan domain fungsi komposisi;
- menentukan fungsi yang belum diketahui dari suatu komposisi;
- menentukan invers fungsi dan invers fungsi komposisi;
- memahami bahwa urutan invers komposisi dibalik;
- menjelaskan pentingnya pembatasan domain pada fungsi invers;
- menentukan daerah penyelesaian SPtLDV;
- menentukan titik sudut daerah layak;
- menganalisis kendala yang redundan;
- menyusun model matematika dari masalah kontekstual;
- menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi objektif;
- memeriksa kelayakan sebuah keputusan; dan
- menganalisis perubahan solusi ketika kendala berubah.
Materi Inti 1: Komposisi Fungsi
Jika \(f\) dan \(g\) merupakan dua fungsi, komposisi \(f\) setelah \(g\) ditulis
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))$$
Artinya fungsi \(g\) dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya dimasukkan ke fungsi \(f\).
Sebaliknya,
$$\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))$$
Secara umum berlaku
$$\displaystyle f\circ g\neq g\circ f$$
karena komposisi fungsi tidak bersifat komutatif.
Akan tetapi, pernyataan tersebut tidak berarti bahwa
$$\displaystyle (f\circ g)(x)\neq(g\circ f)(x)$$
untuk setiap nilai \(x\). Dua fungsi komposisi yang berbeda masih mungkin menghasilkan nilai yang sama pada nilai \(x\) tertentu.
Domain Fungsi Komposisi
Untuk menentukan domain \(f\circ g\), tidak cukup hanya memperhatikan domain fungsi \(g\).
Harus berlaku dua syarat:
- \(x\) berada dalam domain \(g\);
- hasil \(g(x)\) harus berada dalam domain \(f\).
Secara konseptual,
$$\displaystyle D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}$$
Jika terdapat akar kuadrat, maka bagian di dalam akar harus memenuhi
$$\displaystyle \text{bentuk di dalam akar}\geq0$$
Jika terdapat pecahan, penyebut harus memenuhi
$$\displaystyle \text{penyebut}\neq0$$
Materi Inti 2: Invers Fungsi Komposisi
Fungsi invers membalik proses yang dilakukan fungsi semula.
Jika \(f\) mempunyai invers, maka
$$\displaystyle f^{-1}(f(x))=x$$
dan
$$\displaystyle f(f^{-1}(x))=x$$
pada domain yang sesuai.
Jika
$$\displaystyle h=g\circ f$$
maka urutan pada inversnya harus dibalik.
$$\displaystyle h^{-1}=(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$$
Jadi, untuk membatalkan proses \(g\circ f\), kita harus membatalkan \(g\) terlebih dahulu, baru kemudian membatalkan \(f\).
Mengapa Domain Penting pada Fungsi Invers?
Sebuah fungsi harus bersifat satu-satu agar mempunyai fungsi invers.
Fungsi kuadrat seperti
$$\displaystyle f(x)=x^2$$
tidak satu-satu pada seluruh bilangan real karena
$$\displaystyle f(2)=f(-2)=4$$
Oleh sebab itu, domain sering perlu dibatasi, misalnya \(x\geq0\), agar fungsi menjadi satu-satu dan inversnya dapat didefinisikan sebagai fungsi.
Materi Inti 3: Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel merupakan kumpulan dua atau lebih pertidaksamaan linear yang harus dipenuhi secara bersamaan.
Contohnya:
$$\displaystyle
\begin{aligned}
2x+y&\leq10,\\
x+2y&\leq12,\\
x&\geq0,\\
y&\geq0.
\end{aligned}
$$
Setiap pertidaksamaan menentukan sebuah setengah bidang. Irisan dari seluruh setengah bidang tersebut disebut daerah himpunan penyelesaian atau daerah layak.
Langkah Menentukan Daerah Penyelesaian
- Ubah setiap pertidaksamaan menjadi persamaan untuk memperoleh garis batas.
- Gambarkan garis batas.
- Gunakan titik uji jika diperlukan untuk menentukan sisi yang memenuhi.
- Ambil irisan seluruh daerah.
- Tentukan titik-titik sudut daerah penyelesaian.
Kendala Redundan
Kendala redundan adalah kendala yang tidak mengubah daerah penyelesaian karena sudah tersirat oleh kendala lain.
Menghapus kendala redundan tidak akan mengubah daerah layak.
Materi Inti 4: Program Linear
Program linear digunakan untuk menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi objektif dengan sejumlah kendala linear.
Langkah umumnya adalah:
- tentukan variabel keputusan;
- susun sistem pertidaksamaan sebagai kendala;
- tentukan fungsi objektif;
- tentukan daerah layak;
- tentukan titik-titik sudut;
- substitusikan setiap titik sudut ke fungsi objektif;
- pilih nilai maksimum atau minimum sesuai persoalan.
Fungsi objektif biasanya berbentuk
$$\displaystyle Z=ax+by$$
atau
$$\displaystyle P=ax+by$$
untuk keuntungan, biaya, jumlah produksi, atau besaran lain yang hendak dioptimalkan.
Latihan Uraian Komposisi Fungsi
Soal 1
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=ax+b$$
dan
$$\displaystyle g(x)=x^2+2$$
Diketahui bahwa
$$\displaystyle (f\circ g)(1)=11$$
dan
$$\displaystyle (f\circ g)(3)=35$$
a. Tentukan nilai \(a\) dan \(b\).
b. Tentukan \((f\circ g)(2)\) dan \((g\circ f)(2)\).
c. Seorang siswa menyatakan bahwa kedua nilai pada bagian b pasti sama karena kedua komposisi menggunakan fungsi \(f\) dan \(g\) yang sama. Evaluasilah pernyataan tersebut.
Komposisi \(f\circ g\) berarti fungsi \(g\) dikerjakan terlebih dahulu.
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))$$
Karena
$$\displaystyle g(x)=x^2+2$$
maka
$$\displaystyle f(g(x))=a(x^2+2)+b$$
sehingga
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=ax^2+2a+b$$
Bagian a
Gunakan informasi
$$\displaystyle (f\circ g)(1)=11$$
Maka
$$\displaystyle a(1)^2+2a+b=11$$
$$\displaystyle 3a+b=11$$
Selanjutnya,
$$\displaystyle (f\circ g)(3)=35$$
sehingga
$$\displaystyle 9a+2a+b=35$$
$$\displaystyle 11a+b=35$$
Kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua.
$$\displaystyle (11a+b)-(3a+b)=35-11$$
$$\displaystyle 8a=24$$
$$\displaystyle a=3$$
Substitusikan ke
$$\displaystyle 3a+b=11$$
$$\displaystyle 3(3)+b=11$$
$$\displaystyle b=2$$
Jadi,
$$\displaystyle \boxed{a=3,\quad b=2}$$
Fungsi \(f\) adalah
$$\displaystyle f(x)=3x+2$$
Bagian b
Hitung terlebih dahulu
$$\displaystyle g(2)=2^2+2=6$$
Maka
$$\displaystyle (f\circ g)(2)=f(6)$$
$$\displaystyle =3(6)+2$$
$$\displaystyle =20$$
Sementara itu, untuk \(g\circ f\), hitung
$$\displaystyle f(2)=3(2)+2=8$$
kemudian
$$\displaystyle (g\circ f)(2)=g(8)$$
$$\displaystyle =8^2+2$$
$$\displaystyle =66$$
Jadi,
$$\displaystyle (f\circ g)(2)=20$$
sedangkan
$$\displaystyle (g\circ f)(2)=66$$
Bagian c
Pernyataan siswa tersebut tidak benar.
Komposisi fungsi bergantung pada urutan pengerjaan. Pada \(f\circ g\), fungsi \(g\) dikerjakan terlebih dahulu, sedangkan pada \(g\circ f\), fungsi \(f\) dikerjakan terlebih dahulu.
Karena itu, secara umum
$$\displaystyle f\circ g\neq g\circ f$$
Pada contoh ini bahkan diperoleh
$$\displaystyle 20\neq66$$
sehingga perbedaan urutan menghasilkan nilai yang berbeda.
Soal 2
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=x^2-4x$$
dan
$$\displaystyle g(x)=x+3$$
Seorang siswa mengatakan bahwa \((f\circ g)(x)\) dan \((g\circ f)(x)\) tidak mungkin bernilai sama untuk nilai \(x\) apa pun karena komposisi fungsi tidak bersifat komutatif.
a. Tentukan \((f\circ g)(x)\).
b. Tentukan \((g\circ f)(x)\).
c. Tentukan seluruh nilai \(x\) yang memenuhi
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)$$
d. Evaluasilah pernyataan siswa tersebut.
Bagian a
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(x+3)$$
Substitusikan \(x+3\) ke fungsi \(f\).
$$\displaystyle f(x+3)=(x+3)^2-4(x+3)$$
$$\displaystyle =x^2+6x+9-4x-12$$
$$\displaystyle =x^2+2x-3$$
Jadi,
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=x^2+2x-3$$
Bagian b
$$\displaystyle (g\circ f)(x)=g(x^2-4x)$$
Karena \(g(t)=t+3\), maka
$$\displaystyle g(x^2-4x)=x^2-4x+3$$
Jadi,
$$\displaystyle (g\circ f)(x)=x^2-4x+3$$
Bagian c
Samakan kedua hasil.
$$\displaystyle x^2+2x-3=x^2-4x+3$$
Kurangi \(x^2\) dari kedua ruas.
$$\displaystyle 2x-3=-4x+3$$
$$\displaystyle 6x=6$$
$$\displaystyle x=1$$
Jadi kedua komposisi mempunyai nilai yang sama ketika
$$\displaystyle \boxed{x=1}$$
Untuk memeriksa,
$$\displaystyle (f\circ g)(1)=1+2-3=0$$
dan
$$\displaystyle (g\circ f)(1)=1-4+3=0$$
Bagian d
Pernyataan siswa keliru.
Komposisi tidak komutatif berarti fungsi \(f\circ g\) dan \(g\circ f\) tidak harus identik.
Namun dua fungsi yang berbeda masih dapat mempunyai nilai yang sama pada titik tertentu.
Pada soal ini, keduanya tidak merupakan fungsi yang sama, tetapi bertemu ketika
$$\displaystyle x=1$$
Soal 3
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=\sqrt{7-x}$$
dan
$$\displaystyle g(x)=\frac{x+2}{x-1}$$
a. Tentukan bentuk \((f\circ g)(x)\).
b. Tentukan domain \((f\circ g)(x)\).
c. Tentukan seluruh nilai \(x\) yang memenuhi
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=2$$
d. Periksa apakah nilai yang diperoleh pada bagian c memenuhi domain.
Bagian a
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=f\left(\frac{x+2}{x-1}\right)$$
Karena
$$\displaystyle f(t)=\sqrt{7-t}$$
maka
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=\sqrt{7-\frac{x+2}{x-1}}$$
Bagian b
Ada dua hal yang harus diperhatikan.
Pertama, penyebut fungsi \(g\) tidak boleh nol.
$$\displaystyle x-1\neq0$$
$$\displaystyle x\neq1$$
Kedua, bentuk di dalam akar harus tidak negatif.
$$\displaystyle 7-\frac{x+2}{x-1}\geq0$$
Samakan penyebut.
$$\displaystyle \frac{7(x-1)-(x+2)}{x-1}\geq0$$
$$\displaystyle \frac{7x-7-x-2}{x-1}\geq0$$
$$\displaystyle \frac{6x-9}{x-1}\geq0$$
$$\displaystyle \frac{3(2x-3)}{x-1}\geq0$$
Titik kritisnya adalah
$$\displaystyle x=1$$
dan
$$\displaystyle x=\frac32$$
Lakukan analisis tanda.
- Untuk \(x\lt1\), pembilang dan penyebut sama-sama negatif sehingga hasil positif.
- Untuk \(1\lt x\lt\frac32\), pembilang negatif dan penyebut positif sehingga hasil negatif.
- Untuk \(x\geq\frac32\), hasil tidak negatif.
Maka domainnya adalah
$$\displaystyle \boxed{(-\infty,1)\cup\left[\frac32,\infty\right)}$$
Bagian c
$$\displaystyle \sqrt{7-\frac{x+2}{x-1}}=2$$
Kuadratkan kedua ruas.
$$\displaystyle 7-\frac{x+2}{x-1}=4$$
$$\displaystyle \frac{x+2}{x-1}=3$$
$$\displaystyle x+2=3x-3$$
$$\displaystyle 5=2x$$
$$\displaystyle x=\frac52$$
Bagian d
Nilai
$$\displaystyle \frac52$$
berada pada interval
$$\displaystyle \left[\frac32,\infty\right)$$
sehingga memenuhi domain.
Jadi penyelesaiannya sah, yaitu
$$\displaystyle \boxed{x=\frac52}$$
Soal 4
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=2x-3$$
dan
$$\displaystyle (g\circ f)(x)=4x^2-12x+11$$
a. Tentukan fungsi \(g(x)\).
b. Tentukan \((f\circ g)(x)\).
c. Jelaskan mengapa mengetahui \(g\circ f\) tidak berarti bahwa \(f\circ g\) memiliki bentuk yang sama.
Bagian a
Misalkan
$$\displaystyle u=f(x)=2x-3$$
Maka
$$\displaystyle x=\frac{u+3}{2}$$
Diketahui
$$\displaystyle g(f(x))=4x^2-12x+11$$
Substitusikan
$$\displaystyle x=\frac{u+3}{2}$$
ke ruas kanan.
$$\displaystyle g(u)=4\left(\frac{u+3}{2}\right)^2-12\left(\frac{u+3}{2}\right)+11$$
$$\displaystyle =(u+3)^2-6(u+3)+11$$
$$\displaystyle =u^2+6u+9-6u-18+11$$
$$\displaystyle =u^2+2$$
Karena \(u\) hanya variabel pengganti, maka
$$\displaystyle \boxed{g(x)=x^2+2}$$
Bagian b
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(x^2+2)$$
$$\displaystyle =2(x^2+2)-3$$
$$\displaystyle =2x^2+1$$
Jadi,
$$\displaystyle \boxed{(f\circ g)(x)=2x^2+1}$$
Bagian c
Pada \(g\circ f\), fungsi \(f\) dikerjakan terlebih dahulu, sedangkan pada \(f\circ g\), fungsi \(g\) yang dikerjakan terlebih dahulu.
Karena proses substitusinya berbeda, hasil komposisinya juga tidak harus sama.
Soal 5
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=px+q$$
dan
$$\displaystyle g(x)=3x-1$$
Jika untuk setiap \(x\) berlaku
$$\displaystyle (g\circ f)(x)=12x+8$$
a. Tentukan nilai \(p\) dan \(q\).
b. Tentukan \((f\circ g)(x)\).
c. Tentukan nilai \(x\) jika
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=23$$
Karena
$$\displaystyle (g\circ f)(x)=g(px+q)$$
maka
$$\displaystyle g(px+q)=3(px+q)-1$$
$$\displaystyle =3px+3q-1$$
Diketahui hasilnya
$$\displaystyle 12x+8$$
Bandingkan koefisien \(x\).
$$\displaystyle 3p=12$$
$$\displaystyle p=4$$
Bandingkan konstanta.
$$\displaystyle 3q-1=8$$
$$\displaystyle 3q=9$$
$$\displaystyle q=3$$
Jadi,
$$\displaystyle f(x)=4x+3$$
Bagian b
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(3x-1)$$
$$\displaystyle =4(3x-1)+3$$
$$\displaystyle =12x-4+3$$
$$\displaystyle =12x-1$$
Bagian c
$$\displaystyle 12x-1=23$$
$$\displaystyle 12x=24$$
$$\displaystyle \boxed{x=2}$$
Latihan Uraian Invers Fungsi Komposisi
Soal 6
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=3x-2$$
dan
$$\displaystyle g(x)=\frac{x}{2}+4$$
serta
$$\displaystyle h=g\circ f$$
a. Tentukan \(h(x)\).
b. Tentukan \(f^{-1}(x)\), \(g^{-1}(x)\), dan \(h^{-1}(x)\).
c. Buktikan bahwa
$$\displaystyle h^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$$
d. Jika hasil akhir proses \(h\) adalah 15, tentukan nilai awalnya.
e. Tunjukkan hasil yang diperoleh apabila seseorang keliru menggunakan \(g^{-1}\circ f^{-1}\).
Bagian a
$$\displaystyle h(x)=g(f(x))$$
$$\displaystyle =\frac{3x-2}{2}+4$$
$$\displaystyle =\frac{3x-2+8}{2}$$
$$\displaystyle =\frac{3x+6}{2}$$
Bagian b
Untuk invers \(f\):
$$\displaystyle y=3x-2$$
$$\displaystyle y+2=3x$$
$$\displaystyle x=\frac{y+2}{3}$$
Jadi,
$$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3}$$
Untuk invers \(g\):
$$\displaystyle y=\frac{x}{2}+4$$
$$\displaystyle y-4=\frac{x}{2}$$
$$\displaystyle x=2y-8$$
Jadi,
$$\displaystyle g^{-1}(x)=2x-8$$
Untuk \(h\):
$$\displaystyle y=\frac{3x+6}{2}$$
$$\displaystyle 2y=3x+6$$
$$\displaystyle x=\frac{2y-6}{3}$$
Maka
$$\displaystyle h^{-1}(x)=\frac{2x-6}{3}$$
Bagian c
$$\displaystyle (f^{-1}\circ g^{-1})(x)=f^{-1}(2x-8)$$
$$\displaystyle =\frac{(2x-8)+2}{3}$$
$$\displaystyle =\frac{2x-6}{3}$$
Hasil ini sama dengan \(h^{-1}(x)\).
Jadi terbukti
$$\displaystyle h^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$$
Bagian d
$$\displaystyle h^{-1}(15)=\frac{2(15)-6}{3}$$
$$\displaystyle =\frac{24}{3}$$
$$\displaystyle =8$$
Nilai awalnya adalah
$$\displaystyle \boxed{8}$$
Bagian e
Jika digunakan urutan yang salah,
$$\displaystyle (g^{-1}\circ f^{-1})(15)$$
Hitung
$$\displaystyle f^{-1}(15)=\frac{17}{3}$$
kemudian
$$\displaystyle g^{-1}\left(\frac{17}{3}\right)=2\left(\frac{17}{3}\right)-8$$
$$\displaystyle =\frac{34}{3}-\frac{24}{3}$$
$$\displaystyle =\frac{10}{3}$$
Hasil tersebut bukan 8.
Hal ini menunjukkan bahwa urutan invers tidak boleh dipertukarkan.
Soal 7
Diberikan fungsi
$$\displaystyle f:[0,\infty)\to[2,\infty)$$
dengan
$$\displaystyle f(x)=x+2$$
Diketahui
$$\displaystyle h=g\circ f$$
dan
$$\displaystyle h^{-1}(x)=\sqrt{x+1}-1$$
untuk \(x\geq0\).
a. Tentukan \(h(x)\).
b. Tentukan \(g(x)\) beserta domain yang sesuai.
c. Tentukan \(g^{-1}(x)\).
d. Buktikan bahwa
$$\displaystyle h^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$$
e. Jelaskan mengapa pembatasan domain diperlukan.
Bagian a
Diketahui
$$\displaystyle h^{-1}(x)=\sqrt{x+1}-1$$
Misalkan
$$\displaystyle y=\sqrt{x+1}-1$$
$$\displaystyle y+1=\sqrt{x+1}$$
Kuadratkan kedua ruas.
$$\displaystyle (y+1)^2=x+1$$
$$\displaystyle x=(y+1)^2-1$$
$$\displaystyle x=y^2+2y$$
Maka
$$\displaystyle \boxed{h(x)=x^2+2x}$$
dengan domain \(x\geq0\).
Bagian b
Karena
$$\displaystyle h=g\circ f$$
dan
$$\displaystyle f(x)=x+2$$
misalkan
$$\displaystyle u=x+2$$
sehingga
$$\displaystyle x=u-2$$
Maka
$$\displaystyle g(u)=h(u-2)$$
$$\displaystyle =(u-2)^2+2(u-2)$$
$$\displaystyle =u^2-4u+4+2u-4$$
$$\displaystyle =u^2-2u$$
Jadi,
$$\displaystyle \boxed{g(x)=x^2-2x}$$
Karena keluaran \(f\) adalah \(x\geq2\), domain \(g\) yang digunakan pada komposisi adalah
$$\displaystyle x\geq2$$
Bagian c
$$\displaystyle y=x^2-2x$$
$$\displaystyle y=(x-1)^2-1$$
$$\displaystyle y+1=(x-1)^2$$
Karena domain \(g\) adalah \(x\geq2\), maka \(x-1\geq1\) dan kita mengambil akar positif.
$$\displaystyle x-1=\sqrt{y+1}$$
$$\displaystyle x=1+\sqrt{y+1}$$
Jadi,
$$\displaystyle g^{-1}(x)=1+\sqrt{x+1}$$
Bagian d
Invers \(f\) adalah
$$\displaystyle f^{-1}(x)=x-2$$
Maka
$$\displaystyle (f^{-1}\circ g^{-1})(x)$$
$$\displaystyle =f^{-1}(1+\sqrt{x+1})$$
$$\displaystyle =1+\sqrt{x+1}-2$$
$$\displaystyle =\sqrt{x+1}-1$$
yang tepat sama dengan \(h^{-1}(x)\).
Bagian e
Tanpa pembatasan domain, fungsi kuadrat \(g(x)=x^2-2x\) tidak satu-satu pada seluruh bilangan real.
Dua nilai \(x\) yang berbeda dapat menghasilkan keluaran yang sama. Dengan membatasi domain \(x\geq2\), fungsi menjadi satu-satu sehingga invers dapat didefinisikan sebagai sebuah fungsi.
Soal 8
Diketahui \(f\) dan \(g\) merupakan fungsi bijektif pada bilangan real serta
$$\displaystyle f^{-1}(x)=3x-2$$
dan
$$\displaystyle (g\circ f)^{-1}(x)=2x+5$$
a. Tentukan \(f(x)\).
b. Tentukan \(g(x)\).
c. Tentukan \((f\circ g)^{-1}(x)\).
d. Selidiki apakah terdapat nilai \(x\) yang memenuhi
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}(x)=(g\circ f)^{-1}(x)$$
Bagian a
$$\displaystyle f^{-1}(x)=3x-2$$
Misalkan
$$\displaystyle y=3x-2$$
$$\displaystyle x=\frac{y+2}{3}$$
Jadi,
$$\displaystyle \boxed{f(x)=\frac{x+2}{3}}$$
Bagian b
Gunakan
$$\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$$
Maka
$$\displaystyle f^{-1}(g^{-1}(x))=2x+5$$
Karena
$$\displaystyle f^{-1}(t)=3t-2$$
diperoleh
$$\displaystyle 3g^{-1}(x)-2=2x+5$$
$$\displaystyle 3g^{-1}(x)=2x+7$$
$$\displaystyle g^{-1}(x)=\frac{2x+7}{3}$$
Sekarang cari inversnya.
$$\displaystyle y=\frac{2x+7}{3}$$
$$\displaystyle 3y=2x+7$$
$$\displaystyle x=\frac{3y-7}{2}$$
Jadi,
$$\displaystyle \boxed{g(x)=\frac{3x-7}{2}}$$
Bagian c
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$$
$$\displaystyle =g^{-1}(3x-2)$$
$$\displaystyle =\frac{2(3x-2)+7}{3}$$
$$\displaystyle =\frac{6x+3}{3}$$
$$\displaystyle =2x+1$$
Jadi,
$$\displaystyle \boxed{(f\circ g)^{-1}(x)=2x+1}$$
Bagian d
Samakan kedua invers komposisi.
$$\displaystyle 2x+1=2x+5$$
Kurangi \(2x\) dari kedua ruas.
$$\displaystyle 1=5$$
Pernyataan tersebut mustahil.
Jadi tidak terdapat nilai \(x\) yang membuat kedua invers komposisi bernilai sama.
Soal 9
Diketahui
$$\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x-2}$$
dan
$$\displaystyle g(x)=2x-3$$
serta
$$\displaystyle h=g\circ f$$
a. Tentukan \(h(x)\) dan domainnya.
b. Tentukan \(h^{-1}(x)\).
c. Tentukan domain \(h^{-1}\).
d. Verifikasi hasil invers menggunakan hubungan
$$\displaystyle h^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$$
Bagian a
$$\displaystyle h(x)=g\left(\frac{x+1}{x-2}\right)$$
$$\displaystyle =2\left(\frac{x+1}{x-2}\right)-3$$
Samakan penyebut.
$$\displaystyle h(x)=\frac{2x+2-3x+6}{x-2}$$
$$\displaystyle =\frac{8-x}{x-2}$$
Karena penyebut tidak boleh nol,
$$\displaystyle x\neq2$$
Bagian b
Misalkan
$$\displaystyle y=\frac{8-x}{x-2}$$
Kalikan silang.
$$\displaystyle y(x-2)=8-x$$
$$\displaystyle xy-2y=8-x$$
Kumpulkan suku yang mengandung \(x\).
$$\displaystyle xy+x=8+2y$$
$$\displaystyle x(y+1)=8+2y$$
$$\displaystyle x=\frac{2y+8}{y+1}$$
Jadi,
$$\displaystyle \boxed{h^{-1}(x)=\frac{2x+8}{x+1}}$$
Bagian c
Penyebut invers tidak boleh nol.
$$\displaystyle x+1\neq0$$
$$\displaystyle x\neq-1$$
Jadi domain \(h^{-1}\) adalah
$$\displaystyle \mathbb{R}\setminus\{-1\}$$
Bagian d
Invers fungsi \(g\) adalah
$$\displaystyle g^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}$$
Untuk fungsi \(f\),
$$\displaystyle y=\frac{x+1}{x-2}$$
memberikan
$$\displaystyle f^{-1}(y)=\frac{2y+1}{y-1}$$
Maka
$$\displaystyle f^{-1}(g^{-1}(x))$$
$$\displaystyle =\frac{2\left(\frac{x+3}{2}\right)+1}{\left(\frac{x+3}{2}\right)-1}$$
$$\displaystyle =\frac{x+4}{\frac{x+1}{2}}$$
$$\displaystyle =\frac{2x+8}{x+1}$$
Hasilnya sama dengan invers yang diperoleh sebelumnya.
Soal 10
Diberikan fungsi
$$\displaystyle h(x)=(2x-1)^2+4$$
dengan domain
$$\displaystyle x\geq\frac12$$
a. Tentukan \(h^{-1}(x)\) beserta domainnya.
b. Jika
$$\displaystyle f(x)=2x-1$$
dan
$$\displaystyle g(x)=x^2+4$$
dengan domain \(g\) dibatasi \(x\geq0\), tunjukkan bahwa
$$\displaystyle h=g\circ f$$
c. Buktikan bahwa
$$\displaystyle h^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$$
d. Jelaskan mengapa syarat \(x\geq\frac12\) tidak boleh diabaikan.
Bagian a
$$\displaystyle y=(2x-1)^2+4$$
$$\displaystyle y-4=(2x-1)^2$$
Karena \(x\geq\frac12\), maka
$$\displaystyle 2x-1\geq0$$
sehingga kita mengambil akar positif.
$$\displaystyle 2x-1=\sqrt{y-4}$$
$$\displaystyle 2x=1+\sqrt{y-4}$$
$$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{y-4}}{2}$$
Jadi,
$$\displaystyle \boxed{h^{-1}(x)=\frac{1+\sqrt{x-4}}{2}}$$
Domain invers adalah
$$\displaystyle x\geq4$$
Bagian b
$$\displaystyle (g\circ f)(x)=g(2x-1)$$
$$\displaystyle =(2x-1)^2+4$$
yang sama dengan \(h(x)\).
Bagian c
$$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x+1}{2}$$
Karena domain \(g\) dibatasi \(x\geq0\), inversnya adalah
$$\displaystyle g^{-1}(x)=\sqrt{x-4}$$
Maka
$$\displaystyle (f^{-1}\circ g^{-1})(x)$$
$$\displaystyle =f^{-1}(\sqrt{x-4})$$
$$\displaystyle =\frac{\sqrt{x-4}+1}{2}$$
yang sama dengan \(h^{-1}(x)\).
Bagian d
Tanpa pembatasan domain, fungsi
$$\displaystyle (2x-1)^2+4$$
bersifat kuadrat dan tidak satu-satu pada seluruh bilangan real.
Akibatnya satu nilai keluaran dapat mempunyai dua nilai masukan sehingga inversnya tidak menjadi fungsi.
Latihan Uraian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Soal 11
Diberikan sistem pertidaksamaan
$$\displaystyle
\begin{aligned}
x+y&\leq8,\\
x+3y&\geq9,\\
x&\geq1,\\
y&\geq1.
\end{aligned}
$$
Seorang siswa menyatakan bahwa daerah penyelesaiannya berbentuk segitiga.
a. Tentukan semua titik sudut daerah penyelesaian.
b. Tentukan apakah pernyataan siswa benar.
c. Jelaskan bentuk daerah penyelesaiannya dan garis pembatas setiap sisinya.
Kita menentukan perpotongan garis-garis batas yang relevan.
Garis \(x=1\) dengan \(x+3y=9\)
$$\displaystyle 1+3y=9$$
$$\displaystyle 3y=8$$
$$\displaystyle y=\frac83$$
Diperoleh
$$\displaystyle A\left(1,\frac83\right)$$
Garis \(x=1\) dengan \(x+y=8\)
$$\displaystyle 1+y=8$$
$$\displaystyle y=7$$
Diperoleh
$$\displaystyle B(1,7)$$
Garis \(y=1\) dengan \(x+y=8\)
$$\displaystyle x+1=8$$
$$\displaystyle x=7$$
Diperoleh
$$\displaystyle C(7,1)$$
Garis \(y=1\) dengan \(x+3y=9\)
$$\displaystyle x+3=9$$
$$\displaystyle x=6$$
Diperoleh
$$\displaystyle D(6,1)$$
Sekarang periksa perpotongan dua garis miring.
$$\displaystyle
\begin{aligned}
x+y&=8,\\
x+3y&=9.
\end{aligned}
$$
Kurangkan persamaan pertama dari kedua.
$$\displaystyle 2y=1$$
$$\displaystyle y=\frac12$$
Nilai tersebut tidak memenuhi syarat \(y\geq1\), sehingga titik itu bukan titik sudut daerah layak.
Jadi seluruh titik sudut adalah
$$\displaystyle \boxed{\left(1,\frac83\right),\;(1,7),\;(7,1),\;(6,1)}$$
Daerah mempunyai empat titik sudut, sehingga berbentuk segi empat, bukan segitiga.
Pernyataan siswa therefore tidak benar.
Keempat sisi daerah dibatasi oleh
$$\displaystyle x=1,\quad x+y=8,\quad y=1,\quad x+3y=9$$
Soal 12
Sebuah daerah penyelesaian berbentuk segi empat dengan titik-titik sudut
$$\displaystyle A(1,1),\quad B(5,1),\quad C(4,4),\quad D(1,5)$$
a. Tentukan persamaan garis yang melalui setiap pasangan titik sudut yang berurutan.
b. Susun sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang daerah penyelesaiannya tepat berupa segi empat \(ABCD\).
c. Jelaskan bagaimana menentukan arah tanda pertidaksamaan.
Sisi AB
Titik \(A(1,1)\) dan \(B(5,1)\) mempunyai ordinat sama.
$$\displaystyle y=1$$
Daerah berada di atas garis ini, sehingga
$$\displaystyle y\geq1$$
Sisi AD
Titik \(A(1,1)\) dan \(D(1,5)\) mempunyai absis sama.
$$\displaystyle x=1$$
Daerah berada di sebelah kanan garis ini.
$$\displaystyle x\geq1$$
Sisi BC
Melalui \(B(5,1)\) dan \(C(4,4)\).
Gradien:
$$\displaystyle m=\frac{4-1}{4-5}=-3$$
Gunakan titik \(B\).
$$\displaystyle y-1=-3(x-5)$$
$$\displaystyle y=-3x+16$$
atau
$$\displaystyle 3x+y=16$$
Untuk menentukan sisi yang memenuhi, gunakan titik \(A(1,1)\).
$$\displaystyle 3(1)+1=4$$
Karena \(4\leq16\), maka
$$\displaystyle 3x+y\leq16$$
Sisi CD
Melalui \(C(4,4)\) dan \(D(1,5)\).
$$\displaystyle m=\frac{5-4}{1-4}=-\frac13$$
Persamaannya dapat ditulis
$$\displaystyle x+3y=16$$
Gunakan kembali titik \(A(1,1)\).
$$\displaystyle 1+3(1)=4\leq16$$
Maka
$$\displaystyle x+3y\leq16$$
Jadi sistem pertidaksamaannya adalah
$$\displaystyle
\boxed{
\begin{aligned}
x&\geq1,\\
y&\geq1,\\
3x+y&\leq16,\\
x+3y&\leq16.
\end{aligned}}
$$
Tanda pertidaksamaan ditentukan menggunakan titik uji yang diketahui berada di dalam daerah.
Soal 13
Perhatikan sistem berikut.
$$\displaystyle
\begin{aligned}
x+y&\leq10,\\
x&\leq6,\\
y&\leq5,\\
2x+y&\leq12,\\
x&\geq0,\\
y&\geq0.
\end{aligned}
$$
a. Tentukan kendala yang redundan.
b. Jelaskan mengapa kendala tersebut dapat dihilangkan tanpa mengubah daerah penyelesaian.
c. Tentukan titik-titik sudut daerah penyelesaian setelah kendala redundan dihilangkan.
Perhatikan kendala
$$\displaystyle 2x+y\leq12$$
dan
$$\displaystyle y\geq0$$
Dari keduanya,
$$\displaystyle 2x\leq12$$
$$\displaystyle x\leq6$$
Jadi kendala
$$\displaystyle x\leq6$$
sudah otomatis dipenuhi apabila \(2x+y\leq12\) dan \(y\geq0\) dipenuhi.
Dengan demikian, \(x\leq6\) merupakan kendala redundan.
Selanjutnya periksa
$$\displaystyle x+y\leq10$$
Di bawah kendala
$$\displaystyle 2x+y\leq12$$
dan
$$\displaystyle y\leq5$$
nilai terbesar \(x+y\) terjadi di sekitar perpotongan
$$\displaystyle y=5$$
dan
$$\displaystyle 2x+y=12$$
sehingga
$$\displaystyle 2x+5=12$$
$$\displaystyle x=\frac72$$
Maka
$$\displaystyle x+y=\frac72+5=\frac{17}{2}=8,5$$
yang sudah lebih kecil dari 10.
Artinya kendala
$$\displaystyle x+y\leq10$$
juga tidak pernah menjadi pembatas aktif.
Jadi dua kendala redundan adalah
$$\displaystyle \boxed{x\leq6\quad\text{dan}\quad x+y\leq10}$$
Sistem efektifnya menjadi
$$\displaystyle
\begin{aligned}
y&\leq5,\\
2x+y&\leq12,\\
x&\geq0,\\
y&\geq0.
\end{aligned}
$$
Titik sudutnya:
Pertemuan sumbu:
$$\displaystyle (0,0)$$
Pada \(y=0\):
$$\displaystyle 2x=12$$
$$\displaystyle x=6$$
sehingga
$$\displaystyle (6,0)$$
Pertemuan \(y=5\) dengan \(2x+y=12\):
$$\displaystyle 2x+5=12$$
$$\displaystyle x=\frac72$$
sehingga
$$\displaystyle \left(\frac72,5\right)$$
dan pada sumbu \(y\):
$$\displaystyle (0,5)$$
Jadi titik sudutnya adalah
$$\displaystyle \boxed{(0,0),\;(6,0),\;\left(\frac72,5\right),\;(0,5)}$$
Soal 14
Sebuah kelompok desain membuat paket kartu edukasi dan paket poster.
Misalkan:
- \(x\) = banyak paket kartu edukasi;
- \(y\) = banyak paket poster.
Satu paket kartu membutuhkan 2 unit bahan dan 1 jam pengerjaan. Satu paket poster membutuhkan 1 unit bahan dan 3 jam pengerjaan.
Tersedia paling banyak 30 unit bahan dan 36 jam pengerjaan. Kelompok harus membuat sedikitnya 5 paket kartu dan sedikitnya 4 paket poster.
a. Susun sistem pertidaksamaannya.
b. Periksa apakah rencana membuat 10 paket kartu dan 8 paket poster layak.
c. Tentukan seluruh titik sudut daerah layak.
Bagian a
Kendala bahan:
$$\displaystyle 2x+y\leq30$$
Kendala waktu:
$$\displaystyle x+3y\leq36$$
Jumlah minimum paket kartu:
$$\displaystyle x\geq5$$
Jumlah minimum paket poster:
$$\displaystyle y\geq4$$
Modelnya adalah
$$\displaystyle
\boxed{
\begin{aligned}
2x+y&\leq30,\\
x+3y&\leq36,\\
x&\geq5,\\
y&\geq4.
\end{aligned}}
$$
Bagian b
Uji titik
$$\displaystyle (10,8)$$
Kendala bahan:
$$\displaystyle 2(10)+8=28\leq30$$
Kendala waktu:
$$\displaystyle 10+3(8)=34\leq36$$
Kendala minimum juga dipenuhi karena
$$\displaystyle 10\geq5$$
dan
$$\displaystyle 8\geq4$$
Jadi rencana tersebut layak.
Bagian c
Pertemuan \(x=5\) dan \(y=4\):
$$\displaystyle (5,4)$$
Pertemuan \(y=4\) dengan \(2x+y=30\):
$$\displaystyle 2x+4=30$$
$$\displaystyle x=13$$
Diperoleh
$$\displaystyle (13,4)$$
Pertemuan dua kendala sumber daya:
$$\displaystyle
\begin{aligned}
2x+y&=30,\\
x+3y&=36.
\end{aligned}
$$
Dari persamaan pertama,
$$\displaystyle y=30-2x$$
Substitusikan.
$$\displaystyle x+3(30-2x)=36$$
$$\displaystyle x+90-6x=36$$
$$\displaystyle -5x=-54$$
$$\displaystyle x=\frac{54}{5}$$
Maka
$$\displaystyle y=30-\frac{108}{5}$$
$$\displaystyle y=\frac{42}{5}$$
Diperoleh
$$\displaystyle \left(\frac{54}{5},\frac{42}{5}\right)$$
Pertemuan \(x=5\) dengan kendala waktu:
$$\displaystyle 5+3y=36$$
$$\displaystyle y=\frac{31}{3}$$
Diperoleh
$$\displaystyle \left(5,\frac{31}{3}\right)$$
Jadi titik sudut daerah layak adalah
$$\displaystyle \boxed{(5,4),\;(13,4),\;\left(\frac{54}{5},\frac{42}{5}\right),\;\left(5,\frac{31}{3}\right)}$$
Soal 15
Diberikan sistem
$$\displaystyle
\begin{aligned}
2x+y&\geq6,\\
x+2y&\leq12,\\
x&\geq0,\\
y&\geq0.
\end{aligned}
$$
a. Tentukan titik-titik sudut daerah penyelesaian.
b. Klasifikasikan titik-titik berikut sebagai titik di dalam daerah, pada batas daerah, atau di luar daerah:
$$\displaystyle P(2,2),\quad Q(5,1),\quad R(1,1)$$
Berikan alasan berdasarkan pertidaksamaan.
Bagian a
Pada sumbu \(x\), \(y=0\).
Dari
$$\displaystyle 2x+y=6$$
diperoleh
$$\displaystyle x=3$$
sehingga terdapat titik
$$\displaystyle (3,0)$$
Dari
$$\displaystyle x+2y=12$$
dengan \(y=0\), diperoleh
$$\displaystyle x=12$$
sehingga terdapat titik
$$\displaystyle (12,0)$$
Pada sumbu \(y\), \(x=0\).
Kedua garis berpotongan pada
$$\displaystyle
\begin{aligned}
2x+y&=6,\\
x+2y&=12.
\end{aligned}
$$
Dari persamaan pertama,
$$\displaystyle y=6-2x$$
Substitusikan ke persamaan kedua.
$$\displaystyle x+2(6-2x)=12$$
$$\displaystyle x+12-4x=12$$
$$\displaystyle -3x=0$$
$$\displaystyle x=0$$
Maka
$$\displaystyle y=6$$
Jadi titik sudutnya adalah
$$\displaystyle \boxed{(0,6),\;(3,0),\;(12,0)}$$
Bagian b
Untuk \(P(2,2)\):
$$\displaystyle 2(2)+2=6$$
Tepat sama dengan batas pertama.
$$\displaystyle 2+2(2)=6\leq12$$
Maka \(P\) berada pada batas daerah layak.
Untuk \(Q(5,1)\):
$$\displaystyle 2(5)+1=11\gt6$$
dan
$$\displaystyle 5+2(1)=7\lt12$$
Kedua pertidaksamaan terpenuhi secara ketat dan \(x,y\gt0\), sehingga \(Q\) berada di bagian dalam daerah.
Untuk \(R(1,1)\):
$$\displaystyle 2(1)+1=3$$
Tetapi syaratnya
$$\displaystyle 2x+y\geq6$$
Karena
$$\displaystyle 3\lt6$$
maka \(R\) berada di luar daerah penyelesaian.
Latihan Uraian Program Linear
Soal 16
Panitia bazar membuat dua jenis paket suvenir, yaitu paket \(P\) dan paket \(Q\).
Setiap paket \(P\) memerlukan 3 unit bahan dan 1 jam pengerjaan, sedangkan setiap paket \(Q\) memerlukan 1 unit bahan dan 2 jam pengerjaan.
Tersedia paling banyak 38 unit bahan dan 26 jam pengerjaan.
Keuntungan setiap paket \(P\) adalah Rp70.000,00 dan setiap paket \(Q\) adalah Rp50.000,00.
Panitia merencanakan membuat 8 paket \(P\) dan 8 paket \(Q\).
a. Susun model program linearnya.
b. Periksa apakah rencana panitia layak.
c. Tentukan kombinasi produksi yang memberikan keuntungan maksimum.
d. Tentukan tambahan keuntungan dibandingkan rencana panitia.
Misalkan
$$\displaystyle x=\text{banyak paket }P$$
dan
$$\displaystyle y=\text{banyak paket }Q$$
Bagian a
Kendala bahan:
$$\displaystyle 3x+y\leq38$$
Kendala waktu:
$$\displaystyle x+2y\leq26$$
Syarat nonnegatif:
$$\displaystyle x\geq0,\quad y\geq0$$
Karena jumlah paket berupa bilangan utuh, \(x\) dan \(y\) merupakan bilangan cacah.
Fungsi keuntungan dalam ribuan rupiah:
$$\displaystyle P=70x+50y$$
Bagian b
Uji rencana
$$\displaystyle (x,y)=(8,8)$$
Bahan:
$$\displaystyle 3(8)+8=32\leq38$$
Waktu:
$$\displaystyle 8+2(8)=24\leq26$$
Rencana tersebut layak.
Keuntungannya:
$$\displaystyle P=70(8)+50(8)$$
$$\displaystyle =560+400$$
$$\displaystyle =960$$
atau
$$\displaystyle Rp960.000,00$$
Bagian c
Tentukan perpotongan dua garis sumber daya.
$$\displaystyle
\begin{aligned}
3x+y&=38,\\
x+2y&=26.
\end{aligned}
$$
Dari persamaan pertama,
$$\displaystyle y=38-3x$$
Substitusikan ke persamaan kedua.
$$\displaystyle x+2(38-3x)=26$$
$$\displaystyle x+76-6x=26$$
$$\displaystyle -5x=-50$$
$$\displaystyle x=10$$
Maka
$$\displaystyle y=38-30=8$$
Titik potongnya adalah
$$\displaystyle (10,8)$$
Titik sudut utama daerah layak adalah
$$\displaystyle (0,0),\quad \left(\frac{38}{3},0\right),\quad (10,8),\quad (0,13)$$
Uji fungsi keuntungan.
Pada \((0,0)\):
$$\displaystyle P=0$$
Pada \(\left(\frac{38}{3},0\right)\):
$$\displaystyle P=70\left(\frac{38}{3}\right)\approx886,67$$
Pada \((10,8)\):
$$\displaystyle P=70(10)+50(8)$$
$$\displaystyle =700+400$$
$$\displaystyle =1100$$
Pada \((0,13)\):
$$\displaystyle P=650$$
Nilai maksimum diperoleh pada
$$\displaystyle \boxed{(10,8)}$$
Karena koordinatnya bilangan bulat, solusi tersebut juga memenuhi syarat jumlah paket.
Keuntungan maksimum adalah
$$\displaystyle \boxed{Rp1.100.000,00}$$
Bagian d
$$\displaystyle Rp1.100.000,00-Rp960.000,00$$
$$\displaystyle =Rp140.000,00$$
Jadi tambahan keuntungan yang dapat diperoleh adalah
$$\displaystyle \boxed{Rp140.000,00}$$
Soal 17
Sebuah rombongan studi lapangan akan mengangkut sedikitnya 360 peserta menggunakan bus sedang dan van.
Bus sedang berkapasitas 45 peserta dengan biaya Rp1.000.000,00 per kendaraan. Van berkapasitas 25 peserta dengan biaya Rp650.000,00 per kendaraan.
Jumlah kendaraan yang dapat digunakan paling banyak 12 unit dan bus sedang yang tersedia paling banyak 7 unit.
Panitia mengusulkan 6 bus sedang dan 4 van.
a. Susun model program linear dengan \(x\) dan \(y\) bilangan cacah.
b. Periksa kelayakan usulan panitia dan hitung biayanya.
c. Tentukan kombinasi kendaraan dengan biaya minimum.
d. Hitung penghematan dibandingkan usulan panitia.
e. Jika bus sedang yang tersedia hanya 6 unit, tentukan keputusan minimum yang baru.
Misalkan
$$\displaystyle x=\text{banyak bus sedang}$$
dan
$$\displaystyle y=\text{banyak van}$$
Bagian a
Kapasitas minimum:
$$\displaystyle 45x+25y\geq360$$
Jumlah kendaraan:
$$\displaystyle x+y\leq12$$
Ketersediaan bus:
$$\displaystyle x\leq7$$
Syarat:
$$\displaystyle x\geq0,\quad y\geq0$$
dengan \(x,y\) bilangan cacah.
Fungsi biaya dalam ribuan rupiah:
$$\displaystyle C=1000x+650y$$
Bagian b
Untuk usulan \((6,4)\):
Kapasitas:
$$\displaystyle 45(6)+25(4)$$
$$\displaystyle =270+100$$
$$\displaystyle =370$$
Karena
$$\displaystyle 370\geq360$$
kapasitas mencukupi.
Jumlah kendaraan:
$$\displaystyle 6+4=10\leq12$$
dan jumlah bus tidak melebihi 7.
Jadi usulan layak.
Biayanya:
$$\displaystyle C=1000(6)+650(4)$$
$$\displaystyle =6000+2600$$
$$\displaystyle =8600$$
atau
$$\displaystyle Rp8.600.000,00$$
Bagian c
Karena variabel harus bilangan cacah, kita dapat memeriksa jumlah van minimum untuk setiap jumlah bus yang realistis.
Jika \(x=7\):
$$\displaystyle 45(7)+25y\geq360$$
$$\displaystyle 315+25y\geq360$$
$$\displaystyle 25y\geq45$$
Maka minimal
$$\displaystyle y=2$$
Biaya:
$$\displaystyle C=7000+1300=8300$$
Jika \(x=6\), minimal \(y=4\), sehingga biaya
$$\displaystyle 8600$$
Jika \(x=5\),
$$\displaystyle 225+25y\geq360$$
$$\displaystyle y\geq5,4$$
sehingga minimal \(y=6\).
Biaya:
$$\displaystyle 5000+3900=8900$$
Jika \(x=4\), diperlukan minimal \(y=8\) dengan biaya
$$\displaystyle 4000+5200=9200$$
Jika \(x=3\), diperlukan \(y=9\), sehingga
$$\displaystyle 3+9=12$$
dan biayanya
$$\displaystyle 3000+5850=8850$$
Dari alternatif layak tersebut, biaya terkecil adalah
$$\displaystyle \boxed{Rp8.300.000,00}$$
dengan
$$\displaystyle \boxed{7\text{ bus sedang dan }2\text{ van}}$$
Bagian d
$$\displaystyle Rp8.600.000,00-Rp8.300.000,00$$
$$\displaystyle =Rp300.000,00$$
Penghematannya adalah
$$\displaystyle \boxed{Rp300.000,00}$$
Bagian e
Jika bus tersedia paling banyak 6, solusi \((7,2)\) tidak mungkin digunakan.
Dari alternatif yang sudah diperiksa, biaya terkecil berikutnya adalah
$$\displaystyle (6,4)$$
dengan biaya
$$\displaystyle \boxed{Rp8.600.000,00}$$
Soal 18
Suatu daerah layak mempunyai titik-titik sudut
$$\displaystyle A(1,1),\quad B(6,1),\quad C(5,5),\quad D(1,4)$$
Diberikan fungsi objektif
$$\displaystyle Z=kx+2y$$
a. Tentukan nilai \(Z\) pada setiap titik sudut.
b. Tentukan interval nilai \(k\) agar nilai maksimum \(Z\) hanya dicapai di titik \(C\).
c. Jelaskan apa yang terjadi pada solusi optimum ketika \(k\) sama dengan masing-masing batas interval tersebut.
Bagian a
Pada \(A(1,1)\):
$$\displaystyle Z_A=k+2$$
Pada \(B(6,1)\):
$$\displaystyle Z_B=6k+2$$
Pada \(C(5,5)\):
$$\displaystyle Z_C=5k+10$$
Pada \(D(1,4)\):
$$\displaystyle Z_D=k+8$$
Bagian b
Agar maksimum hanya di titik \(C\), nilai di \(C\) harus lebih besar daripada nilai di titik sudut lainnya.
Bandingkan dengan \(B\).
$$\displaystyle 5k+10\gt6k+2$$
$$\displaystyle 8\gt k$$
Jadi
$$\displaystyle k\lt8$$
Bandingkan dengan \(D\).
$$\displaystyle 5k+10\gt k+8$$
$$\displaystyle 4k\gt-2$$
$$\displaystyle k\gt-\frac12$$
Bandingkan dengan \(A\).
$$\displaystyle 5k+10\gt k+2$$
$$\displaystyle 4k\gt-8$$
$$\displaystyle k\gt-2$$
Syarat terakhir lebih lemah daripada \(k\gt-\frac12\).
Jadi syarat keseluruhannya adalah
$$\displaystyle \boxed{-\frac12\lt k\lt8}$$
Bagian c
Jika
$$\displaystyle k=8$$
maka
$$\displaystyle Z_B=6(8)+2=50$$
dan
$$\displaystyle Z_C=5(8)+10=50$$
Titik \(B\) dan \(C\) memberikan nilai maksimum yang sama. Karena fungsi objektif sejajar dengan sisi \(BC\), setiap titik pada sisi tersebut juga memberikan nilai optimum.
Jika
$$\displaystyle k=-\frac12$$
maka nilai \(Z\) di \(C\) dan \(D\) sama.
Fungsi objektif sejajar dengan sisi \(CD\), sehingga terdapat banyak solusi optimum sepanjang sisi \(CD\).
Soal 19
Sebuah percetakan menghasilkan poster dan booklet.
Misalkan \(x\) menyatakan banyak paket poster dan \(y\) banyak paket booklet.
Setiap paket poster memerlukan 2 unit tinta dan 1 unit waktu mesin. Setiap paket booklet memerlukan 1 unit tinta dan 2 unit waktu mesin.
Tersedia paling banyak 24 unit tinta dan 30 unit waktu mesin.
Keuntungan paket poster adalah Rp40.000,00 dan booklet Rp30.000,00.
Seorang operator mengusulkan produksi 8 paket poster dan 8 paket booklet.
a. Susun model matematikanya.
b. Periksa kelayakan usulan operator.
c. Tentukan produksi yang memberikan keuntungan maksimum.
d. Bandingkan keuntungannya dengan usulan operator.
Bagian a
Kendala tinta:
$$\displaystyle 2x+y\leq24$$
Kendala waktu mesin:
$$\displaystyle x+2y\leq30$$
dan
$$\displaystyle x\geq0,\quad y\geq0$$
Fungsi keuntungan dalam ribuan rupiah:
$$\displaystyle P=40x+30y$$
Bagian b
Untuk \((8,8)\):
$$\displaystyle 2(8)+8=24$$
sehingga kendala tinta terpenuhi tepat pada batas.
Kendala waktu:
$$\displaystyle 8+2(8)=24\leq30$$
Jadi usulan tersebut layak.
Keuntungannya:
$$\displaystyle P=40(8)+30(8)$$
$$\displaystyle =320+240$$
$$\displaystyle =560$$
atau Rp560.000,00.
Bagian c
Tentukan perpotongan
$$\displaystyle
\begin{aligned}
2x+y&=24,\\
x+2y&=30.
\end{aligned}
$$
Dari persamaan pertama,
$$\displaystyle y=24-2x$$
Substitusikan.
$$\displaystyle x+2(24-2x)=30$$
$$\displaystyle x+48-4x=30$$
$$\displaystyle -3x=-18$$
$$\displaystyle x=6$$
Maka
$$\displaystyle y=24-12=12$$
Titik sudut daerah layak:
$$\displaystyle (0,0),\quad(12,0),\quad(6,12),\quad(0,15)$$
Hitung nilai fungsi objektif.
Pada \((12,0)\):
$$\displaystyle P=40(12)=480$$
Pada \((6,12)\):
$$\displaystyle P=40(6)+30(12)$$
$$\displaystyle =240+360$$
$$\displaystyle =600$$
Pada \((0,15)\):
$$\displaystyle P=450$$
Maka keuntungan maksimum adalah
$$\displaystyle \boxed{Rp600.000,00}$$
dengan produksi
$$\displaystyle \boxed{6\text{ paket poster dan }12\text{ paket booklet}}$$
Bagian d
$$\displaystyle Rp600.000,00-Rp560.000,00$$
$$\displaystyle =Rp40.000,00$$
Jadi usulan operator memang layak, tetapi belum optimal. Percetakan masih dapat memperoleh tambahan keuntungan Rp40.000,00.
Soal 20
Sebuah laboratorium membuat campuran dari bahan \(A\) dan bahan \(B\). Banyaknya bahan dinyatakan dalam kilogram sehingga boleh berupa bilangan real nonnegatif.
Setiap kilogram bahan \(A\) memberikan 3 unit zat \(P\) dan 1 unit zat \(Q\), sedangkan setiap kilogram bahan \(B\) memberikan 1 unit zat \(P\) dan 2 unit zat \(Q\).
Campuran harus mengandung sedikitnya 18 unit zat \(P\) dan sedikitnya 16 unit zat \(Q\).
Harga bahan \(A\) adalah Rp25.000,00 per kg dan bahan \(B\) Rp20.000,00 per kg.
a. Susun model program linear untuk meminimumkan biaya.
b. Tentukan campuran dengan biaya minimum.
c. Jika kebutuhan zat \(P\) meningkat menjadi 21 unit sedangkan kebutuhan zat \(Q\) tetap, tentukan campuran minimum yang baru.
d. Tentukan kenaikan biaya minimum akibat perubahan tersebut.
Misalkan
$$\displaystyle x=\text{kg bahan }A$$
dan
$$\displaystyle y=\text{kg bahan }B$$
Bagian a
Kebutuhan zat \(P\):
$$\displaystyle 3x+y\geq18$$
Kebutuhan zat \(Q\):
$$\displaystyle x+2y\geq16$$
Syarat nonnegatif:
$$\displaystyle x\geq0,\quad y\geq0$$
Fungsi biaya dalam ribuan rupiah:
$$\displaystyle C=25x+20y$$
Karena yang dicari biaya minimum, kita mencari titik daerah layak yang memberikan nilai \(C\) paling kecil.
Bagian b
Tentukan perpotongan dua garis batas.
$$\displaystyle
\begin{aligned}
3x+y&=18,\\
x+2y&=16.
\end{aligned}
$$
Dari persamaan pertama,
$$\displaystyle y=18-3x$$
Substitusikan ke persamaan kedua.
$$\displaystyle x+2(18-3x)=16$$
$$\displaystyle x+36-6x=16$$
$$\displaystyle -5x=-20$$
$$\displaystyle x=4$$
Maka
$$\displaystyle y=18-12=6$$
Titik kandidat lainnya pada sumbu adalah
$$\displaystyle (0,18)$$
dan
$$\displaystyle (16,0)$$
Hitung biaya.
Pada \((0,18)\):
$$\displaystyle C=20(18)=360$$
Pada \((4,6)\):
$$\displaystyle C=25(4)+20(6)$$
$$\displaystyle =100+120$$
$$\displaystyle =220$$
Pada \((16,0)\):
$$\displaystyle C=25(16)=400$$
Jadi biaya minimum adalah
$$\displaystyle \boxed{Rp220.000,00}$$
dengan campuran
$$\displaystyle \boxed{4\text{ kg bahan }A\text{ dan }6\text{ kg bahan }B}$$
Bagian c
Kendala baru adalah
$$\displaystyle 3x+y\geq21$$
dan
$$\displaystyle x+2y\geq16$$
Pada titik optimum baru, kedua garis batas bertemu.
$$\displaystyle
\begin{aligned}
3x+y&=21,\\
x+2y&=16.
\end{aligned}
$$
Dari persamaan pertama,
$$\displaystyle y=21-3x$$
Substitusikan.
$$\displaystyle x+2(21-3x)=16$$
$$\displaystyle x+42-6x=16$$
$$\displaystyle -5x=-26$$
$$\displaystyle x=\frac{26}{5}$$
Maka
$$\displaystyle y=21-3\left(\frac{26}{5}\right)$$
$$\displaystyle =\frac{105-78}{5}$$
$$\displaystyle =\frac{27}{5}$$
Jadi campuran barunya adalah
$$\displaystyle \boxed{\frac{26}{5}\text{ kg bahan }A\text{ dan }\frac{27}{5}\text{ kg bahan }B}$$
atau
$$\displaystyle \boxed{5,2\text{ kg bahan }A\text{ dan }5,4\text{ kg bahan }B}$$
Biaya barunya:
$$\displaystyle C=25\left(\frac{26}{5}\right)+20\left(\frac{27}{5}\right)$$
$$\displaystyle =130+108$$
$$\displaystyle =238$$
atau
$$\displaystyle Rp238.000,00$$
Bagian d
$$\displaystyle Rp238.000,00-Rp220.000,00$$
$$\displaystyle =Rp18.000,00$$
Jadi kenaikan kebutuhan zat \(P\) sebesar 3 unit menyebabkan biaya minimum meningkat sebesar
$$\displaystyle \boxed{Rp18.000,00}$$
Strategi Menghadapi Soal ASTS-1
1. Jangan Langsung Melakukan Substitusi Tanpa Membaca Urutan Komposisi
Pada
$$\displaystyle (f\circ g)(x)$$
fungsi \(g\) harus dikerjakan terlebih dahulu.
Sementara pada
$$\displaystyle (g\circ f)(x)$$
fungsi \(f\) yang dikerjakan terlebih dahulu.
2. Domain Harus Diperiksa Setelah Membentuk Komposisi
Pada fungsi rasional, perhatikan penyebut.
Pada fungsi akar, perhatikan bagian di dalam akar.
Pada komposisi, kedua syarat tersebut dapat muncul secara bersamaan.
3. Jangan Menghafal Urutan Invers Tanpa Memahami Proses
Jika
$$\displaystyle h=g\circ f$$
maka proses awalnya adalah
$$\displaystyle x\xrightarrow{f}f(x)\xrightarrow{g}h(x)$$
Untuk kembali ke nilai awal, urutannya harus dibalik:
$$\displaystyle h(x)\xrightarrow{g^{-1}}f(x)\xrightarrow{f^{-1}}x$$
Karena itu,
$$\displaystyle h^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$$
4. Pada SPtLDV, Tidak Semua Perpotongan Garis Menjadi Titik Sudut
Setelah memperoleh perpotongan dua garis, selalu periksa apakah titik tersebut memenuhi seluruh pertidaksamaan.
5. Kenali Kendala Redundan
Suatu pertidaksamaan dapat terlihat seperti kendala penting, tetapi mungkin tidak pernah menjadi sisi daerah layak karena sudah diperketat oleh kendala lain.
6. Bedakan Daerah Layak dan Solusi Optimum
Sebuah titik dapat memenuhi seluruh kendala tetapi belum tentu memberikan nilai maksimum atau minimum.
Dalam program linear terdapat dua pertanyaan yang berbeda:
- Apakah keputusan tersebut layak?
- Apakah keputusan tersebut optimal?
7. Perhatikan Syarat Bilangan Bulat
Pada persoalan jumlah kendaraan, jumlah produk, atau jumlah orang, variabel biasanya harus berupa bilangan cacah.
Solusi titik potong berupa pecahan tidak dapat langsung digunakan apabila konteksnya mensyaratkan jumlah benda utuh.
Rangkuman Rumus Penting
Komposisi fungsi:
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))$$
$$\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))$$
Invers komposisi:
$$\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$$
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$$
Domain komposisi:
$$\displaystyle D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}$$
Syarat fungsi akar:
$$\displaystyle \text{radikan}\geq0$$
Syarat fungsi rasional:
$$\displaystyle \text{penyebut}\neq0$$
Bentuk umum fungsi objektif program linear:
$$\displaystyle Z=ax+by$$
Nilai optimum dicari dengan mengevaluasi fungsi objektif pada titik-titik sudut daerah layak, dengan tetap memperhatikan syarat khusus seperti bilangan bulat atau bilangan cacah.
Kesimpulan
Materi Komposisi Fungsi, Invers Fungsi Komposisi, SPtLDV, dan Program Linear saling melatih kemampuan berpikir yang lebih luas daripada sekadar melakukan manipulasi aljabar.
Pada komposisi fungsi, kita perlu memahami urutan proses. Pada invers fungsi komposisi, kita perlu memahami bahwa pembalikan proses mengakibatkan urutan invers dibalik. Domain juga tidak boleh diabaikan karena menentukan apakah sebuah fungsi atau invers benar-benar terdefinisi.
Pada SPtLDV, fokus utama adalah menerjemahkan setiap pertidaksamaan menjadi daerah pada bidang koordinat, mengambil irisan seluruh kendala, dan menentukan titik sudut daerah layak. Konsep kendala redundan juga penting karena tidak semua pertidaksamaan selalu menjadi pembatas aktif.
Dalam Program Linear, sebuah keputusan yang memenuhi semua kendala hanya disebut layak. Agar disebut optimal, keputusan tersebut harus memberikan nilai terbaik pada fungsi objektif. Karena itu, peserta didik perlu mampu membedakan antara memeriksa kelayakan dan menentukan nilai maksimum atau minimum.
Gunakan password: 1234 untuk mencoba soal prediksi ASTS-1 Matematika Wajib Kelas XI
Jika ingin mengeksplorasi Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) pada Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel secara lebih interaktif, kamu dapat menggunakan aplikasi khusus yang telah disediakan. Melalui aplikasi ini, kamu bisa mencoba berbagai bentuk pertidaksamaan, mengamati perubahan grafik, dan memahami daerah penyelesaian dengan lebih visual dan mudah.
Tinggalkan komentar