Setelah mempelajari Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kamu diharapkan mampu:
- memahami gagasan utama di balik Ketaksamaan Cauchy-Schwarz;
- mengenali bentuk standar dan bentuk-bentuk turunannya;
- menjelaskan alasan matematis mengapa ketaksamaan tersebut selalu berlaku;
- menentukan kondisi terjadinya tanda sama dengan;
- menggunakan Cauchy-Schwarz untuk membuktikan ketaksamaan;
- menggunakan bentuk Engel untuk menangani pecahan;
- menentukan nilai maksimum atau minimum suatu ekspresi;
- menghubungkan Cauchy-Schwarz dengan vektor, RMS-AM, dan optimisasi;
- memilih bentuk Cauchy-Schwarz yang paling efisien untuk suatu soal;
- menyelesaikan soal tingkat dasar, menengah, hingga HOTS.
Mari Berpikir
Bayangkan ada dua kelompok bilangan. Masing-masing bilangan dari kelompok pertama dipasangkan dengan bilangan pada posisi yang sama di kelompok kedua, kemudian setiap pasangan dikalikan dan semua hasilnya dijumlahkan.
Pertanyaannya, seberapa besar jumlah tersebut bisa terjadi?
Sekilas kita mungkin merasa hasilnya bisa tumbuh bebas. Ternyata tidak. Ada sebuah batas yang sangat kuat. Besarnya hasil kali dalam dua kumpulan bilangan tidak dapat melampaui hasil kali ukuran kedua kumpulan tersebut.
Ide inilah yang menjadi jantung Ketaksamaan Cauchy-Schwarz.
Yang bikin ketaksamaan ini menarik bukan sekadar rumusnya. Cauchy-Schwarz adalah semacam “mesin pembatas”. Begitu pola yang cocok ditemukan, banyak masalah maksimum, minimum, pecahan, akar, sampai geometri bisa selesai dengan jauh lebih singkat.
Pengertian Ketaksamaan Cauchy-Schwarz
Untuk bilangan real \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) dan \(b_1,b_2,\ldots,b_n\), berlaku
$$\displaystyle \left(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2\right)\ge\left(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\right)^2$$
Dalam notasi sigma, bentuk tersebut ditulis
$$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)\ge\left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2$$
Coba lihat polanya.
Di ruas kiri ada hasil kali dua jumlah kuadrat.
Di ruas kanan ada kuadrat dari jumlah hasil kali pasangan yang bersesuaian.
Ini adalah pola dasar yang harus kamu kenali.
Bentuk Dua Variabel
Untuk dua pasang bilangan real, Cauchy-Schwarz menjadi
$$\displaystyle (a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge(ax+by)^2$$
Bentuk dua variabel ini sangat bagus untuk membangun intuisi karena kita bisa membuktikannya hanya dengan aljabar dasar.
Perhatikan selisih kedua ruas.
$$\displaystyle (a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2$$
Kembangkan bagian pertama.
$$\displaystyle (a^2+b^2)(x^2+y^2)=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2$$
Kembangkan bagian kedua.
$$\displaystyle (ax+by)^2=a^2x^2+2abxy+b^2y^2$$
Kurangkan.
$$\displaystyle (a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2=a^2y^2-2abxy+b^2x^2$$
Ruas kanan merupakan kuadrat sempurna.
$$\displaystyle a^2y^2-2abxy+b^2x^2=(ay-bx)^2$$
Karena kuadrat bilangan real selalu tidak negatif,
$$\displaystyle (ay-bx)^2\ge0$$
maka
$$\displaystyle (a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge(ax+by)^2$$
Jadi, ketaksamaan yang kelihatannya cukup canggih sebenarnya berakar pada satu fakta sederhana: kuadrat bilangan real tidak pernah negatif.
Makna Geometri Cauchy-Schwarz
Cauchy-Schwarz menjadi lebih masuk akal kalau dilihat melalui vektor.
Misalkan terdapat dua vektor \(\mathbf{u}\) dan \(\mathbf{v}\). Hasil kali dalamnya memenuhi
$$\displaystyle \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta$$
dengan \(\theta\) adalah sudut antara kedua vektor.
Karena
$$\displaystyle -1\le\cos\theta\le1$$
maka
$$\displaystyle |\cos\theta|\le1$$
Akibatnya,
$$\displaystyle |\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\le|\mathbf{u}||\mathbf{v}|$$
Jika kedua ruas dikuadratkan,
$$\displaystyle (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^2\le|\mathbf{u}|^2|\mathbf{v}|^2$$
Inilah Cauchy-Schwarz versi vektor.
Secara visual, hasil kali dalam akan mencapai nilai mutlak terbesar ketika kedua vektor berada pada satu garis yang sama. Kalau sudutnya berubah, faktor \(\cos\theta\) mengecil dalam nilai mutlak sehingga hasil kali dalam juga mengecil.
Artinya, kondisi kesamaan pada Cauchy-Schwarz sebenarnya punya makna geometri yang sangat jelas.
Syarat Kesamaan Cauchy-Schwarz
Pada
$$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)\ge\left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2$$
tanda sama dengan terjadi apabila kedua kelompok bilangan sebanding.
Artinya, terdapat konstanta real \(\lambda\) sehingga
$$\displaystyle a_i=\lambda b_i$$
untuk setiap indeks yang bersesuaian.
Dalam bentuk vektor,
$$\displaystyle (a_1,a_2,\ldots,a_n)=\lambda(b_1,b_2,\ldots,b_n)$$
Untuk kasus dua variabel,
$$\displaystyle (a,b)=\lambda(x,y)$$
Jika semua penyebut yang diperlukan tidak nol, kondisi tersebut dapat ditulis dalam bentuk perbandingan.
$$\displaystyle a:b=x:y$$
Namun, bentuk “kedua vektor sebanding” lebih aman karena tetap bermakna walaupun ada komponen bernilai nol.
Mengapa Syarat Kesamaan Sangat Penting?
Misalkan dari Cauchy-Schwarz kita memperoleh
$$\displaystyle F(x)\le10$$
Kita baru memperoleh batas atas.
Agar \(10\) benar-benar menjadi nilai maksimum, harus ada nilai variabel yang memenuhi semua syarat soal sekaligus membuat tanda sama dengan terjadi.
Kalau kondisi kesamaan tidak mungkin dicapai, berarti batas tersebut belum tentu maksimum sebenarnya.
Pembuktian Cauchy-Schwarz dengan Fungsi Kuadrat
Sekarang kita buktikan bentuk umum menggunakan fungsi kuadrat.
Definisikan
$$\displaystyle f(t)=\sum_{i=1}^{n}(a_it-b_i)^2$$
Setiap suku merupakan kuadrat bilangan real, sehingga
$$\displaystyle f(t)\ge0$$
untuk setiap bilangan real \(t\).
Kembangkan.
$$\displaystyle f(t)=\sum_{i=1}^{n}(a_i^2t^2-2a_ib_it+b_i^2)$$
Kelompokkan berdasarkan pangkat \(t\).
$$\displaystyle f(t)=\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)t^2-2\left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)t+\sum_{i=1}^{n}b_i^2$$
Misalkan
$$\displaystyle A=\sum_{i=1}^{n}a_i^2$$ $$\displaystyle B=\sum_{i=1}^{n}a_ib_i$$ $$\displaystyle C=\sum_{i=1}^{n}b_i^2$$
Maka
$$\displaystyle f(t)=At^2-2Bt+C$$
Jika \(A\gt0\), fungsi kuadrat tersebut selalu tidak negatif sehingga diskriminannya tidak positif.
$$\displaystyle D\le0$$ $$\displaystyle (-2B)^2-4AC\le0$$ $$\displaystyle 4B^2-4AC\le0$$ $$\displaystyle B^2\le AC$$
Substitusikan kembali.
$$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2\le\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)$$
Itulah Ketaksamaan Cauchy-Schwarz.
Kalau \(A=0\), berarti seluruh \(a_i=0\). Ketaksamaan langsung benar karena ruas kanan juga bernilai nol.
Apa Ide Besar dari Pembuktian Ini?
Triknya bukan sekadar menggunakan diskriminan.
Ide utamanya adalah membangun sesuatu yang pasti tidak negatif, yaitu jumlah kuadrat. Setelah itu, informasi dari sifat tidak negatif tersebut diterjemahkan menjadi ketaksamaan yang kita inginkan.
Strategi seperti ini sering muncul dalam pembuktian ketaksamaan tingkat lanjut.
Bentuk Engel Cauchy-Schwarz
Salah satu bentuk Cauchy-Schwarz yang paling sering digunakan dalam soal olimpiade adalah
$$\displaystyle \frac{x_1^2}{a_1}+\frac{x_2^2}{a_2}+\cdots+\frac{x_n^2}{a_n}\ge\frac{(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2}{a_1+a_2+\cdots+a_n}$$
dengan
$$\displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_n\gt0$$
Untuk tiga suku,
$$\displaystyle \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{(x+y+z)^2}{a+b+c}$$
Bentuk ini biasa disebut bentuk Engel.
Mengapa Bentuk Engel Benar?
Perhatikan pasangan
$$\displaystyle \left(\frac{x}{\sqrt a},\frac{y}{\sqrt b},\frac{z}{\sqrt c}\right)$$
dan
$$\displaystyle (\sqrt a,\sqrt b,\sqrt c)$$
Gunakan Cauchy-Schwarz.
$$\displaystyle \left(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\right)(a+b+c)\ge(x+y+z)^2$$
Karena \(a+b+c\gt0\), bagi kedua ruas dengan \(a+b+c\).
$$\displaystyle \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{(x+y+z)^2}{a+b+c}$$
Kondisi Kesamaan pada Bentuk Engel
Kesamaan terjadi ketika kedua vektor sebanding.
Dari kondisi tersebut diperoleh
$$\displaystyle \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$$
atau secara perbandingan,
$$\displaystyle x:y:z=a:b:c$$
Ini adalah pola yang sangat penting dalam soal minimum.
Jika diketahui
$$\displaystyle x+y+z=S$$
dan ingin meminimumkan
$$\displaystyle \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}$$
maka Cauchy-Schwarz langsung memberi
$$\displaystyle \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{S^2}{a+b+c}$$
dan kesamaan terjadi ketika
$$\displaystyle x:y:z=a:b:c$$
Bentuk Resiprokal
Untuk bilangan positif \(x_1,x_2,\ldots,x_n\), berlaku
$$\displaystyle (x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}\right)\ge n^2$$
Bentuk ini diperoleh dengan memasangkan
$$\displaystyle (\sqrt{x_1},\sqrt{x_2},\ldots,\sqrt{x_n})$$
dengan
$$\displaystyle \left(\frac1{\sqrt{x_1}},\frac1{\sqrt{x_2}},\ldots,\frac1{\sqrt{x_n}}\right)$$
Karena hasil kali setiap pasangan adalah \(1\), jumlah hasil kali menjadi \(n\).
Jika jumlah variabel diketahui,
$$\displaystyle x_1+x_2+\cdots+x_n=S$$
maka
$$\displaystyle \frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}\ge\frac{n^2}{S}$$
Kesamaan terjadi ketika semua variabel sama.
Hubungan Cauchy-Schwarz dengan RMS dan AM
Gunakan Cauchy-Schwarz pada
$$\displaystyle (x_1,x_2,\ldots,x_n)$$
dan
$$\displaystyle (1,1,\ldots,1)$$
Diperoleh
$$\displaystyle n(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\ge(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2$$
Bagi kedua ruas dengan \(n^2\).
$$\displaystyle \frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}\ge\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)^2$$
Untuk bilangan nonnegatif, ambil akar.
$$\displaystyle \sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}}\ge\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$$
Ruas kiri adalah RMS, sedangkan ruas kanan adalah AM.
Jadi,
$$\displaystyle \mathrm{RMS}\ge\mathrm{AM}$$
Cauchy-Schwarz ternyata bukan konsep yang berdiri sendiri. Ia menjadi dasar bagi banyak ketaksamaan lain.
Cauchy-Schwarz untuk Mencari Minimum Jumlah Kuadrat
Misalkan diketahui
$$\displaystyle a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=d$$
Kita ingin mencari minimum
$$\displaystyle x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2$$
Gunakan Cauchy-Schwarz.
$$\displaystyle (a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\ge d^2$$
Maka
$$\displaystyle x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\ge\frac{d^2}{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}$$
Kesamaan terjadi ketika
$$\displaystyle (x_1,x_2,\ldots,x_n)$$
sebanding dengan
$$\displaystyle (a_1,a_2,\ldots,a_n)$$
Inilah salah satu penggunaan Cauchy-Schwarz yang paling efisien dalam optimisasi.
Cauchy-Schwarz untuk Mencari Maksimum Bentuk Linear
Misalkan
$$\displaystyle x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=R^2$$
Kita ingin memaksimumkan
$$\displaystyle a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n$$
Gunakan Cauchy-Schwarz.
$$\displaystyle (a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n)^2\le(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)$$
Substitusikan jumlah kuadrat.
$$\displaystyle (a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n)^2\le R^2(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)$$
Maka
$$\displaystyle |a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n|\le R\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}$$
Jadi nilai maksimum bentuk linear tersebut adalah
$$\displaystyle R\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}$$
selama kondisi kesamaan dapat dicapai.
Cara Memilih Pasangan yang Tepat
Ini bagian yang sering menjadi pembeda antara “tahu rumus” dan “bisa menggunakan rumus”.
Misalkan target mengandung
$$\displaystyle x+y+z$$
Kamu ingin membentuk suku-suku tersebut sebagai hasil kali pasangan.
Contohnya,
$$\displaystyle \frac{x}{\sqrt a}\cdot\sqrt a=x$$
Karena itu, jika melihat
$$\displaystyle \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}$$
pilihan
$$\displaystyle \left(\frac{x}{\sqrt a},\frac{y}{\sqrt b},\frac{z}{\sqrt c}\right)$$
dan
$$\displaystyle (\sqrt a,\sqrt b,\sqrt c)$$
sangat natural.
Kalau melihat
$$\displaystyle \sqrt x+\sqrt y+\sqrt z$$
dan diketahui \(x+y+z\), kamu dapat menggunakan pasangan
$$\displaystyle (\sqrt x,\sqrt y,\sqrt z)$$
dan
$$\displaystyle (1,1,1)$$
sehingga
$$\displaystyle (\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)^2\le3(x+y+z)$$
Contoh Pemahaman Konsep
Diketahui \(x+y=8\). Tentukan nilai minimum \(x^2+y^2\).
Gunakan Cauchy-Schwarz pada pasangan \((1,1)\) dan \((x,y)\).
$$\displaystyle (1^2+1^2)(x^2+y^2)\ge(x+y)^2$$
Karena \(x+y=8\),
$$\displaystyle 2(x^2+y^2)\ge64$$
Maka
$$\displaystyle x^2+y^2\ge32$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y=1:1\).
Karena \(x+y=8\), diperoleh \(x=y=4\).
Nilai minimum benar-benar dapat dicapai. Jadi, nilai minimum \(x^2+y^2\) adalah \(32\).
Contoh Penerapan Bentuk Engel
Jika \(x+y=12\), tentukan nilai minimum
$$\displaystyle \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}$$
Gunakan bentuk Engel.
$$\displaystyle \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}\ge\frac{(x+y)^2}{2+4}$$
Karena \(x+y=12\),
$$\displaystyle \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}\ge\frac{144}{6}$$ $$\displaystyle \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}\ge24$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y=2:4\) atau \(x:y=1:2\).
Karena jumlahnya \(12\), diperoleh \(x=4\) dan \(y=8\).
Jadi, nilai minimum adalah \(24\).
Contoh HOTS Ringan
Diketahui \(x^2+y^2=25\). Tentukan nilai maksimum \(3x+4y\).
Gunakan Cauchy-Schwarz pada pasangan \((3,4)\) dan \((x,y)\).
$$\displaystyle (3x+4y)^2\le(3^2+4^2)(x^2+y^2)$$ $$\displaystyle (3x+4y)^2\le25(25)$$ $$\displaystyle (3x+4y)^2\le625$$
Maka
$$\displaystyle 3x+4y\le25$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y=3:4\).
Nilai \(x=3\) dan \(y=4\) memenuhi \(x^2+y^2=25\) serta menghasilkan \(3x+4y=25\).
Jadi, nilai maksimum adalah \(25\).
Strategi Mengenali Soal Cauchy-Schwarz
Beberapa sinyal berikut sangat sering muncul.
Ada Jumlah Kuadrat dan Bentuk Linear
Contoh pola:
$$\displaystyle x^2+y^2+z^2$$
bersama
$$\displaystyle ax+by+cz$$
Ini sinyal kuat untuk bentuk standar Cauchy-Schwarz.
Ada Pecahan dengan Pembilang Kuadrat
Contoh:
$$\displaystyle \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}$$
Biasanya bentuk Engel adalah pilihan pertama.
Ada Jumlah Kebalikan
Contoh:
$$\displaystyle \frac1a+\frac1b+\frac1c$$
terutama jika diketahui \(a+b+c\).
Gunakan
$$\displaystyle (a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\ge9$$
Ada Jumlah Akar
Contoh:
$$\displaystyle \sqrt x+\sqrt y+\sqrt z$$
Jika \(x+y+z\) diketahui, gunakan Cauchy-Schwarz dengan vektor \((1,1,1)\).
Ada Maksimum Bentuk Linear pada Lingkaran atau Bola
Jika diketahui
$$\displaystyle x^2+y^2=R^2$$
dan targetnya
$$\displaystyle ax+by$$
maka Cauchy-Schwarz hampir selalu menjadi jalan tercepat.
Kesalahan Umum
Tidak Memeriksa Syarat Positif
Bentuk Engel standar memerlukan penyebut positif.
Jangan langsung menggunakan
$$\displaystyle \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{(x+y)^2}{a+b}$$
kalau tanda \(a\) dan \(b\) belum jelas.
Salah Menulis Kondisi Kesamaan
Untuk
$$\displaystyle (1^2+2^2+2^2)(x^2+y^2+z^2)\ge(x+2y+2z)^2$$
kondisi kesamaan adalah
$$\displaystyle x:y:z=1:2:2$$
bukan bentuk perbandingan yang terpotong.
Berhenti Setelah Mendapat Batas
Misalnya kita memperoleh
$$\displaystyle F\ge5$$
Belum cukup untuk menyatakan minimum adalah \(5\).
Kita harus menunjukkan nilai \(5\) dapat dicapai.
Memaksakan Cauchy-Schwarz
Cauchy-Schwarz memang kuat, tetapi tidak setiap ketaksamaan paling efisien diselesaikan dengan cara ini.
Kadang AM-GM, faktorisasi, substitusi, atau identitas aljabar jauh lebih pendek.
Latihan Pilihan Ganda Tingkat Dasar
Soal 1
Bentuk yang sesuai dengan Ketaksamaan Cauchy-Schwarz adalah ….
A. \((a^2+b^2)(x^2+y^2)\le(ax+by)^2\)
B. \((a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge(ax+by)^2\)
C. \((a+b)(x+y)\ge ax+by\)
D. \(a^2+b^2\le2ab\)
E. \((a+b)^2\le a^2+b^2\)
Bentuk dua variabel Cauchy-Schwarz adalah
$$\displaystyle (a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge(ax+by)^2$$
Ruas kiri berupa hasil kali dua jumlah kuadrat, sedangkan ruas kanan berupa kuadrat jumlah hasil kali pasangan.
Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Soal 2
Diberikan \(\mathbf{u}=(3,4)\) dan \(\mathbf{v}=(1,2)\). Batas atas Cauchy-Schwarz untuk \(|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\) adalah ….
A. \(5\)
B. \(5\sqrt2\)
C. \(10\)
D. \(5\sqrt5\)
E. \(25\)
Gunakan
$$\displaystyle |\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\le|\mathbf{u}||\mathbf{v}|$$
Hitung panjang \(\mathbf{u}\).
$$\displaystyle |\mathbf{u}|=\sqrt{3^2+4^2}$$ $$\displaystyle |\mathbf{u}|=5$$
Hitung panjang \(\mathbf{v}\).
$$\displaystyle |\mathbf{v}|=\sqrt{1^2+2^2}$$ $$\displaystyle |\mathbf{v}|=\sqrt5$$
Maka
$$\displaystyle |\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\le5\sqrt5$$
Jadi, jawaban yang benar adalah D.
Soal 3
Tanda sama dengan pada Cauchy-Schwarz untuk dua vektor tidak nol terjadi apabila ….
A. kedua vektor saling tegak lurus
B. panjang kedua vektor harus sama
C. kedua vektor sebanding
D. semua komponennya positif
E. jumlah komponennya sama
Kesamaan pada Cauchy-Schwarz terjadi ketika terdapat konstanta real \(\lambda\) sehingga
$$\displaystyle \mathbf{u}=\lambda\mathbf{v}$$
Artinya, kedua vektor sebanding atau bergantung linear. Mereka dapat searah ataupun berlawanan arah.
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 4
Jika \(x+y=10\), nilai minimum \(x^2+y^2\) adalah ….
A. \(20\)
B. \(25\)
C. \(40\)
D. \(50\)
E. \(100\)
Gunakan Cauchy-Schwarz.
$$\displaystyle (1^2+1^2)(x^2+y^2)\ge(x+y)^2$$
Karena \(x+y=10\),
$$\displaystyle 2(x^2+y^2)\ge100$$
Maka
$$\displaystyle x^2+y^2\ge50$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y=1:1\) sehingga \(x=y=5\).
Nilai \(50\) benar-benar dapat dicapai.
Jadi, jawaban yang benar adalah D.
Soal 5
Jika \(x^2+y^2+z^2=12\), nilai maksimum \(x+y+z\) adalah ….
A. \(4\)
B. \(6\)
C. \(6\sqrt2\)
D. \(12\)
E. \(12\sqrt3\)
Gunakan Cauchy-Schwarz pada \((1,1,1)\) dan \((x,y,z)\).
$$\displaystyle (1^2+1^2+1^2)(x^2+y^2+z^2)\ge(x+y+z)^2$$ $$\displaystyle 3(12)\ge(x+y+z)^2$$ $$\displaystyle 36\ge(x+y+z)^2$$
Jadi,
$$\displaystyle x+y+z\le6$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y:z=1:1:1\).
Ambil \(x=y=z=2\). Jumlah kuadratnya adalah \(12\) dan jumlah variabelnya \(6\).
Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Soal 6
Untuk \(a,b\gt0\), nilai minimum
$$\displaystyle (a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)$$
adalah ….
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(6\)
E. \(8\)
Gunakan bentuk resiprokal.
$$\displaystyle (a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge2^2$$ $$\displaystyle (a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge4$$
Kesamaan terjadi ketika \(a=b\).
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 7
Jika \(x,y,z\gt0\) dan \(x+y+z=12\), nilai minimum
$$\displaystyle \frac1x+\frac1y+\frac1z$$
adalah ….
A. \(\frac34\)
B. \(1\)
C. \(\frac32\)
D. \(2\)
E. \(3\)
Gunakan
$$\displaystyle (x+y+z)\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)\ge9$$
Substitusikan jumlahnya.
$$\displaystyle 12\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)\ge9$$
Maka
$$\displaystyle \frac1x+\frac1y+\frac1z\ge\frac{9}{12}$$ $$\displaystyle \frac1x+\frac1y+\frac1z\ge\frac34$$
Kesamaan terjadi ketika \(x=y=z=4\).
Jadi, jawaban yang benar adalah A.
Soal 8
Jika \(x+y=10\), nilai minimum
$$\displaystyle \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}$$
adalah ….
A. \(10\)
B. \(15\)
C. \(20\)
D. \(25\)
E. \(50\)
Gunakan bentuk Engel.
$$\displaystyle \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}\ge\frac{(x+y)^2}{2+3}$$ $$\displaystyle \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}\ge\frac{100}{5}$$ $$\displaystyle \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}\ge20$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y=2:3\).
Dengan jumlah \(10\), diperoleh \(x=4\) dan \(y=6\).
Jadi nilai minimum benar-benar \(20\).
Jawaban yang benar adalah C.
Soal 9
Jika \(x+y+z=9\), nilai minimum \(x^2+y^2+z^2\) adalah ….
A. \(9\)
B. \(18\)
C. \(27\)
D. \(36\)
E. \(81\)
Cauchy-Schwarz memberikan
$$\displaystyle 3(x^2+y^2+z^2)\ge(x+y+z)^2$$
Karena jumlahnya \(9\),
$$\displaystyle 3(x^2+y^2+z^2)\ge81$$
Maka
$$\displaystyle x^2+y^2+z^2\ge27$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y:z=1:1:1\) sehingga \(x=y=z=3\).
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 10
Pasangan vektor yang menghasilkan kesamaan pada Cauchy-Schwarz adalah ….
A. \((1,2,3)\) dan \((1,1,1)\)
B. \((1,2,3)\) dan \((2,4,6)\)
C. \((1,2,3)\) dan \((3,2,1)\)
D. \((1,0,1)\) dan \((0,1,0)\)
E. \((1,2,0)\) dan \((2,1,0)\)
Kesamaan terjadi ketika kedua vektor sebanding.
Perhatikan
$$\displaystyle (2,4,6)=2(1,2,3)$$
Jadi kedua vektor pada pilihan B sebanding.
Pilihan lain tidak dapat diperoleh dengan mengalikan seluruh komponen salah satu vektor dengan satu konstanta yang sama.
Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Latihan Pilihan Ganda Tingkat Menengah
Soal 11
Jika \(x^2+y^2=25\), nilai maksimum \(3x+4y\) adalah ….
A. \(20\)
B. \(24\)
C. \(25\)
D. \(30\)
E. \(50\)
Gunakan Cauchy-Schwarz.
$$\displaystyle (3x+4y)^2\le(3^2+4^2)(x^2+y^2)$$ $$\displaystyle (3x+4y)^2\le25(25)$$ $$\displaystyle (3x+4y)^2\le625$$
Maka
$$\displaystyle 3x+4y\le25$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y=3:4\).
Ambil \(x=3\) dan \(y=4\). Syarat terpenuhi dan target bernilai \(25\).
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 12
Jika \(x^2+y^2+z^2=9\), nilai maksimum \(2x-y+2z\) adalah ….
A. \(6\)
B. \(9\)
C. \(12\)
D. \(18\)
E. \(27\)
Gunakan Cauchy-Schwarz pada koefisien \((2,-1,2)\).
$$\displaystyle (2x-y+2z)^2\le(2^2+(-1)^2+2^2)(x^2+y^2+z^2)$$ $$\displaystyle (2x-y+2z)^2\le9(9)$$ $$\displaystyle (2x-y+2z)^2\le81$$
Maka
$$\displaystyle 2x-y+2z\le9$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y:z=2:-1:2\).
Nilai \(x=2\), \(y=-1\), dan \(z=2\) memenuhi jumlah kuadrat \(9\).
Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Soal 13
Jika \(x+2y+2z=9\), nilai minimum \(x^2+y^2+z^2\) adalah ….
A. \(3\)
B. \(6\)
C. \(9\)
D. \(18\)
E. \(27\)
Gunakan Cauchy-Schwarz pada pasangan koefisien \((1,2,2)\) dan variabel \((x,y,z)\).
$$\displaystyle (1^2+2^2+2^2)(x^2+y^2+z^2)\ge(x+2y+2z)^2$$ $$\displaystyle 9(x^2+y^2+z^2)\ge81$$
Maka
$$\displaystyle x^2+y^2+z^2\ge9$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y:z=1:2:2\).
Ambil \(x=1\), \(y=2\), dan \(z=2\). Syarat \(x+2y+2z=9\) terpenuhi.
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 14
Jika \(x+y+z=6\), nilai minimum
$$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}$$
adalah ….
A. \(\frac97\)
B. \(\frac{18}{7}\)
C. \(\frac{36}{7}\)
D. \(6\)
E. \(14\)
Tuliskan ekspresi sebagai
$$\displaystyle \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}$$
Gunakan bentuk Engel.
$$\displaystyle \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}\ge\frac{(x+y+z)^2}{1+4+9}$$ $$\displaystyle \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}\ge\frac{36}{14}$$ $$\displaystyle \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}\ge\frac{18}{7}$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y:z=1:4:9\).
Perbandingan tersebut dapat dikalikan dengan konstanta tertentu agar jumlahnya \(6\), sehingga batas dapat dicapai.
Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Soal 15
Jika \(x,y\gt0\) dan \(x+y=5\), nilai minimum
$$\displaystyle \frac1x+\frac4y$$
adalah ….
A. \(\frac75\)
B. \(\frac95\)
C. \(2\)
D. \(\frac52\)
E. \(3\)
Tuliskan
$$\displaystyle \frac1x+\frac4y=\frac{1^2}{x}+\frac{2^2}{y}$$
Gunakan bentuk Engel.
$$\displaystyle \frac{1^2}{x}+\frac{2^2}{y}\ge\frac{(1+2)^2}{x+y}$$
Karena \(x+y=5\),
$$\displaystyle \frac1x+\frac4y\ge\frac95$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y=1:2\).
Dengan jumlah \(5\), \(x=\frac53\) dan \(y=\frac{10}{3}\).
Jadi nilai minimum adalah \(\frac95\).
Jawaban yang benar adalah B.
Soal 16
Konstanta terbesar \(K\) sehingga
$$\displaystyle \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge K\frac{(x+y)^2}{a+b}$$
berlaku untuk semua \(a,b\gt0\) dan \(x,y\in\mathbb{R}\) adalah ….
A. \(\frac14\)
B. \(\frac12\)
C. \(1\)
D. \(2\)
E. \(4\)
Bentuk Engel memberikan
$$\displaystyle \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{(x+y)^2}{a+b}$$
Jadi \(K=1\) selalu berlaku.
Sekarang cek apakah konstanta dapat diperbesar. Kesamaan pada bentuk Engel terjadi ketika \(x:y=a:b\).
Misalnya ambil \(x=a\) dan \(y=b\). Pada kasus tersebut kedua ruas untuk \(K=1\) sama.
Jika \(K\gt1\), ketaksamaan akan gagal.
Jadi konstanta terbesar adalah \(1\).
Jawaban yang benar adalah C.
Soal 17
Jika \(a,b,c\gt0\) dan \(a+b+c=6\), nilai minimum
$$\displaystyle \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$$
adalah ….
A. \(\frac32\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(6\)
E. \(9\)
Gunakan bentuk Engel.
$$\displaystyle \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{(a+b+c)^2}{(b+c)+(c+a)+(a+b)}$$
Jumlah penyebutnya adalah \(2(a+b+c)\).
Karena \(a+b+c=6\),
$$\displaystyle (b+c)+(c+a)+(a+b)=12$$
Maka
$$\displaystyle \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{36}{12}$$ $$\displaystyle \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge3$$
Kesamaan terjadi ketika \(a=b=c=2\).
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 18
Untuk \(a,b,c\gt0\), nilai minimum
$$\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$$
adalah ….
A. \(1\)
B. \(\frac43\)
C. \(\frac32\)
D. \(2\)
E. \(3\)
Perhatikan
$$\displaystyle \frac{a}{b+c}=\frac{a+b+c}{b+c}-1$$
Jumlahkan secara siklis.
$$\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=(a+b+c)\left(\frac1{b+c}+\frac1{c+a}+\frac1{a+b}\right)-3$$
Gunakan Cauchy-Schwarz.
$$\displaystyle \left((b+c)+(c+a)+(a+b)\right)\left(\frac1{b+c}+\frac1{c+a}+\frac1{a+b}\right)\ge9$$
Karena jumlah pertama adalah \(2(a+b+c)\),
$$\displaystyle 2(a+b+c)\left(\frac1{b+c}+\frac1{c+a}+\frac1{a+b}\right)\ge9$$
Maka
$$\displaystyle (a+b+c)\left(\frac1{b+c}+\frac1{c+a}+\frac1{a+b}\right)\ge\frac92$$
Sehingga
$$\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac92-3$$ $$\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac32$$
Kesamaan terjadi ketika \(a=b=c\).
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 19
Jika \(x_1,x_2,x_3,x_4\gt0\) dan
$$\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=20$$
nilai minimum
$$\displaystyle \frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\frac1{x_3}+\frac1{x_4}$$
adalah ….
A. \(\frac25\)
B. \(\frac45\)
C. \(1\)
D. \(\frac65\)
E. \(\frac85\)
Gunakan bentuk resiprokal untuk empat variabel.
$$\displaystyle (x_1+x_2+x_3+x_4)\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\frac1{x_3}+\frac1{x_4}\right)\ge4^2$$ $$\displaystyle 20\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\frac1{x_3}+\frac1{x_4}\right)\ge16$$
Maka
$$\displaystyle \frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\frac1{x_3}+\frac1{x_4}\ge\frac{16}{20}$$ $$\displaystyle \frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\frac1{x_3}+\frac1{x_4}\ge\frac45$$
Kesamaan terjadi ketika \(x_1=x_2=x_3=x_4=5\).
Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Soal 20
Jika \(a,b,c\ge0\) dan \(a+b+c=3\), nilai maksimum
$$\displaystyle \sqrt a+\sqrt b+\sqrt c$$
adalah ….
A. \(\sqrt3\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(3\sqrt3\)
E. \(9\)
Gunakan Cauchy-Schwarz pada \((1,1,1)\) dan \((\sqrt a,\sqrt b,\sqrt c)\).
$$\displaystyle (\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c)^2\le3(a+b+c)$$ $$\displaystyle (\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c)^2\le9$$
Karena ekspresi nonnegatif,
$$\displaystyle \sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\le3$$
Kesamaan terjadi ketika \(\sqrt a:\sqrt b:\sqrt c=1:1:1\) sehingga \(a=b=c=1\).
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Latihan Pilihan Ganda Tingkat Lanjut
Soal 21
Nilai maksimum
$$\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{3x-2}+\sqrt{5-4x}$$
adalah ….
A. \(2\)
B. \(\sqrt6\)
C. \(3\)
D. \(2\sqrt3\)
E. \(4\)
Agar semua akar terdefinisi, harus berlaku
$$\displaystyle x\ge0$$ $$\displaystyle 3x-2\ge0$$ $$\displaystyle 5-4x\ge0$$
Sekarang gunakan Cauchy-Schwarz.
$$\displaystyle \left(\sqrt{x}+\sqrt{3x-2}+\sqrt{5-4x}\right)^2\le3\left(x+(3x-2)+(5-4x)\right)$$
Jumlah di dalam kurung adalah
$$\displaystyle x+3x-2+5-4x=3$$
Maka
$$\displaystyle \left(\sqrt{x}+\sqrt{3x-2}+\sqrt{5-4x}\right)^2\le9$$
Jadi ekspresi paling besar \(3\).
Kesamaan terjadi ketika ketiga akar sama.
$$\displaystyle x=3x-2$$
Diperoleh \(x=1\).
Untuk \(x=1\), \(5-4x=1\). Jadi ketiga akar memang sama dengan \(1\).
Maksimum benar-benar \(3\).
Jawaban yang benar adalah C.
Soal 22
Jika \(x+y=10\), nilai minimum
$$\displaystyle (x-1)^2+(y-2)^2$$
adalah ….
A. \(7\)
B. \(\frac{49}{4}\)
C. \(\frac{49}{2}\)
D. \(25\)
E. \(49\)
Misalkan \(u=x-1\) dan \(v=y-2\).
Karena \(x+y=10\),
$$\displaystyle u+v=x+y-3$$ $$\displaystyle u+v=7$$
Gunakan Cauchy-Schwarz.
$$\displaystyle (1^2+1^2)(u^2+v^2)\ge(u+v)^2$$ $$\displaystyle 2(u^2+v^2)\ge49$$
Maka
$$\displaystyle u^2+v^2\ge\frac{49}{2}$$
Kesamaan terjadi ketika \(u:v=1:1\) sehingga \(u=v=\frac72\).
Nilai tersebut kompatibel dengan syarat.
Jadi, nilai minimum adalah \(\frac{49}{2}\).
Jawaban yang benar adalah C.
Soal 23
Jika \(4x^2+9y^2=36\), nilai maksimum \(4x+3y\) adalah ….
A. \(6\)
B. \(6\sqrt2\)
C. \(6\sqrt5\)
D. \(12\)
E. \(18\)
Misalkan \(p=2x\) dan \(q=3y\).
Syarat menjadi
$$\displaystyle p^2+q^2=36$$
Target menjadi
$$\displaystyle 4x+3y=2p+q$$
Gunakan Cauchy-Schwarz.
$$\displaystyle (2p+q)^2\le(2^2+1^2)(p^2+q^2)$$ $$\displaystyle (2p+q)^2\le5(36)$$ $$\displaystyle (2p+q)^2\le180$$
Maka
$$\displaystyle 2p+q\le6\sqrt5$$
Kesamaan terjadi ketika \(p:q=2:1\).
Jadi, nilai maksimum adalah \(6\sqrt5\).
Jawaban yang benar adalah C.
Soal 24
Jika \(2x+3y=12\), nilai minimum \(x^2+y^2\) adalah ….
A. \(\frac{72}{13}\)
B. \(\frac{108}{13}\)
C. \(\frac{144}{13}\)
D. \(12\)
E. \(\frac{169}{12}\)
Gunakan Cauchy-Schwarz.
$$\displaystyle (2^2+3^2)(x^2+y^2)\ge(2x+3y)^2$$ $$\displaystyle 13(x^2+y^2)\ge144$$
Maka
$$\displaystyle x^2+y^2\ge\frac{144}{13}$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y=2:3\).
Misalkan \(x=2k\) dan \(y=3k\). Dari syarat,
$$\displaystyle 2(2k)+3(3k)=12$$ $$\displaystyle 13k=12$$
Nilai \(k\) real dan kondisi kesamaan dapat dicapai.
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 25
Jika \(x-y+2z=6\), nilai minimum \(x^2+y^2+z^2\) adalah ….
A. \(3\)
B. \(4\)
C. \(6\)
D. \(9\)
E. \(12\)
Gunakan Cauchy-Schwarz pada koefisien \((1,-1,2)\).
$$\displaystyle (1^2+(-1)^2+2^2)(x^2+y^2+z^2)\ge(x-y+2z)^2$$ $$\displaystyle 6(x^2+y^2+z^2)\ge36$$
Maka
$$\displaystyle x^2+y^2+z^2\ge6$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y:z=1:-1:2\).
Ambil \(x=1\), \(y=-1\), dan \(z=2\). Syarat terpenuhi.
Jadi, nilai minimum adalah \(6\).
Jawaban yang benar adalah C.
Soal 26
Jika \(x^2+y^2+z^2=14\), nilai maksimum \(x+2y+3z\) adalah ….
A. \(7\)
B. \(14\)
C. \(14\sqrt2\)
D. \(21\)
E. \(28\)
Gunakan Cauchy-Schwarz.
$$\displaystyle (x+2y+3z)^2\le(1^2+2^2+3^2)(x^2+y^2+z^2)$$
Jumlah kuadrat koefisien adalah
$$\displaystyle 1+4+9=14$$
Maka
$$\displaystyle (x+2y+3z)^2\le14(14)$$ $$\displaystyle (x+2y+3z)^2\le196$$
Jadi
$$\displaystyle x+2y+3z\le14$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y:z=1:2:3\).
Ambil \(x=1\), \(y=2\), dan \(z=3\). Jumlah kuadratnya tepat \(14\).
Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Soal 27
Jika \(x,y,z\gt0\) dan \(x+y+z=1\), nilai minimum \(x^2+y^2+z^2\) adalah ….
A. \(\frac19\)
B. \(\frac14\)
C. \(\frac13\)
D. \(\frac12\)
E. \(1\)
Gunakan
$$\displaystyle 3(x^2+y^2+z^2)\ge(x+y+z)^2$$
Karena jumlahnya \(1\),
$$\displaystyle 3(x^2+y^2+z^2)\ge1$$
Maka
$$\displaystyle x^2+y^2+z^2\ge\frac13$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y:z=1:1:1\).
Dengan jumlah \(1\), \(x=y=z=\frac13\).
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 28
Jika \(x^2+y^2=1\), nilai maksimum \(|x+y|\) adalah ….
A. \(\frac1{\sqrt2}\)
B. \(1\)
C. \(\sqrt2\)
D. \(2\)
E. \(2\sqrt2\)
Cauchy-Schwarz memberikan
$$\displaystyle (x+y)^2\le(1^2+1^2)(x^2+y^2)$$ $$\displaystyle (x+y)^2\le2$$
Karena \(|x+y|=\sqrt{(x+y)^2}\), maka
$$\displaystyle |x+y|\le\sqrt2$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y=1:1\).
Misalnya \(x=y=\frac1{\sqrt2}\) memenuhi \(x^2+y^2=1\).
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 29
Jika \(x+y=0\), nilai minimum
$$\displaystyle (x+1)^2+(y+2)^2$$
adalah ….
A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(\frac92\)
D. \(5\)
E. \(9\)
Misalkan \(u=x+1\) dan \(v=y+2\).
Karena \(x+y=0\),
$$\displaystyle u+v=x+y+3$$ $$\displaystyle u+v=3$$
Gunakan Cauchy-Schwarz.
$$\displaystyle 2(u^2+v^2)\ge(u+v)^2$$ $$\displaystyle 2(u^2+v^2)\ge9$$
Maka
$$\displaystyle u^2+v^2\ge\frac92$$
Kesamaan terjadi ketika \(u:v=1:1\) sehingga \(u=v=\frac32\).
Ini memberikan \(x=\frac12\) dan \(y=-\frac12\) yang memenuhi \(x+y=0\).
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 30
Jika \(x+y+z=7\), nilai minimum
$$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{4}$$
adalah ….
A. \(\frac72\)
B. \(5\)
C. \(7\)
D. \(14\)
E. \(49\)
Tuliskan
$$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{4}=\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{4}$$
Gunakan bentuk Engel.
$$\displaystyle \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{4}\ge\frac{(x+y+z)^2}{1+2+4}$$ $$\displaystyle \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{4}\ge\frac{49}{7}$$ $$\displaystyle \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{4}\ge7$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y:z=1:2:4\).
Karena jumlah perbandingannya \(7\), ambil \(x=1\), \(y=2\), dan \(z=4\).
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Latihan Pilihan Ganda Olimpiade dan Analisis
Soal 31
Jika \(a,b,c\gt0\) dan \(a+b+c=6\), nilai minimum
$$\displaystyle \frac1a+\frac1b+\frac1c$$
adalah ….
A. \(1\)
B. \(\frac32\)
C. \(2\)
D. \(3\)
E. \(\frac92\)
Gunakan bentuk resiprokal.
$$\displaystyle (a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\ge9$$
Karena \(a+b+c=6\),
$$\displaystyle 6\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\ge9$$
Maka
$$\displaystyle \frac1a+\frac1b+\frac1c\ge\frac32$$
Kesamaan terjadi ketika \(a=b=c\).
Dengan jumlah \(6\), \(a=b=c=2\).
Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Soal 32
Untuk \(a,b,c\gt0\), kesamaan pada
$$\displaystyle (a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\ge9$$
terjadi ketika ….
A. \(a+b=c\)
B. \(abc=1\)
C. \(a=b=c\)
D. \(a+b+c=1\)
E. \(ab+bc+ca=1\)
Ketaksamaan tersebut berasal dari Cauchy-Schwarz pada pasangan
$$\displaystyle (\sqrt a,\sqrt b,\sqrt c)$$
dan
$$\displaystyle \left(\frac1{\sqrt a},\frac1{\sqrt b},\frac1{\sqrt c}\right)$$
Kesamaan terjadi ketika kedua vektor sebanding.
Kondisi tersebut mengharuskan \(a=b=c\).
Tidak ada kewajiban jumlah atau hasil kali ketiga variabel bernilai tertentu.
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 33
Jika \(a,b,c\gt0\) dan \(a+b+c=10\), nilai minimum
$$\displaystyle \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$$
adalah ….
A. \(\frac52\)
B. \(4\)
C. \(5\)
D. \(10\)
E. \(20\)
Gunakan bentuk Engel.
$$\displaystyle \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$$
Sederhanakan.
$$\displaystyle \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}$$
Karena \(a+b+c=10\),
$$\displaystyle \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge5$$
Kesamaan terjadi ketika
$$\displaystyle a=b=c=\frac{10}{3}$$
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 34
Jika \(a,b,c\gt0\) dan \(abc=1\), nilai minimum
$$\displaystyle \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$$
adalah ….
A. \(1\)
B. \(\frac32\)
C. \(2\)
D. \(3\)
E. \(\frac92\)
Gunakan bentuk Engel.
$$\displaystyle \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$$
Maka
$$\displaystyle \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}$$
Karena \(abc=1\), gunakan AM-GM.
$$\displaystyle a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}$$ $$\displaystyle a+b+c\ge3$$
Jadi,
$$\displaystyle \frac{a+b+c}{2}\ge\frac32$$
Akibatnya,
$$\displaystyle \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac32$$
Kesamaan pada kedua langkah terjadi ketika \(a=b=c=1\).
Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Soal 35
Diketahui \(x,y\in[-1,1]\) dan
$$\displaystyle x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1$$
Pernyataan yang harus benar adalah ….
A. \(x+y=1\)
B. \(xy=1\)
C. \(x^2+y^2=1\)
D. \(x=y=1\)
E. \(x-y=1\)
Gunakan Cauchy-Schwarz pada pasangan
$$\displaystyle \left(x,\sqrt{1-x^2}\right)$$
dan
$$\displaystyle \left(\sqrt{1-y^2},y\right)$$
Diperoleh
$$\displaystyle \left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)^2\le\left(x^2+1-x^2\right)\left(1-y^2+y^2\right)$$
Maka
$$\displaystyle \left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)^2\le1$$
Pada soal, ekspresi tersebut bernilai \(1\), sehingga kesamaan Cauchy-Schwarz terjadi.
Salah satu konsekuensi kondisi kesamaan adalah
$$\displaystyle xy=\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}$$
Kuadratkan.
$$\displaystyle x^2y^2=(1-x^2)(1-y^2)$$
Kembangkan.
$$\displaystyle x^2y^2=1-x^2-y^2+x^2y^2$$
Maka
$$\displaystyle x^2+y^2=1$$
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 36
Konstanta terbesar \(C\) sehingga
$$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)\ge C\left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2$$
berlaku untuk semua bilangan real adalah ….
A. \(\frac14\)
B. \(\frac12\)
C. \(1\)
D. \(2\)
E. \(n\)
Cauchy-Schwarz menyatakan
$$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)\ge\left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2$$
Jadi \(C=1\) selalu berlaku.
Untuk melihat bahwa konstanta tidak dapat diperbesar, ambil dua vektor tidak nol yang sebanding, misalnya \(b_i=a_i\) untuk setiap \(i\). Pada kondisi itu terjadi kesamaan.
Jika \(C\gt1\), ketaksamaan akan gagal.
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 37
Untuk dua vektor tidak nol \(\mathbf{u}\) dan \(\mathbf{v}\), didefinisikan
$$\displaystyle r=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$$
Nilai \(r\) selalu memenuhi ….
A. \(0\le r\le1\)
B. \(-1\le r\le1\)
C. \(-2\le r\le2\)
D. \(r\ge1\)
E. \(r\le-1\)
Dari Cauchy-Schwarz,
$$\displaystyle |\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\le|\mathbf{u}||\mathbf{v}|$$
Karena kedua vektor tidak nol, \( |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\gt0 \). Bagi kedua ruas dengan hasil kali panjang tersebut.
$$\displaystyle \left|\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}\right|\le1$$
Artinya,
$$\displaystyle -1\le r\le1$$
Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Soal 38
Jika dua vektor tidak nol saling tegak lurus, maka pada Ketaksamaan Cauchy-Schwarz berlaku ….
A. selalu terjadi kesamaan
B. terjadi ketaksamaan ketat
C. panjang kedua vektor harus sama
D. kedua vektor sebanding
E. salah satu vektor harus nol
Jika kedua vektor saling tegak lurus, hasil kali dalamnya adalah nol.
$$\displaystyle \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0$$
Karena kedua vektor tidak nol,
$$\displaystyle |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\gt0$$
Maka
$$\displaystyle |\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\lt|\mathbf{u}||\mathbf{v}|$$
Jadi terjadi ketaksamaan ketat.
Jawaban yang benar adalah B.
Soal 39
Untuk \(\mathbf{u}=(1,2)\) dan \(\mathbf{v}=(2,4)\), nilai
$$\displaystyle \frac{(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^2}{|\mathbf{u}|^2|\mathbf{v}|^2}$$
adalah ….
A. \(\frac14\)
B. \(\frac12\)
C. \(1\)
D. \(2\)
E. \(4\)
Hitung hasil kali dalam.
$$\displaystyle \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=(1)(2)+(2)(4)$$ $$\displaystyle \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=10$$
Hitung kuadrat norma.
$$\displaystyle |\mathbf{u}|^2=1^2+2^2$$ $$\displaystyle |\mathbf{u}|^2=5$$ $$\displaystyle |\mathbf{v}|^2=2^2+4^2$$ $$\displaystyle |\mathbf{v}|^2=20$$
Maka
$$\displaystyle \frac{(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^2}{|\mathbf{u}|^2|\mathbf{v}|^2}=\frac{100}{5(20)}$$ $$\displaystyle \frac{(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^2}{|\mathbf{u}|^2|\mathbf{v}|^2}=1$$
Hal ini wajar karena \(\mathbf{v}=2\mathbf{u}\) sehingga terjadi kesamaan Cauchy-Schwarz.
Jawaban yang benar adalah C.
Soal 40
Untuk \(w_i\ge0\), bentuk Cauchy-Schwarz berbobot yang benar adalah ….
A. \(\left(\sum w_ia_i^2\right)\left(\sum w_ib_i^2\right)\ge\left(\sum w_ia_ib_i\right)^2\)
B. \(\left(\sum w_ia_i^2\right)\left(\sum w_ib_i^2\right)\le\left(\sum w_ia_ib_i\right)^2\)
C. \(\sum w_ia_i^2\le\left(\sum w_ia_i\right)^2\)
D. \(\sum w_i(a_i+b_i)^2\le0\)
E. \(\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right)=\sum a_ib_i\)
Ambil komponen baru
$$\displaystyle A_i=\sqrt{w_i}a_i$$
dan
$$\displaystyle B_i=\sqrt{w_i}b_i$$
Gunakan Cauchy-Schwarz standar.
$$\displaystyle \left(\sum A_i^2\right)\left(\sum B_i^2\right)\ge\left(\sum A_iB_i\right)^2$$
Karena
$$\displaystyle A_i^2=w_ia_i^2$$ $$\displaystyle B_i^2=w_ib_i^2$$
dan
$$\displaystyle A_iB_i=w_ia_ib_i$$
maka diperoleh
$$\displaystyle \left(\sum w_ia_i^2\right)\left(\sum w_ib_i^2\right)\ge\left(\sum w_ia_ib_i\right)^2$$
Jadi, jawaban yang benar adalah A.
Latihan Pilihan Ganda HOTS
Soal 41
Untuk \(a,b\gt0\) dan \(x+y=S\), nilai minimum
$$\displaystyle \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}$$
adalah ….
A. \(\frac{S^2}{ab}\)
B. \(\frac{S^2}{a+b}\)
C. \(\frac{S}{a+b}\)
D. \(S(a+b)\)
E. \(S^2(a+b)\)
Gunakan bentuk Engel.
$$\displaystyle \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{(x+y)^2}{a+b}$$
Karena \(x+y=S\), maka
$$\displaystyle \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{S^2}{a+b}$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y=a:b\).
Kondisi tersebut dapat dipenuhi sekaligus dengan syarat jumlah \(S\).
Jadi, nilai minimumnya adalah \(\frac{S^2}{a+b}\).
Jawaban yang benar adalah B.
Soal 42
Jika \(x+y+z=12\), nilai minimum
$$\displaystyle \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{7}$$
adalah ….
A. \(6\)
B. \(8\)
C. \(10\)
D. \(12\)
E. \(24\)
Gunakan bentuk Engel.
$$\displaystyle \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{7}\ge\frac{(x+y+z)^2}{2+3+7}$$ $$\displaystyle \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{7}\ge\frac{144}{12}$$ $$\displaystyle \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{7}\ge12$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y:z=2:3:7\).
Karena jumlah rasio \(12\), ambil \(x=2\), \(y=3\), dan \(z=7\). Syarat terpenuhi.
Jadi, jawaban yang benar adalah D.
Soal 43
Jika \(x,y\ge0\) dan \(x+y=13\), nilai maksimum
$$\displaystyle 2\sqrt x+3\sqrt y$$
adalah ….
A. \(5\)
B. \(\sqrt{13}\)
C. \(10\)
D. \(13\)
E. \(13\sqrt2\)
Gunakan Cauchy-Schwarz pada \((2,3)\) dan \((\sqrt x,\sqrt y)\).
$$\displaystyle (2\sqrt x+3\sqrt y)^2\le(2^2+3^2)(x+y)$$ $$\displaystyle (2\sqrt x+3\sqrt y)^2\le13(13)$$ $$\displaystyle (2\sqrt x+3\sqrt y)^2\le169$$
Karena ekspresi nonnegatif,
$$\displaystyle 2\sqrt x+3\sqrt y\le13$$
Kesamaan terjadi ketika
$$\displaystyle \sqrt x:\sqrt y=2:3$$
Maka
$$\displaystyle x:y=4:9$$
Dengan jumlah \(13\), \(x=4\) dan \(y=9\).
Jadi, nilai maksimum adalah \(13\).
Jawaban yang benar adalah D.
Soal 44
Jika \(x,y,z\gt0\) dan \(x+y+z=8\), nilai minimum
$$\displaystyle \frac1x+\frac1y+\frac4z$$
adalah ….
A. \(1\)
B. \(\frac32\)
C. \(2\)
D. \(4\)
E. \(8\)
Tuliskan
$$\displaystyle \frac1x+\frac1y+\frac4z=\frac{1^2}{x}+\frac{1^2}{y}+\frac{2^2}{z}$$
Gunakan bentuk Engel.
$$\displaystyle \frac{1^2}{x}+\frac{1^2}{y}+\frac{2^2}{z}\ge\frac{(1+1+2)^2}{x+y+z}$$ $$\displaystyle \frac1x+\frac1y+\frac4z\ge\frac{16}{8}$$ $$\displaystyle \frac1x+\frac1y+\frac4z\ge2$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y:z=1:1:2\).
Dengan jumlah \(8\), \(x=2\), \(y=2\), dan \(z=4\).
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 45
Diketahui \(x=2\) dan \(y=6\). Nilai \(t\) agar kesamaan terjadi pada
$$\displaystyle (x^2+y^2)(1+t^2)\ge(x+ty)^2$$
adalah ….
A. \(\frac13\)
B. \(1\)
C. \(2\)
D. \(3\)
E. \(6\)
Ketaksamaan tersebut berasal dari Cauchy-Schwarz pada vektor \((x,y)\) dan \((1,t)\).
Kesamaan terjadi ketika kedua vektor sebanding.
Jadi
$$\displaystyle x:y=1:t$$
Substitusikan \(x=2\) dan \(y=6\).
$$\displaystyle 2:6=1:t$$
Sederhanakan.
$$\displaystyle 1:3=1:t$$
Maka
$$\displaystyle t=3$$
Cek langsung.
$$\displaystyle (2^2+6^2)(1+3^2)=40(10)$$ $$\displaystyle (2^2+6^2)(1+3^2)=400$$
Sementara itu,
$$\displaystyle (2+3(6))^2=20^2$$ $$\displaystyle (2+3(6))^2=400$$
Kesamaan benar-benar terjadi.
Jadi, jawaban yang benar adalah D.
Cek Pemahaman
Soal 46
Jika \(p,q\gt0\) dan \(pq=1\), nilai minimum \(p^2+q^2\) adalah ….
A. \(1\)
B. \(\sqrt2\)
C. \(2\)
D. \(4\)
E. \(8\)
Gunakan identitas
$$\displaystyle p^2+q^2\ge2pq$$
Ketaksamaan tersebut juga dapat diperoleh dari
$$\displaystyle (p-q)^2\ge0$$
Karena \(pq=1\), maka
$$\displaystyle p^2+q^2\ge2$$
Kesamaan terjadi ketika \(p=q\).
Karena hasil kalinya \(1\) dan keduanya positif, \(p=q=1\).
Jadi nilai minimum adalah \(2\).
Jawaban yang benar adalah C.
Soal 47
Jika \(a,b,c\gt0\) dan \(a+b+c=3\), nilai minimum
$$\displaystyle \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$$
adalah ….
A. \(1\)
B. \(\frac32\)
C. \(3\)
D. \(\frac92\)
E. \(9\)
Gunakan bentuk Engel.
$$\displaystyle \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}$$
Karena \(a+b+c=3\), maka
$$\displaystyle \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac93$$ $$\displaystyle \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge3$$
Kesamaan terjadi ketika \(a=b=c=1\).
Jadi, jawaban yang benar adalah C.
Soal 48
Untuk \(a,b,c\) yang tidak semuanya nol, nilai maksimum
$$\displaystyle \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$$
adalah ….
A. \(1\)
B. \(\sqrt3\)
C. \(2\)
D. \(3\)
E. \(9\)
Gunakan Cauchy-Schwarz.
$$\displaystyle (a+b+c)^2\le(1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2)$$ $$\displaystyle (a+b+c)^2\le3(a^2+b^2+c^2)$$
Karena \(a,b,c\) tidak semuanya nol,
$$\displaystyle a^2+b^2+c^2\gt0$$
Bagi kedua ruas.
$$\displaystyle \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\le3$$
Kesamaan terjadi ketika \(a:b:c=1:1:1\) dengan nilai bersama tidak nol.
Jadi nilai maksimum adalah \(3\).
Jawaban yang benar adalah D.
Soal 49
Untuk \((x,y)\neq(0,0)\), nilai maksimum
$$\displaystyle \frac{(x+2y)^2}{x^2+y^2}$$
adalah ….
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(5\)
E. \(9\)
Gunakan Cauchy-Schwarz pada vektor \((1,2)\) dan \((x,y)\).
Diperoleh
$$\displaystyle (x+2y)^2\le(1^2+2^2)(x^2+y^2)$$ $$\displaystyle (x+2y)^2\le5(x^2+y^2)$$
Karena \(x^2+y^2\gt0\), maka
$$\displaystyle \frac{(x+2y)^2}{x^2+y^2}\le5$$
Kesamaan terjadi ketika \(x:y=1:2\).
Misalnya \(x=1\) dan \(y=2\).
Jadi nilai maksimum adalah \(5\).
Jawaban yang benar adalah D.
Soal 50
Konstanta terbesar \(K\) sehingga untuk semua bilangan real \(x,y,z\) berlaku
$$\displaystyle (x^2+y^2+z^2)(x^2+4y^2+9z^2)\ge K(x^2+2y^2+3z^2)^2$$
adalah ….
A. \(\frac13\)
B. \(\frac12\)
C. \(1\)
D. \(2\)
E. \(3\)
Gunakan Cauchy-Schwarz pada vektor \((x,y,z)\) dan \((x,2y,3z)\).
Diperoleh
$$\displaystyle (x^2+y^2+z^2)(x^2+4y^2+9z^2)\ge(x^2+2y^2+3z^2)^2$$
Jadi \(K=1\) selalu berlaku.
Sekarang kita periksa apakah \(K\) dapat dibuat lebih besar.
Ambil \(y=0\), \(z=0\), dan \(x\neq0\).
Ketaksamaan menjadi
$$\displaystyle x^4\ge Kx^4$$
Karena \(x\neq0\),
$$\displaystyle K\le1$$
Jadi tidak mungkin memilih konstanta lebih besar dari \(1\).
Maka konstanta terbesar adalah \(K=1\).
Jawaban yang benar adalah C.
Refleksi
- Mengapa kondisi dua vektor sebanding menjadi kondisi kesamaan pada Ketaksamaan Cauchy-Schwarz?
- Mengapa bentuk Engel sangat efektif ketika pembilang setiap pecahan merupakan kuadrat?
- Jika Cauchy-Schwarz memberikan batas tetapi kondisi kesamaannya tidak dapat dipenuhi, apa yang harus dilakukan untuk menemukan nilai ekstrem sebenarnya?
- Bagaimana cara menentukan pasangan vektor yang tepat agar hasil kali dalam menghasilkan ekspresi target?
Kesimpulan
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz merupakan salah satu ketaksamaan paling fundamental dalam matematika.
Bentuk umumnya adalah
$$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)\ge\left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2$$
Secara aljabar, ketaksamaan ini dapat ditelusuri sampai pada fakta bahwa kuadrat bilangan real tidak negatif.
Secara geometri, Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa nilai mutlak hasil kali dalam dua vektor tidak dapat melebihi hasil kali panjang kedua vektor.
Dalam soal pecahan, bentuk Engel
$$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^2}{a_i}\ge\frac{\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)^2}{\sum_{i=1}^{n}a_i}$$
sering menjadi bentuk yang paling praktis.
Dalam optimisasi, Cauchy-Schwarz dapat digunakan untuk menentukan maksimum bentuk linear, minimum jumlah kuadrat, minimum jumlah kebalikan, hingga maksimum ekspresi yang melibatkan akar.
Namun, kemampuan terpenting bukan sekadar menghafal rumus. Kamu perlu memahami struktur ekspresi, pemilihan pasangan, dan kondisi kesamaan.
Begitu tiga hal tersebut mulai terbaca, banyak soal ketaksamaan yang awalnya terlihat rumit bisa berubah menjadi jauh lebih terarah.
FAQ
Apa itu Ketaksamaan Cauchy-Schwarz?
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz adalah ketaksamaan yang membatasi kuadrat hasil kali dalam dua kelompok bilangan dengan hasil kali jumlah kuadrat masing-masing kelompok.
Bentuk umumnya adalah
$$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)\ge\left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2$$
Kapan tanda sama dengan pada Cauchy-Schwarz terjadi?
Kesamaan terjadi ketika kedua vektor sebanding. Artinya terdapat konstanta real \(\lambda\) sehingga
$$\displaystyle a_i=\lambda b_i$$
untuk setiap komponen yang bersesuaian.
Apa itu bentuk Engel Cauchy-Schwarz?
Bentuk Engel adalah
$$\displaystyle \frac{x_1^2}{a_1}+\frac{x_2^2}{a_2}+\cdots+\frac{x_n^2}{a_n}\ge\frac{(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2}{a_1+a_2+\cdots+a_n}$$
dengan seluruh penyebut positif.
Bentuk ini sangat efektif untuk ketaksamaan pecahan.
Apakah Cauchy-Schwarz hanya digunakan untuk olimpiade?
Tidak. Konsep ini muncul dalam aljabar linear, geometri, statistika, analisis, ruang hasil kali dalam, teori probabilitas, dan berbagai bidang matematika lainnya.
Bagaimana cara cepat mengenali soal Cauchy-Schwarz?
Perhatikan apakah soal memiliki pola jumlah kuadrat, bentuk linear, pecahan dengan pembilang kuadrat, jumlah kebalikan, atau jumlah akar. Setelah itu cari pasangan komponen yang hasil kalinya membentuk ekspresi target.
