Limit tak hingga membahas perilaku suatu fungsi ketika nilai variabel bergerak semakin jauh tanpa batas, baik menuju bilangan positif yang semakin besar maupun menuju bilangan negatif yang semakin kecil.
Ketika ditulis
$latex \displaystyle x\to\infty$
kita tidak sedang mengatakan bahwa $latex \displaystyle x$ akhirnya menjadi suatu bilangan bernama tak hingga. Simbol $latex \displaystyle \infty$ bukan bilangan real. Notasi tersebut berarti nilai $latex \displaystyle x$ dapat dibuat semakin besar tanpa batas.
Demikian pula,
$latex \displaystyle x\to-\infty$
berarti nilai $latex \displaystyle x$ bergerak ke arah negatif dengan nilai mutlak yang semakin besar.
Pada materi limit tak hingga, pertanyaan utama bukan “berapa nilai fungsi ketika $latex \displaystyle x=\infty$?”, tetapi:
Ke mana nilai fungsi cenderung bergerak ketika nilai $latex \displaystyle x$ semakin besar secara mutlak?
Pemahaman ini penting karena limit tak hingga membantu kita membaca perilaku ujung grafik, menentukan asimtot, membandingkan pertumbuhan fungsi, serta menyelesaikan bentuk-bentuk yang sekilas tampak seperti $latex \displaystyle \frac{\infty}{\infty}$ atau $latex \displaystyle \infty-\infty$.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan mampu:
- menjelaskan arti $latex \displaystyle x\to\infty$ dan $latex \displaystyle x\to-\infty$;
- membedakan limit di tak hingga dengan limit bernilai tak hingga;
- menjelaskan mengapa suku berpangkat tertinggi menjadi dominan;
- menentukan limit fungsi polinomial dan fungsi rasional;
- menentukan limit fungsi yang masih berbentuk faktor atau perpangkatan;
- menganalisis tanda limit ketika $latex \displaystyle x\to-\infty$;
- mengenali bentuk tak tentu $latex \displaystyle \frac{\infty}{\infty}$, $latex \displaystyle \infty-\infty$, dan $latex \displaystyle 0\cdot\infty$;
- menentukan limit yang melibatkan akar linear dan akar kuadrat;
- menggunakan bentuk sekawan secara tepat;
- memahami pentingnya identitas $latex \displaystyle \sqrt{x^2}=|x|$;
- menentukan limit yang melibatkan akar pangkat tiga;
- menentukan parameter berdasarkan informasi limit;
- menghubungkan limit tak hingga dengan asimtot horizontal dan asimtot miring;
- memilih strategi penyelesaian yang efisien sesuai bentuk soal.
Mari Berpikir
Perhatikan fungsi
$latex \displaystyle f(x)=\frac{4x^3+5x^2-7}{2x^3-x+9}$
Jika $latex \displaystyle x=10$, nilai beberapa pangkatnya adalah
$latex \displaystyle x=10$
$latex \displaystyle x^2=100$
$latex \displaystyle x^3=1000$
Jika $latex \displaystyle x=100$, perbedaannya semakin besar:
$latex \displaystyle x=100$
$latex \displaystyle x^2=10000$
$latex \displaystyle x^3=1000000$
Semakin besar $latex \displaystyle x$, semakin dominan pangkat tertinggi dibandingkan pangkat-pangkat di bawahnya.
Pada pembilang, bagian yang paling dominan adalah
$latex \displaystyle 4x^3$
sedangkan pada penyebut bagian yang paling dominan adalah
$latex \displaystyle 2x^3$
Karena itu, ketika $latex \displaystyle x$ sangat besar, fungsi tersebut semakin menyerupai
$latex \displaystyle \frac{4x^3}{2x^3}=2$
Maka kita dapat memperkirakan
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{4x^3+5x^2-7}{2x^3-x+9}=2$
Gagasan tentang suku dominan inilah yang menjadi salah satu kunci terpenting dalam limit tak hingga.
Memahami Konsep Limit Tak Hingga
Apa Arti $latex \displaystyle x\to\infty$?
Perhatikan fungsi sederhana
$latex \displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$
Untuk beberapa nilai $latex \displaystyle x$,
$latex \displaystyle f(10)=\frac{1}{10}$
$latex \displaystyle f(100)=\frac{1}{100}$
$latex \displaystyle f(1000)=\frac{1}{1000}$
Nilai fungsi semakin kecil dan semakin dekat dengan nol.
Karena itu,
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$
Secara umum, untuk $latex \displaystyle n>0$,
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^n}=0$
Fakta ini merupakan salah satu dasar utama penyelesaian limit fungsi aljabar.
Apa Arti $latex \displaystyle x\to-\infty$?
Notasi
$latex \displaystyle x\to-\infty$
dapat dibayangkan sebagai nilai
$latex \displaystyle -10,-100,-1000,-10000,\ldots$
Nilainya semakin negatif, tetapi nilai mutlaknya semakin besar.
Pada keadaan ini, pangkat genap dan pangkat ganjil menunjukkan perilaku berbeda.
Untuk pangkat genap,
$latex \displaystyle \lim_{x\to-\infty}x^2=\infty$
dan
$latex \displaystyle \lim_{x\to-\infty}x^4=\infty$
Untuk pangkat ganjil,
$latex \displaystyle \lim_{x\to-\infty}x=-\infty$
dan
$latex \displaystyle \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty$
Jadi, arah limit dan jenis pangkat perlu diperhatikan secara bersamaan.
Limit di Tak Hingga dan Limit Bernilai Tak Hingga
Dua istilah ini sering tertukar.
Limit di Tak Hingga
Contohnya,
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{x+2}=3$
Pada bentuk ini, variabel $latex \displaystyle x$ menuju tak hingga, tetapi nilai fungsi mendekati bilangan tertentu.
Limit Bernilai Tak Hingga
Contohnya,
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}(2x+5)=\infty$
Pada bentuk ini, nilai fungsi sendiri bertambah tanpa batas.
Dengan demikian, simbol $latex \displaystyle \infty$ dapat menunjukkan arah gerak variabel ataupun perilaku nilai fungsi.
Tak Hingga Bukan Bilangan Real
Kita tidak boleh memperlakukan
$latex \displaystyle \infty$
seperti bilangan biasa.
Misalnya, tidak benar jika kita langsung menulis
$latex \displaystyle \frac{\infty}{\infty}=1$
Perhatikan tiga limit berikut.
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{x}=1$
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2}=0$
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x}=\infty$
Ketiganya secara informal tampak mempunyai bentuk
$latex \displaystyle \frac{\infty}{\infty}$
tetapi hasil akhirnya berbeda.
Karena itu,
$latex \displaystyle \frac{\infty}{\infty}$
disebut bentuk tak tentu.
Bentuk Tak Tentu dalam Limit Tak Hingga
Beberapa bentuk tak tentu yang sering muncul adalah
$latex \displaystyle \frac{\infty}{\infty}$
$latex \displaystyle \infty-\infty$
$latex \displaystyle 0\cdot\infty$
Istilah tak tentu tidak berarti limitnya pasti tidak ada. Artinya, bentuk awal belum memberikan cukup informasi untuk menentukan hasil.
Perhatikan
$latex \displaystyle \sqrt{x^2+2x}-x$
dan
$latex \displaystyle \sqrt{4x^2+x}-x$
Ketika $latex \displaystyle x\to\infty$, kedua bentuk secara informal sama-sama tampak seperti
$latex \displaystyle \infty-\infty$
Namun,
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+2x}-x\right)=1$
sedangkan
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2+x}-x\right)=\infty$
Jadi, bentuk tak tentu harus disederhanakan terlebih dahulu.
Konsep Suku Dominan
Misalkan
$latex \displaystyle P(x)=5x^4-8x^3+2x-7$
Faktorkan $latex \displaystyle x^4$.
$latex \displaystyle P(x)=x^4\left(5-\frac{8}{x}+\frac{2}{x^3}-\frac{7}{x^4}\right)$
Ketika $latex \displaystyle x\to\infty$,
$latex \displaystyle \frac{1}{x}\to0$
$latex \displaystyle \frac{1}{x^3}\to0$
$latex \displaystyle \frac{1}{x^4}\to0$
Akibatnya, bagian dalam tanda kurung mendekati
$latex \displaystyle 5$
Dengan demikian, untuk nilai $latex \displaystyle x$ yang sangat besar,
$latex \displaystyle P(x)$
berperilaku seperti
$latex \displaystyle 5x^4$
Suku $latex \displaystyle 5x^4$ disebut suku dominan.
Mengapa Pangkat Tertinggi Menentukan Limit?
Perhatikan
$latex \displaystyle \frac{5x^3+2x-7}{2x^3+4x^2+1}$
Bagi semua suku dengan $latex \displaystyle x^3$.
$latex \displaystyle \frac{5+\frac{2}{x^2}-\frac{7}{x^3}}{2+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^3}}$
Ketika $latex \displaystyle x\to\infty$, berlaku
$latex \displaystyle \frac{2}{x^2}\to0$
$latex \displaystyle \frac{7}{x^3}\to0$
$latex \displaystyle \frac{4}{x}\to0$
$latex \displaystyle \frac{1}{x^3}\to0$
Maka
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{5x^3+2x-7}{2x^3+4x^2+1}=\frac{5}{2}$
Jadi, aturan perbandingan koefisien tertinggi sebenarnya berasal dari proses pembagian dengan pangkat terbesar.
Limit Fungsi Polinomial
Misalkan
$latex \displaystyle P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$
dengan
$latex \displaystyle a_n\neq0$
Ketika nilai $latex \displaystyle |x|$ sangat besar, perilaku polinomial terutama ditentukan oleh
$latex \displaystyle a_nx^n$
Sebagai contoh,
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}(3x^4-2x+1)=\infty$
karena suku dominannya adalah
$latex \displaystyle 3x^4$
Sedangkan
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}(-2x^5+7x^2)=-\infty$
karena suku dominannya adalah
$latex \displaystyle -2x^5$
Untuk $latex \displaystyle x\to-\infty$, tanda koefisien dan paritas pangkat harus dianalisis bersama.
Limit Fungsi Rasional
Misalkan
$latex \displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$
Derajat $latex \displaystyle P(x)$ adalah $latex \displaystyle m$, sedangkan derajat $latex \displaystyle Q(x)$ adalah $latex \displaystyle n$.
Ada tiga keadaan utama.
Derajat Pembilang Lebih Kecil
Jika
$latex \displaystyle m<n$
maka
$latex \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=0$
Sebagai contoh,
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{2x^4-x}=0$
Penyebut tumbuh lebih cepat daripada pembilang.
Derajat Pembilang Sama dengan Penyebut
Jika
$latex \displaystyle m=n$
dan koefisien suku tertinggi pembilang adalah $latex \displaystyle a$, sedangkan koefisien suku tertinggi penyebut adalah $latex \displaystyle b$, maka
$latex \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a}{b}$
dengan
$latex \displaystyle b\neq0$
Contoh:
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{7x^3-2x}{4x^3+1}=\frac{7}{4}$
Derajat Pembilang Lebih Besar
Jika
$latex \displaystyle m>n$
maka fungsi tidak mempunyai limit berhingga.
Perilaku dominannya adalah
$latex \displaystyle \frac{ax^m}{bx^n}=\frac{a}{b}x^{m-n}$
Karena itu, hasilnya tidak selalu $latex \displaystyle \infty$.
Perhatikan
$latex \displaystyle \frac{x^3}{x^2}=x$
Maka
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x^2}=\infty$
tetapi
$latex \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{x^2}=-\infty$
Sementara itu,
$latex \displaystyle \frac{x^4}{x^2}=x^2$
menuju $latex \displaystyle \infty$ untuk kedua arah.
Limit dalam Bentuk Faktor
Suatu fungsi tidak harus dikembangkan seluruhnya untuk menentukan limit.
Perhatikan
$latex \displaystyle \frac{(2x-3)(3x+1)}{4x^2-x+5}$
Suku dominan pembilang adalah
$latex \displaystyle (2x)(3x)=6x^2$
Suku dominan penyebut adalah
$latex \displaystyle 4x^2$
Maka
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(2x-3)(3x+1)}{4x^2-x+5}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
Cara ini lebih cepat daripada mengembangkan setiap faktor.
Limit dalam Bentuk Perpangkatan
Perhatikan
$latex \displaystyle \frac{(1-3x)^3}{(2x+1)(4x^2-x+5)}$
Pada pembilang, suku dominannya adalah
$latex \displaystyle (-3x)^3=-27x^3$
Pada penyebut, suku dominannya adalah
$latex \displaystyle (2x)(4x^2)=8x^3$
Maka
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(1-3x)^3}{(2x+1)(4x^2-x+5)}=-\frac{27}{8}$
Jadi, bentuk faktor dan pangkat dapat dianalisis langsung melalui bagian dominannya.
Limit Tak Hingga Bentuk Akar
Bentuk akar sering menghasilkan bentuk tak tentu
$latex \displaystyle \infty-\infty$
Dua konsep terpenting pada bagian ini adalah:
- $latex \displaystyle \sqrt{x^2}=|x|$;
- bentuk sekawan.
Mengapa $latex \displaystyle \sqrt{x^2}=|x|$?
Akar kuadrat utama selalu bernilai tidak negatif.
Jika
$latex \displaystyle x=5$
maka
$latex \displaystyle \sqrt{x^2}=5$
Jika
$latex \displaystyle x=-5$
maka
$latex \displaystyle \sqrt{x^2}=5$
Jadi,
$latex \displaystyle \sqrt{x^2}=|x|$
bukan selalu
$latex \displaystyle x$
Jika
$latex \displaystyle x\to\infty$
maka untuk nilai $latex \displaystyle x$ yang cukup besar,
$latex \displaystyle |x|=x$
Jika
$latex \displaystyle x\to-\infty$
maka
$latex \displaystyle |x|=-x$
Contohnya,
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=1$
tetapi
$latex \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=-1$
Bentuk Sekawan
Jika terdapat
$latex \displaystyle \sqrt{A}-\sqrt{B}$
maka bentuk sekawannya adalah
$latex \displaystyle \sqrt{A}+\sqrt{B}$
Identitas yang digunakan adalah
$latex \displaystyle (\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=A-B$
Perhatikan
$latex \displaystyle \sqrt{x^2+6x}-x$
Untuk $latex \displaystyle x\to\infty$, gunakan bentuk sekawan.
$latex \displaystyle \sqrt{x^2+6x}-x=\frac{(\sqrt{x^2+6x}-x)(\sqrt{x^2+6x}+x)}{\sqrt{x^2+6x}+x}$
Maka
$latex \displaystyle \sqrt{x^2+6x}-x=\frac{x^2+6x-x^2}{\sqrt{x^2+6x}+x}$
Sehingga
$latex \displaystyle \sqrt{x^2+6x}-x=\frac{6x}{\sqrt{x^2+6x}+x}$
Bagi pembilang dan penyebut dengan $latex \displaystyle x$.
$latex \displaystyle \frac{6x}{\sqrt{x^2+6x}+x}=\frac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{x}}+1}$
Ketika $latex \displaystyle x\to\infty$,
$latex \displaystyle \frac{6}{x}\to0$
Maka
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)=\frac{6}{1+1}$
Jadi,
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)=3$
Selisih Dua Akar Linear
Perhatikan bentuk
$latex \displaystyle \sqrt{ax+b}-\sqrt{cx+d}$
untuk
$latex \displaystyle x\to\infty$
Bagian dominannya adalah
$latex \displaystyle \sqrt{a}\sqrt{x}-\sqrt{c}\sqrt{x}$
atau
$latex \displaystyle (\sqrt{a}-\sqrt{c})\sqrt{x}$
Jika
$latex \displaystyle a>c$
maka limit menuju
$latex \displaystyle \infty$
Jika
$latex \displaystyle a<c$
maka limit menuju
$latex \displaystyle -\infty$
Jika
$latex \displaystyle a=c$
maka suku dominannya saling menghilangkan dan limit menuju
$latex \displaystyle 0$
Contoh:
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{7x+1}-\sqrt{5x+4}\right)=\infty$
Sedangkan
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{3x+5}-\sqrt{3x-2}\right)=0$
Selisih Dua Akar Kuadrat dengan Koefisien Dominan Sama
Perhatikan bentuk
$latex \displaystyle \sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}$
dengan
$latex \displaystyle a>0$
Gunakan sekawan.
$latex \displaystyle \sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}=\frac{(b-p)x+(c-q)}{\sqrt{ax^2+bx+c}+\sqrt{ax^2+px+q}}$
Ketika $latex \displaystyle x\to\infty$, pembilang berperilaku seperti
$latex \displaystyle (b-p)x$
sedangkan penyebut berperilaku seperti
$latex \displaystyle 2\sqrt{a}x$
Maka
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}\right)=\frac{b-p}{2\sqrt{a}}$
Mengapa Konstanta Tidak Muncul pada Rumus?
Setelah menggunakan sekawan, pembilang menjadi
$latex \displaystyle (b-p)x+(c-q)$
Ketika $latex \displaystyle x$ sangat besar, suku
$latex \displaystyle (b-p)x$
lebih dominan daripada konstanta
$latex \displaystyle c-q$
Karena itu, jika
$latex \displaystyle b\neq p$
konstanta tidak memengaruhi nilai limit akhir.
Jika Koefisien Kuadrat Berbeda
Perhatikan
$latex \displaystyle \sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}$
Jika
$latex \displaystyle x\to\infty$
maka suku dominannya adalah
$latex \displaystyle (\sqrt{a}-\sqrt{p})x$
Jika
$latex \displaystyle a>p$
maka limit menuju
$latex \displaystyle \infty$
Jika
$latex \displaystyle a<p$
maka limit menuju
$latex \displaystyle -\infty$
Jadi, rumus
$latex \displaystyle \frac{b-q}{2\sqrt{a}}$
hanya dapat digunakan langsung jika koefisien $latex \displaystyle x^2$ pada kedua akar sama.
Akar Dikurangi Fungsi Linear
Perhatikan
$latex \displaystyle \sqrt{9x^2+bx+c}-(3x+d)$
Untuk $latex \displaystyle x\to\infty$, nilai $latex \displaystyle 3x+d$ akhirnya positif.
Karena itu,
$latex \displaystyle 3x+d=\sqrt{(3x+d)^2}$
Dengan
$latex \displaystyle (3x+d)^2=9x^2+6dx+d^2$
Bentuk tersebut kemudian dapat diperlakukan sebagai selisih dua akar kuadrat dengan koefisien dominan sama.
Bentuk Produk di Dalam Akar
Perhatikan
$latex \displaystyle \sqrt{(x+a)(x+b)}-x$
Kembangkan isi akar.
$latex \displaystyle (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
Maka
$latex \displaystyle \sqrt{(x+a)(x+b)}-x=\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}-\sqrt{x^2}$
Karena itu,
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)=\frac{a+b}{2}$
Menariknya, limit ditentukan oleh jumlah $latex \displaystyle a+b$, bukan hasil kali $latex \displaystyle ab$.
Kombinasi Beberapa Bentuk Akar
Untuk bentuk yang terdiri atas beberapa akar, jangan langsung melakukan manipulasi panjang.
Periksa suku dominan terlebih dahulu.
Misalnya,
$latex \displaystyle \sqrt{9x^2+18x}-\sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+6x}$
Suku dominannya adalah
$latex \displaystyle 3x-2x-x=0$
Suku terbesar saling menghilangkan.
Karena itu, kita perlu melihat koreksi tingkat berikutnya.
Untuk bentuk
$latex \displaystyle \sqrt{a^2x^2+bx}-ax$
dengan $latex \displaystyle x\to\infty$, limitnya adalah
$latex \displaystyle \frac{b}{2a}$
Maka
$latex \displaystyle \sqrt{9x^2+18x}-3x\to3$
$latex \displaystyle \sqrt{4x^2+8x}-2x\to2$
$latex \displaystyle \sqrt{x^2+6x}-x\to3$
Sehingga keseluruhan bentuk menuju
$latex \displaystyle 3-2-3=-2$
Limit Menuju Negatif Tak Hingga pada Bentuk Akar
Pada arah
$latex \displaystyle x\to-\infty$
berlaku
$latex \displaystyle \sqrt{x^2}=|x|=-x$
Perhatikan
$latex \displaystyle \sqrt{x^2+4x+5}+x$
Suku dominan akar adalah
$latex \displaystyle -x$
sehingga
$latex \displaystyle -x+x=0$
Artinya, ada kemungkinan limitnya berhingga.
Gunakan sekawan.
$latex \displaystyle \sqrt{x^2+4x+5}+x=\frac{4x+5}{\sqrt{x^2+4x+5}-x}$
Untuk menentukan limit, pembilang dan penyebut dapat dibagi dengan
$latex \displaystyle -x$
bukan dengan $latex \displaystyle x$ secara sembarangan.
Rumus Selisih Akar untuk $latex \displaystyle x\to-\infty$
Untuk
$latex \displaystyle a>0$
berlaku
$latex \displaystyle \sqrt{ax^2}\sim-\sqrt{a}x$
ketika
$latex \displaystyle x\to-\infty$
Karena itu,
$latex \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}\right)=\frac{p-b}{2\sqrt{a}}$
Perhatikan bahwa tanda pembilang berlawanan dengan rumus untuk $latex \displaystyle x\to\infty$.
Limit Akar Pangkat Tiga
Untuk bentuk akar pangkat tiga, kita menggunakan identitas
$latex \displaystyle a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Perhatikan
$latex \displaystyle \sqrt[3]{x^3+6x^2}-x$
Misalkan
$latex \displaystyle A=\sqrt[3]{x^3+6x^2}$
Maka
$latex \displaystyle A^3-x^3=6x^2$
Dari identitas selisih kubus,
$latex \displaystyle A-x=\frac{6x^2}{A^2+Ax+x^2}$
Bagi pembilang dan penyebut dengan $latex \displaystyle x^2$.
Karena
$latex \displaystyle \frac{A}{x}=\sqrt[3]{1+\frac{6}{x}}\to1$
maka penyebut menuju
$latex \displaystyle 1+1+1=3$
Sehingga
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+6x^2}-x\right)=2$
Pola Selisih Dua Akar Pangkat Tiga
Untuk
$latex \displaystyle a>0$
berlaku pola
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{ax^3+bx^2+\cdots}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+\cdots}\right)=\frac{b-p}{3\sqrt[3]{a^2}}$
Rumus ini merupakan konsekuensi dari identitas selisih kubus.
Hubungan Limit Tak Hingga dengan Asimtot Horizontal
Jika
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=L$
maka garis
$latex \displaystyle y=L$
merupakan asimtot horizontal grafik di arah kanan.
Jika
$latex \displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=M$
maka garis
$latex \displaystyle y=M$
merupakan asimtot horizontal grafik di arah kiri.
Nilai $latex \displaystyle L$ dan $latex \displaystyle M$ tidak harus sama.
Sebagai contoh,
$latex \displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$
memenuhi
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=1$
tetapi
$latex \displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-1$
Jadi, grafik mempunyai asimtot horizontal yang berbeda untuk dua arah.
Asimtot Miring
Tidak semua fungsi mempunyai asimtot horizontal.
Perhatikan
$latex \displaystyle f(x)=\frac{x^2+2}{x}$
Kita dapat menulis
$latex \displaystyle f(x)=x+\frac{2}{x}$
Karena
$latex \displaystyle \frac{2}{x}\to0$
maka
$latex \displaystyle f(x)-x\to0$
Artinya, grafik semakin mendekati garis
$latex \displaystyle y=x$
Garis tersebut disebut asimtot miring.
Ringkasan Rumus Penting
Untuk fungsi rasional
$latex \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$
dengan derajat pembilang $latex \displaystyle m$ dan penyebut $latex \displaystyle n$:
Jika
$latex \displaystyle m<n$
maka
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=0$
Jika
$latex \displaystyle m=n$
maka
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{\text{koefisien tertinggi pembilang}}{\text{koefisien tertinggi penyebut}}$
Untuk selisih akar kuadrat dengan koefisien dominan sama,
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}\right)=\frac{b-p}{2\sqrt{a}}$
Untuk bentuk menuju negatif tak hingga,
$latex \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}\right)=\frac{p-b}{2\sqrt{a}}$
Untuk akar pangkat tiga,
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{ax^3+bx^2+\cdots}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+\cdots}\right)=\frac{b-p}{3\sqrt[3]{a^2}}$
Strategi Memilih Metode
Sebelum menghitung, kenali bentuk soal.
- Pecahan polinomial: bandingkan derajat pembilang dan penyebut.
- Bentuk faktor: cari hasil kali suku dominan setiap faktor.
- Bentuk pangkat: cukup ambil bagian berpangkat tertinggi.
- Selisih akar linear: bandingkan koefisien $latex \displaystyle x$ di dalam akar.
- Selisih akar kuadrat: periksa terlebih dahulu koefisien $latex \displaystyle x^2$.
- Koefisien kuadrat sama: gunakan sekawan atau rumus cepat.
- Koefisien kuadrat berbeda: analisis $latex \displaystyle (\sqrt{a}-\sqrt{p})x$.
- Menuju negatif tak hingga: perhatikan $latex \displaystyle \sqrt{x^2}=|x|=-x$.
- Akar pangkat tiga: gunakan identitas selisih kubus.
- Soal parameter: samakan atau hilangkan suku dominan terlebih dahulu.
30 Soal Limit Tak Hingga dan Pembahasan
A. Fungsi Rasional, Faktor, dan Pangkat
Soal 1
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{4x^2-3x+7}{2x^3+x-5}$.
A. $latex \displaystyle -\infty$
B. $latex \displaystyle -1$
C. $latex \displaystyle 0$
D. $latex \displaystyle 2$
E. $latex \displaystyle \infty$
Derajat pembilang adalah $latex \displaystyle 2$, sedangkan derajat penyebut adalah $latex \displaystyle 3$.
Karena derajat pembilang lebih kecil, penyebut tumbuh lebih cepat.
Bagi setiap suku dengan $latex \displaystyle x^3$.
$latex \displaystyle \frac{4x^2-3x+7}{2x^3+x-5}=\frac{\frac{4}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{7}{x^3}}{2+\frac{1}{x^2}-\frac{5}{x^3}}$
Ketika $latex \displaystyle x\to\infty$, semua pecahan yang mengandung pangkat $latex \displaystyle x$ pada penyebut menuju nol.
Maka
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{4x^2-3x+7}{2x^3+x-5}=0$
Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 2
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{5x^3-2x^2+x}{2x^3+7x-1}$.
A. $latex \displaystyle 0$
B. $latex \displaystyle \frac{2}{5}$
C. $latex \displaystyle 2$
D. $latex \displaystyle \frac{5}{2}$
E. $latex \displaystyle \infty$
Derajat pembilang dan penyebut sama-sama $latex \displaystyle 3$.
Karena itu, limit ditentukan oleh perbandingan koefisien suku berpangkat tertinggi.
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{5x^3-2x^2+x}{2x^3+7x-1}=\frac{5}{2}$
Jadi, jawabannya adalah D.
Soal 3
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(2x-1)(3x+4)}{5x^2-2x+7}$.
A. $latex \displaystyle \frac{3}{5}$
B. $latex \displaystyle 1$
C. $latex \displaystyle \frac{6}{5}$
D. $latex \displaystyle \frac{5}{2}$
E. $latex \displaystyle 6$
Suku dominan pembilang adalah
$latex \displaystyle (2x)(3x)=6x^2$
Suku dominan penyebut adalah
$latex \displaystyle 5x^2$
Maka
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(2x-1)(3x+4)}{5x^2-2x+7}=\frac{6}{5}$
Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 4
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(1-4x)^3}{(2x+3)(4x^2-x+1)}$.
A. $latex \displaystyle -8$
B. $latex \displaystyle -4$
C. $latex \displaystyle -2$
D. $latex \displaystyle 4$
E. $latex \displaystyle 8$
Suku dominan pembilang adalah
$latex \displaystyle (-4x)^3=-64x^3$
Suku dominan penyebut adalah
$latex \displaystyle (2x)(4x^2)=8x^3$
Maka
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(1-4x)^3}{(2x+3)(4x^2-x+1)}=\frac{-64}{8}=-8$
Jadi, jawabannya adalah A.
Soal 5
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x^5-x^2+4}{x^4+2x-1}$.
A. $latex \displaystyle -\infty$
B. $latex \displaystyle 0$
C. $latex \displaystyle 3$
D. $latex \displaystyle 5$
E. $latex \displaystyle \infty$
Suku dominan fungsi adalah
$latex \displaystyle \frac{3x^5}{x^4}=3x$
Ketika
$latex \displaystyle x\to\infty$
maka
$latex \displaystyle 3x\to\infty$
Jadi,
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x^5-x^2+4}{x^4+2x-1}=\infty$
Jawabannya adalah E.
Soal 6
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{2x^5+3x}{x^4-7}$.
A. $latex \displaystyle -\infty$
B. $latex \displaystyle -2$
C. $latex \displaystyle 0$
D. $latex \displaystyle 2$
E. $latex \displaystyle \infty$
Suku dominannya adalah
$latex \displaystyle \frac{2x^5}{x^4}=2x$
Karena
$latex \displaystyle x\to-\infty$
maka
$latex \displaystyle 2x\to-\infty$
Jadi,
$latex \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{2x^5+3x}{x^4-7}=-\infty$
Jawabannya adalah A.
Soal 7
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(3-2x)^4}{(x+1)^2(2x^2-5)}$.
A. $latex \displaystyle 2$
B. $latex \displaystyle 4$
C. $latex \displaystyle 6$
D. $latex \displaystyle 8$
E. $latex \displaystyle 16$
Suku dominan pembilang adalah
$latex \displaystyle (-2x)^4=16x^4$
Suku dominan penyebut adalah
$latex \displaystyle x^2(2x^2)=2x^4$
Maka
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(3-2x)^4}{(x+1)^2(2x^2-5)}=\frac{16}{2}=8$
Jadi, jawabannya adalah D.
Soal 8
Diketahui $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{ax^2-3x+1}{4x^2+x-5}=\frac{3}{2}$. Nilai $latex \displaystyle a$ adalah ….
A. $latex \displaystyle 3$
B. $latex \displaystyle 4$
C. $latex \displaystyle 6$
D. $latex \displaystyle 8$
E. $latex \displaystyle 12$
Derajat pembilang dan penyebut sama-sama $latex \displaystyle 2$.
Maka
$latex \displaystyle \frac{a}{4}=\frac{3}{2}$
Kalikan kedua ruas dengan $latex \displaystyle 4$.
$latex \displaystyle a=6$
Jadi, jawabannya adalah C.
B. Akar Linear dan Perbandingan Bentuk Akar
Soal 9
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{5x+7}-\sqrt{3x-2}\right)$.
A. $latex \displaystyle -\infty$
B. $latex \displaystyle -2$
C. $latex \displaystyle 0$
D. $latex \displaystyle 2$
E. $latex \displaystyle \infty$
Suku dominannya adalah
$latex \displaystyle \sqrt{5x}-\sqrt{3x}$
Faktorkan $latex \displaystyle \sqrt{x}$ secara konseptual.
$latex \displaystyle \sqrt{5x}-\sqrt{3x}=(\sqrt{5}-\sqrt{3})\sqrt{x}$
Karena
$latex \displaystyle \sqrt{5}-\sqrt{3}>0$
dan
$latex \displaystyle \sqrt{x}\to\infty$
maka limit menuju
$latex \displaystyle \infty$
Jadi, jawabannya adalah E.
Soal 10
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x+9}-\sqrt{4x-7}\right)$.
A. $latex \displaystyle -2$
B. $latex \displaystyle -1$
C. $latex \displaystyle 0$
D. $latex \displaystyle 1$
E. $latex \displaystyle 2$
Koefisien $latex \displaystyle x$ di dalam kedua akar sama.
Gunakan sekawan.
$latex \displaystyle \sqrt{4x+9}-\sqrt{4x-7}=\frac{16}{\sqrt{4x+9}+\sqrt{4x-7}}$
Pembilang tetap bernilai $latex \displaystyle 16$, sedangkan penyebut bertambah tanpa batas.
Maka
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x+9}-\sqrt{4x-7}\right)=0$
Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 11
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{2x+1}-\sqrt{5x+3}\right)$.
A. $latex \displaystyle -\infty$
B. $latex \displaystyle -3$
C. $latex \displaystyle 0$
D. $latex \displaystyle 3$
E. $latex \displaystyle \infty$
Suku dominannya adalah
$latex \displaystyle (\sqrt{2}-\sqrt{5})\sqrt{x}$
Karena
$latex \displaystyle \sqrt{2}-\sqrt{5}<0$
sedangkan
$latex \displaystyle \sqrt{x}\to\infty$
maka keseluruhan bentuk menuju
$latex \displaystyle -\infty$
Jadi, jawabannya adalah A.
Soal 12
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x+1}}{\sqrt{x+2}}$.
A. $latex \displaystyle 1$
B. $latex \displaystyle 2$
C. $latex \displaystyle 3$
D. $latex \displaystyle 6$
E. $latex \displaystyle 9$
Faktorkan $latex \displaystyle x$ di dalam masing-masing akar.
$latex \displaystyle \frac{\sqrt{9x+1}}{\sqrt{x+2}}=\frac{\sqrt{x}\sqrt{9+\frac{1}{x}}}{\sqrt{x}\sqrt{1+\frac{2}{x}}}$
Faktor $latex \displaystyle \sqrt{x}$ dapat disederhanakan.
Ketika $latex \displaystyle x\to\infty$,
$latex \displaystyle \sqrt{9+\frac{1}{x}}\to3$
dan
$latex \displaystyle \sqrt{1+\frac{2}{x}}\to1$
Maka limitnya adalah
$latex \displaystyle 3$
Jadi, jawabannya adalah C.
C. Selisih Akar Kuadrat
Soal 13
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+8x+3}-\sqrt{x^2+2x+5}\right)$.
A. $latex \displaystyle 2$
B. $latex \displaystyle 3$
C. $latex \displaystyle 4$
D. $latex \displaystyle 5$
E. $latex \displaystyle 6$
Kedua akar mempunyai koefisien $latex \displaystyle x^2$ yang sama, yaitu $latex \displaystyle 1$.
Gunakan rumus
$latex \displaystyle \frac{b-p}{2\sqrt{a}}$
Dengan
$latex \displaystyle a=1$
$latex \displaystyle b=8$
dan
$latex \displaystyle p=2$
Maka
$latex \displaystyle \frac{8-2}{2\sqrt{1}}=3$
Jadi, jawabannya adalah B.
Soal 14
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2+12x+1}-\sqrt{4x^2-4x+9}\right)$.
A. $latex \displaystyle 2$
B. $latex \displaystyle 3$
C. $latex \displaystyle 4$
D. $latex \displaystyle 6$
E. $latex \displaystyle 8$
Koefisien kuadrat kedua akar sama-sama
$latex \displaystyle 4$
Gunakan rumus selisih akar.
$latex \displaystyle \frac{12-(-4)}{2\sqrt{4}}=\frac{16}{4}=4$
Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 15
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^2+6x+5}-(3x-2)\right)$.
A. $latex \displaystyle 1$
B. $latex \displaystyle 2$
C. $latex \displaystyle 3$
D. $latex \displaystyle 4$
E. $latex \displaystyle 5$
Untuk nilai $latex \displaystyle x$ yang cukup besar,
$latex \displaystyle 3x-2>0$
sehingga
$latex \displaystyle 3x-2=\sqrt{(3x-2)^2}$
Hitung kuadratnya.
$latex \displaystyle (3x-2)^2=9x^2-12x+4$
Maka soal berubah menjadi
$latex \displaystyle \sqrt{9x^2+6x+5}-\sqrt{9x^2-12x+4}$
Gunakan rumus selisih akar.
$latex \displaystyle \frac{6-(-12)}{2\sqrt{9}}=\frac{18}{6}=3$
Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 16
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{(x+3)(x+9)}-x\right)$.
A. $latex \displaystyle 3$
B. $latex \displaystyle 4$
C. $latex \displaystyle 5$
D. $latex \displaystyle 6$
E. $latex \displaystyle 9$
Kembangkan isi akar.
$latex \displaystyle (x+3)(x+9)=x^2+12x+27$
Maka
$latex \displaystyle \sqrt{(x+3)(x+9)}-x=\sqrt{x^2+12x+27}-\sqrt{x^2}$
Gunakan rumus selisih akar.
$latex \displaystyle \frac{12}{2}=6$
Jadi, jawabannya adalah D.
Soal 17
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{(2x-1)(2x+5)}-2x\right)$.
A. $latex \displaystyle 1$
B. $latex \displaystyle 2$
C. $latex \displaystyle 3$
D. $latex \displaystyle 4$
E. $latex \displaystyle 5$
Kembangkan isi akar.
$latex \displaystyle (2x-1)(2x+5)=4x^2+8x-5$
Maka
$latex \displaystyle \sqrt{(2x-1)(2x+5)}-2x=\sqrt{4x^2+8x-5}-\sqrt{4x^2}$
Gunakan rumus selisih akar.
$latex \displaystyle \frac{8}{2\sqrt{4}}=\frac{8}{4}=2$
Jadi, jawabannya adalah B.
Soal 18
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{3x^2+15x+2}-\sqrt{3}x\right)$.
A. $latex \displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}$
B. $latex \displaystyle 2\sqrt{3}$
C. $latex \displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}$
D. $latex \displaystyle 3\sqrt{3}$
E. $latex \displaystyle 5\sqrt{3}$
Untuk $latex \displaystyle x\to\infty$,
$latex \displaystyle \sqrt{3}x=\sqrt{3x^2}$
Maka gunakan rumus selisih akar.
$latex \displaystyle \frac{15}{2\sqrt{3}}$
Rasionalkan penyebut.
$latex \displaystyle \frac{15}{2\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 19
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{5x^2+2x+1}-\sqrt{3x^2+7x-2}\right)$.
A. $latex \displaystyle -\infty$
B. $latex \displaystyle -2$
C. $latex \displaystyle 0$
D. $latex \displaystyle 2$
E. $latex \displaystyle \infty$
Koefisien suku kuadrat pada kedua akar berbeda.
Bagian dominannya adalah
$latex \displaystyle \sqrt{5}x-\sqrt{3}x$
atau
$latex \displaystyle (\sqrt{5}-\sqrt{3})x$
Karena
$latex \displaystyle \sqrt{5}-\sqrt{3}>0$
maka ekspresi tumbuh tanpa batas.
Jadi,
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{5x^2+2x+1}-\sqrt{3x^2+7x-2}\right)=\infty$
Jawabannya adalah E.
Soal 20
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^2+18x}-\sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+6x}\right)$.
A. $latex \displaystyle -3$
B. $latex \displaystyle -2$
C. $latex \displaystyle -1$
D. $latex \displaystyle 0$
E. $latex \displaystyle 2$
Suku dominannya adalah
$latex \displaystyle 3x-2x-x=0$
Jadi, kita perlu melihat bagian berikutnya.
Untuk akar pertama,
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^2+18x}-3x\right)=\frac{18}{2\sqrt{9}}=3$
Untuk akar kedua,
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2+8x}-2x\right)=\frac{8}{2\sqrt{4}}=2$
Untuk akar ketiga,
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)=\frac{6}{2}=3$
Maka limit keseluruhan adalah
$latex \displaystyle 3-2-3=-2$
Jadi, jawabannya adalah B.
D. Limit Menuju Negatif Tak Hingga
Soal 21
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+6x+5}+x\right)$.
A. $latex \displaystyle -6$
B. $latex \displaystyle -3$
C. $latex \displaystyle 0$
D. $latex \displaystyle 3$
E. $latex \displaystyle 6$
Gunakan sekawan.
$latex \displaystyle \sqrt{x^2+6x+5}+x=\frac{6x+5}{\sqrt{x^2+6x+5}-x}$
Karena
$latex \displaystyle x\to-\infty$
bagi pembilang dan penyebut dengan
$latex \displaystyle -x$
Pada pembilang,
$latex \displaystyle \frac{6x+5}{-x}=-6-\frac{5}{x}$
sehingga nilainya menuju
$latex \displaystyle -6$
Pada penyebut,
$latex \displaystyle \frac{\sqrt{x^2+6x+5}}{-x}=\sqrt{1+\frac{6}{x}+\frac{5}{x^2}}$
yang menuju
$latex \displaystyle 1$
Selain itu,
$latex \displaystyle \frac{-x}{-x}=1$
Maka penyebut menuju
$latex \displaystyle 2$
Sehingga limitnya
$latex \displaystyle \frac{-6}{2}=-3$
Jadi, jawabannya adalah B.
Soal 22
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2-4x+1}}$.
A. $latex \displaystyle -1$
B. $latex \displaystyle -\frac{1}{2}$
C. $latex \displaystyle 0$
D. $latex \displaystyle \frac{1}{2}$
E. $latex \displaystyle 1$
Faktorkan $latex \displaystyle x^2$ dari dalam akar.
$latex \displaystyle \sqrt{x^2-4x+1}=|x|\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}$
Karena
$latex \displaystyle x\to-\infty$
maka
$latex \displaystyle |x|=-x$
Sehingga
$latex \displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2-4x+1}}=-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}}$
Ketika $latex \displaystyle x\to-\infty$, penyebut menuju $latex \displaystyle 1$.
Jadi,
$latex \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2-4x+1}}=-1$
Jawabannya adalah A.
Soal 23
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{4x^2+8x+3}+2x\right)$.
A. $latex \displaystyle -4$
B. $latex \displaystyle -2$
C. $latex \displaystyle 0$
D. $latex \displaystyle 2$
E. $latex \displaystyle 4$
Untuk $latex \displaystyle x\to-\infty$,
$latex \displaystyle \sqrt{4x^2}=-2x$
Jadi, bagian dominan akar akan saling menghilangkan dengan $latex \displaystyle 2x$.
Gunakan sekawan.
$latex \displaystyle \sqrt{4x^2+8x+3}+2x=\frac{8x+3}{\sqrt{4x^2+8x+3}-2x}$
Bagi pembilang dan penyebut dengan
$latex \displaystyle -x$
Pembilang menuju
$latex \displaystyle -8$
Pada penyebut,
$latex \displaystyle \frac{\sqrt{4x^2+8x+3}}{-x}=\sqrt{4+\frac{8}{x}+\frac{3}{x^2}}\to2$
dan
$latex \displaystyle \frac{-2x}{-x}=2$
Maka penyebut menuju
$latex \displaystyle 4$
Sehingga
$latex \displaystyle \frac{-8}{4}=-2$
Jadi, jawabannya adalah B.
Soal 24
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2-2x+7}-\sqrt{x^2+4x+1}\right)$.
A. $latex \displaystyle -3$
B. $latex \displaystyle -1$
C. $latex \displaystyle 0$
D. $latex \displaystyle 1$
E. $latex \displaystyle 3$
Untuk $latex \displaystyle x\to-\infty$, gunakan rumus
$latex \displaystyle \frac{p-b}{2\sqrt{a}}$
Pada soal,
$latex \displaystyle a=1$
$latex \displaystyle b=-2$
dan
$latex \displaystyle p=4$
Maka
$latex \displaystyle \frac{4-(-2)}{2}=3$
Jadi, jawabannya adalah E.
E. Akar Pangkat Tiga
Soal 25
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+9x^2+2x+1}-x\right)$.
A. $latex \displaystyle 1$
B. $latex \displaystyle 2$
C. $latex \displaystyle 3$
D. $latex \displaystyle 6$
E. $latex \displaystyle 9$
Misalkan
$latex \displaystyle A=\sqrt[3]{x^3+9x^2+2x+1}$
Gunakan identitas selisih kubus.
$latex \displaystyle A^3-x^3=(A-x)(A^2+Ax+x^2)$
Maka
$latex \displaystyle A-x=\frac{A^3-x^3}{A^2+Ax+x^2}$
Karena
$latex \displaystyle A^3=x^3+9x^2+2x+1$
maka
$latex \displaystyle A^3-x^3=9x^2+2x+1$
Sehingga
$latex \displaystyle A-x=\frac{9x^2+2x+1}{A^2+Ax+x^2}$
Bagi pembilang dan penyebut dengan $latex \displaystyle x^2$.
$latex \displaystyle A-x=\frac{9+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{\left(\frac{A}{x}\right)^2+\frac{A}{x}+1}$
Selanjutnya,
$latex \displaystyle \frac{A}{x}=\sqrt[3]{1+\frac{9}{x}+\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}}$
Ketika $latex \displaystyle x\to\infty$,
$latex \displaystyle \frac{A}{x}\to1$
Maka
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}(A-x)=\frac{9+0+0}{1^2+1+1}$
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}(A-x)=\frac{9}{3}$
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}(A-x)=3$
Karena $latex \displaystyle A=\sqrt[3]{x^3+9x^2+2x+1}$, diperoleh
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+9x^2+2x+1}-x\right)=3$
Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 26
Tentukan nilai $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{8x^3+12x^2+5x+1}-2x\right)$.
A. $latex \displaystyle \frac{1}{2}$
B. $latex \displaystyle 1$
C. $latex \displaystyle \frac{3}{2}$
D. $latex \displaystyle 2$
E. $latex \displaystyle 3$
Gunakan pola selisih dua akar pangkat tiga.
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{ax^3+bx^2+\cdots}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+\cdots}\right)=\frac{b-p}{3\sqrt[3]{a^2}}$
Pada soal, bentuk kedua adalah
$latex \displaystyle 2x=\sqrt[3]{8x^3}$
Dengan demikian,
$latex \displaystyle a=8$
$latex \displaystyle b=12$
$latex \displaystyle p=0$
Substitusikan ke rumus.
$latex \displaystyle \frac{b-p}{3\sqrt[3]{a^2}}=\frac{12-0}{3\sqrt[3]{8^2}}$
Karena
$latex \displaystyle 8^2=64$
dan
$latex \displaystyle \sqrt[3]{64}=4$
maka
$latex \displaystyle \frac{12}{3(4)}=\frac{12}{12}=1$
Jadi, nilai limitnya adalah
$latex \displaystyle 1$
Jadi, jawabannya adalah B.
F. Parameter dan HOTS
Soal 27
Diketahui $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+ax+5}-x\right)=4$. Nilai $latex \displaystyle a$ adalah ….
A. $latex \displaystyle 4$
B. $latex \displaystyle 6$
C. $latex \displaystyle 8$
D. $latex \displaystyle 10$
E. $latex \displaystyle 12$
Gunakan pola
$latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+ax+c}-x\right)=\frac{a}{2}$
Diketahui hasilnya
$latex \displaystyle 4$
Maka
$latex \displaystyle \frac{a}{2}=4$
Sehingga
$latex \displaystyle a=8$
Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 28
Diketahui $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{kx^2+6x+1}-3x\right)$ bernilai berhingga. Tentukan nilai $latex \displaystyle k$ dan nilai limitnya.
A. $latex \displaystyle k=3$ dan limit $latex \displaystyle 1$
B. $latex \displaystyle k=6$ dan limit $latex \displaystyle 1$
C. $latex \displaystyle k=9$ dan limit $latex \displaystyle 1$
D. $latex \displaystyle k=9$ dan limit $latex \displaystyle 3$
E. $latex \displaystyle k=18$ dan limit $latex \displaystyle 1$
Agar limit berhingga, suku dominan kedua bagian harus saling menghilangkan.
Suku dominan akar adalah
$latex \displaystyle \sqrt{k}x$
Karena pembandingnya adalah
$latex \displaystyle 3x$
maka harus berlaku
$latex \displaystyle \sqrt{k}=3$
Sehingga
$latex \displaystyle k=9$
Sekarang tentukan limitnya.
$latex \displaystyle \sqrt{9x^2+6x+1}-3x=\frac{6x+1}{\sqrt{9x^2+6x+1}+3x}$
Bagi pembilang dan penyebut dengan $latex \displaystyle x$.
$latex \displaystyle \frac{6+\frac{1}{x}}{\sqrt{9+\frac{6}{x}+\frac{1}{x^2}}+3}$
Ketika $latex \displaystyle x\to\infty$, bentuk tersebut menuju
$latex \displaystyle \frac{6}{3+3}=1$
Jadi,
$latex \displaystyle k=9$
dan nilai limitnya
$latex \displaystyle 1$
Jawabannya adalah C.
Soal 29
Diketahui $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+6x+c}-x-3\right)=\frac{5}{2}$. Nilai $latex \displaystyle c$ adalah ….
A. $latex \displaystyle 9$
B. $latex \displaystyle 11$
C. $latex \displaystyle 12$
D. $latex \displaystyle 14$
E. $latex \displaystyle 16$
Perhatikan
$latex \displaystyle (x+3)^2=x^2+6x+9$
Maka
$latex \displaystyle \sqrt{x^2+6x+c}-x-3=\sqrt{x^2+6x+c}-(x+3)$
Gunakan sekawan.
$latex \displaystyle \sqrt{x^2+6x+c}-(x+3)=\frac{c-9}{\sqrt{x^2+6x+c}+x+3}$
Kalikan dengan $latex \displaystyle x$.
$latex \displaystyle x\left(\sqrt{x^2+6x+c}-x-3\right)=\frac{x(c-9)}{\sqrt{x^2+6x+c}+x+3}$
Bagi pembilang dan penyebut dengan $latex \displaystyle x$.
Ketika $latex \displaystyle x\to\infty$, limitnya menjadi
$latex \displaystyle \frac{c-9}{2}$
Diketahui
$latex \displaystyle \frac{c-9}{2}=\frac{5}{2}$
Maka
$latex \displaystyle c-9=5$
Sehingga
$latex \displaystyle c=14$
Jadi, jawabannya adalah D.
Soal 30
Diketahui $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^2+ax+b}-(3x+2)\right)=1$ dan $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty}x\left[\sqrt{9x^2+ax+b}-(3x+2)-1\right]=2$. Tentukan nilai $latex \displaystyle a+b$.
A. $latex \displaystyle 30$
B. $latex \displaystyle 33$
C. $latex \displaystyle 36$
D. $latex \displaystyle 39$
E. $latex \displaystyle 42$
Gunakan kondisi pertama.
Misalkan
$latex \displaystyle E(x)=\sqrt{9x^2+ax+b}-(3x+2)$
Gunakan sekawan.
$latex \displaystyle E(x)=\frac{9x^2+ax+b-(3x+2)^2}{\sqrt{9x^2+ax+b}+3x+2}$
Karena
$latex \displaystyle (3x+2)^2=9x^2+12x+4$
maka
$latex \displaystyle E(x)=\frac{(a-12)x+(b-4)}{\sqrt{9x^2+ax+b}+3x+2}$
Bagi pembilang dan penyebut dengan $latex \displaystyle x$.
Ketika $latex \displaystyle x\to\infty$,
$latex \displaystyle E(x)\to\frac{a-12}{6}$
Diketahui nilai limitnya
$latex \displaystyle 1$
Maka
$latex \displaystyle \frac{a-12}{6}=1$
Sehingga
$latex \displaystyle a=18$
Sekarang gunakan kondisi kedua.
Setelah $latex \displaystyle a=18$,
$latex \displaystyle E(x)-1=\sqrt{9x^2+18x+b}-(3x+3)$
Karena
$latex \displaystyle (3x+3)^2=9x^2+18x+9$
maka
$latex \displaystyle E(x)-1=\frac{b-9}{\sqrt{9x^2+18x+b}+3x+3}$
Kalikan dengan $latex \displaystyle x$.
$latex \displaystyle x(E(x)-1)=\frac{x(b-9)}{\sqrt{9x^2+18x+b}+3x+3}$
Bagi pembilang dan penyebut dengan $latex \displaystyle x$.
Limitnya menjadi
$latex \displaystyle \frac{b-9}{6}$
Diketahui
$latex \displaystyle \frac{b-9}{6}=2$
Maka
$latex \displaystyle b-9=12$
Sehingga
$latex \displaystyle b=21$
Dengan demikian,
$latex \displaystyle a+b=18+21=39$
Jadi, jawabannya adalah D.
Cek Pemahaman Konsep
Setelah menyelesaikan 30 soal tersebut, jawab pertanyaan berikut tanpa melihat rumus terlebih dahulu.
- Mengapa fungsi rasional dengan derajat penyebut lebih tinggi daripada pembilang mempunyai limit nol?
- Mengapa bentuk $latex \displaystyle \infty-\infty$ tidak dapat langsung dianggap bernilai nol?
- Mengapa koefisien suku $latex \displaystyle x^2$ perlu dibandingkan terlebih dahulu pada selisih dua akar kuadrat?
- Mengapa penggunaan $latex \displaystyle \sqrt{x^2}=x$ dapat menghasilkan kesalahan ketika $latex \displaystyle x\to-\infty$?
- Mengapa pada soal parameter kita sering harus membuat suku dominan saling menghilangkan terlebih dahulu?
Kesalahan Umum dalam Limit Tak Hingga
Menganggap $latex \displaystyle \infty$ sebagai Bilangan
Tak hingga bukan bilangan real. Karena itu,
$latex \displaystyle \frac{\infty}{\infty}$
tidak dapat dihitung seperti pecahan biasa.
Menghafal Aturan Derajat Tanpa Memahami Alasannya
Aturan derajat muncul karena setelah dibagi dengan pangkat tertinggi, suku berpangkat lebih rendah berubah menjadi bentuk seperti $latex \displaystyle \frac{1}{x}$, $latex \displaystyle \frac{1}{x^2}$, atau $latex \displaystyle \frac{1}{x^3}$ yang menuju nol.
Salah Menentukan Derajat Bentuk Faktor
Perhatikan
$latex \displaystyle (2x-1)(3x^2+x+5)$
Derajat faktor pertama adalah $latex \displaystyle 1$, sedangkan derajat faktor kedua adalah $latex \displaystyle 2$.
Jadi, derajat hasil kalinya adalah
$latex \displaystyle 3$
dan suku dominannya adalah
$latex \displaystyle 6x^3$
Menganggap $latex \displaystyle \infty-\infty=0$
Bentuk
$latex \displaystyle \sqrt{x^2+6x}-x$
mempunyai limit
$latex \displaystyle 3$
Sedangkan
$latex \displaystyle \sqrt{4x^2+x}-x$
menuju
$latex \displaystyle \infty$
Jadi, bentuk awal $latex \displaystyle \infty-\infty$ belum menentukan hasil.
Menggunakan Rumus Selisih Akar Tanpa Memeriksa Koefisien Kuadrat
Rumus
$latex \displaystyle \frac{b-p}{2\sqrt{a}}$
hanya dapat digunakan langsung ketika koefisien $latex \displaystyle x^2$ pada kedua akar sama.
Melupakan Nilai Mutlak
Identitas yang benar adalah
$latex \displaystyle \sqrt{x^2}=|x|$
Untuk
$latex \displaystyle x\to-\infty$
berlaku
$latex \displaystyle |x|=-x$
Tidak Memeriksa Arah Limit
Bentuk
$latex \displaystyle 2x$
menuju
$latex \displaystyle \infty$
ketika
$latex \displaystyle x\to\infty$
tetapi menuju
$latex \displaystyle -\infty$
ketika
$latex \displaystyle x\to-\infty$
Arah limit merupakan bagian dari informasi soal, bukan sekadar simbol tambahan.
Refleksi
- Mengapa suku berpangkat lebih rendah semakin tidak berpengaruh ketika $latex \displaystyle |x|$ semakin besar?
- Bagaimana cara mengetahui sejak awal apakah selisih dua akar akan menghasilkan limit berhingga atau justru menuju tak hingga?
- Mengapa bentuk sekawan dapat mengungkap informasi yang tidak terlihat pada bentuk $latex \displaystyle \infty-\infty$?
- Jika arah limit diubah dari $latex \displaystyle x\to\infty$ menjadi $latex \displaystyle x\to-\infty$, bagian mana dari strategi penyelesaian yang harus diperiksa kembali?
Kesimpulan
Limit tak hingga mempelajari kecenderungan nilai fungsi ketika variabel bergerak menuju $latex \displaystyle \infty$ atau $latex \displaystyle -\infty$. Simbol tak hingga bukan bilangan real, sehingga limit tidak diselesaikan dengan memperlakukan $latex \displaystyle \infty$ sebagai angka biasa.
Pada fungsi polinomial dan rasional, gagasan utama adalah suku dominan. Ketika nilai $latex \displaystyle |x|$ sangat besar, suku berpangkat tertinggi tumbuh jauh lebih cepat dibandingkan suku berpangkat lebih rendah.
Jika derajat pembilang lebih kecil daripada penyebut, limit fungsi rasional menuju $latex \displaystyle 0$. Jika derajatnya sama, limit ditentukan oleh perbandingan koefisien suku tertinggi. Jika derajat pembilang lebih besar, tanda dan arah pertumbuhan harus dianalisis dari suku dominannya.
Pada bentuk akar, kita harus memeriksa terlebih dahulu bagian dominan. Jika dua akar mempunyai bagian dominan yang sama, bentuk sekawan dapat menghilangkan bentuk tak tentu $latex \displaystyle \infty-\infty$ dan memperlihatkan suku berikutnya yang menentukan limit.
Identitas
$latex \displaystyle \sqrt{x^2}=|x|$
sangat penting, terutama ketika $latex \displaystyle x\to-\infty$.
Pada akar pangkat tiga, prinsip yang sama dapat diterapkan menggunakan identitas selisih kubus.
Untuk soal parameter, strategi yang efektif adalah menganalisis informasi secara bertahap. Suku dominan biasanya harus disesuaikan terlebih dahulu agar limit berhingga, kemudian suku tingkat berikutnya digunakan untuk menentukan parameter yang tersisa.
Dengan memahami suku dominan, arah limit, nilai mutlak, bentuk sekawan, dan struktur fungsi, kita tidak perlu menghafal setiap bentuk soal secara terpisah. Kita dapat menentukan strategi berdasarkan alasan matematis di baliknya.
FAQ
Apa yang dimaksud dengan limit tak hingga?
Limit tak hingga membahas kecenderungan nilai suatu fungsi ketika variabel menuju $latex \displaystyle \infty$ atau $latex \displaystyle -\infty$.
Apakah $latex \displaystyle \infty$ merupakan bilangan?
Tidak. Simbol $latex \displaystyle \infty$ menunjukkan keadaan tanpa batas dan tidak diperlakukan seperti bilangan real biasa.
Bagaimana cara cepat menentukan limit fungsi rasional?
Bandingkan derajat pembilang dan penyebut. Jika derajat pembilang lebih kecil, hasilnya $latex \displaystyle 0$. Jika sama, gunakan perbandingan koefisien tertinggi. Jika pembilang lebih tinggi, analisis suku dominan beserta tandanya.
Kapan bentuk sekawan digunakan?
Bentuk sekawan terutama digunakan pada selisih bentuk akar yang menghasilkan bentuk tak tentu $latex \displaystyle \infty-\infty$.
Mengapa $latex \displaystyle \sqrt{x^2}=|x|$ penting?
Karena untuk $latex \displaystyle x\to\infty$ berlaku $latex \displaystyle |x|=x$, sedangkan untuk $latex \displaystyle x\to-\infty$ berlaku $latex \displaystyle |x|=-x$. Mengabaikan nilai mutlak dapat menyebabkan kesalahan tanda pada hasil limit.
