Lingkaran Kelas 11: Sudut Pusat, Sudut Keliling, Luas Juring dan Panjang Busur Lengkap dengan Soal dan Pembahasan

Lingkaran Kelas 11 terlihat sederhana ketika yang dibahas baru sebatas jari-jari, diameter, keliling, dan luas. Namun ketika satu gambar memuat sudut pusat, sudut keliling, tali busur, apotema, juring, tembereng, atau dua lingkaran sekaligus, soalnya bisa berubah menjadi cukup menantang.

Pada soal TKA, SNBT, UTBK, maupun tes masuk perguruan tinggi, yang diuji bukan sekadar kemampuan menghafal rumus. Siswa perlu membaca hubungan pada gambar: sudut mana yang menghadap busur tertentu, ruas mana yang tegak lurus, kapan Teorema Pythagoras dapat dipakai, dan mengapa pada garis singgung dua lingkaran muncul \(R-r\) atau \(R+r\).

Kabar baiknya, sebagian besar soal lingkaran dibangun dari beberapa pola inti. Jika pola tersebut sudah terlihat, gambar yang awalnya terasa rumit dapat dipecah menjadi hubungan-hubungan sederhana.

Pada materi ini kita akan membangun konsep secara bertahap, mulai dari unsur lingkaran, sudut dan busur, apotema dan tali busur, juring dan tembereng, hingga garis singgung persekutuan luar (GSPL) dan garis singgung persekutuan dalam (GSPD).

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan mampu:

• mengenali pusat, jari-jari, diameter, tali busur, busur, juring, tembereng, dan apotema;
• menjelaskan hubungan apotema dengan tali busur;
• menggunakan Teorema Pythagoras pada masalah apotema;
• menentukan hubungan sudut pusat dengan busur yang dihadapinya;
• menentukan hubungan sudut pusat dan sudut keliling;
• menggunakan sifat sudut keliling yang menghadap diameter;
• menggunakan sifat segiempat siklik;
• menghitung panjang busur dan luas juring;
• menghubungkan panjang busur dengan luas juring;
• menentukan luas tembereng;
• menganalisis juring cincin dan daerah arsiran;
• menentukan panjang GSPL dan GSPD;
• menganalisis syarat keberadaan garis singgung persekutuan;
• menyelesaikan soal lingkaran yang melibatkan beberapa konsep sekaligus;
• mengevaluasi apakah hasil perhitungan masuk akal secara geometris.

Mari Berpikir: Satu Gambar, Banyak Hubungan

Bayangkan sebuah lingkaran dengan pusat \(O\). Dari pusat tersebut ditarik dua jari-jari menuju titik \(A\) dan \(B\).

Dari satu gambar tersebut muncul tiga objek sekaligus:

• sudut pusat \(\angle AOB\);
• busur \(AB\);
• juring \(AOB\).

Ketiganya bukan konsep yang berdiri sendiri. Jika sudut pusat membesar, busur yang dihadapinya juga membesar dan luas juringnya ikut bertambah.

Sekarang tambahkan sebuah tali busur. Dari pusat lingkaran ditarik garis yang tegak lurus tali busur tersebut. Garis itu disebut apotema. Seketika muncul segitiga siku-siku dan Teorema Pythagoras dapat digunakan.

Pola serupa muncul pada garis singgung. Jari-jari menuju titik singgung selalu tegak lurus garis singgung, sehingga masalah dua lingkaran juga dapat diubah menjadi segitiga siku-siku.

Jadi, ide besar pada materi ini adalah: jangan sekadar mencari rumus, tetapi cari struktur geometri yang tersembunyi pada gambar.

1. Unsur-Unsur Lingkaran

1.1 Titik Pusat

Titik pusat adalah titik yang mempunyai jarak sama terhadap semua titik pada keliling lingkaran. Titik pusat biasanya diberi nama \(O\).

1.2 Jari-Jari

Jari-jari adalah ruas garis yang menghubungkan titik pusat dengan sebuah titik pada keliling lingkaran.

Jika panjang jari-jari adalah \(r\), semua jari-jari dalam satu lingkaran mempunyai panjang yang sama.

1.3 Diameter

Diameter adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melewati pusat.

Diameter terdiri atas dua jari-jari, sehingga

$$\displaystyle d=2r$$

Diameter juga merupakan tali busur terpanjang pada sebuah lingkaran.

1.4 Tali Busur

Tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran.

Diameter merupakan tali busur khusus yang melewati pusat lingkaran.

1.5 Busur

Busur adalah bagian dari keliling lingkaran yang terletak di antara dua titik.

Dua titik \(A\) dan \(B\) umumnya menentukan dua busur:

• busur kecil, yaitu busur yang ukurannya kurang dari \(180^\circ\);
• busur besar, yaitu busur yang ukurannya lebih dari \(180^\circ\).

Perlu dibedakan antara ukuran busur dan panjang busur.

Ukuran busur dinyatakan dalam derajat, sedangkan panjang busur menggunakan satuan panjang seperti cm atau m.

1.6 Juring

Juring adalah daerah lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan sebuah busur.

1.7 Tembereng

Tembereng adalah daerah yang dibatasi sebuah tali busur dan busur yang bersesuaian.

1.8 Apotema

Apotema lingkaran adalah ruas garis dari pusat lingkaran yang tegak lurus terhadap sebuah tali busur.

Misalkan \(AB\) adalah tali busur dan \(OM\perp AB\). Ruas \(OM\) disebut apotema.

Sifat penting apotema adalah

$$\displaystyle OM\perp AB$$

dan

$$\displaystyle AM=MB$$

Artinya, garis dari pusat yang tegak lurus tali busur akan membagi tali busur menjadi dua bagian sama panjang.

Jika \(AB=c\), maka

$$\displaystyle AM=MB=\frac{c}{2}$$

Karena segitiga \(OMA\) siku-siku, berlaku

$$\displaystyle OA^2=OM^2+AM^2$$

Jika \(OA=r\) dan \(OM=a\), maka

$$\displaystyle r^2=a^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2$$

Sehingga apotema dapat ditentukan dengan

$$\displaystyle a=\sqrt{r^2-\left(\frac{c}{2}\right)^2}$$

Sebaliknya, jika jari-jari dan apotema diketahui, panjang tali busur adalah

$$\displaystyle c=2\sqrt{r^2-a^2}$$

Contoh Apotema

Sebuah lingkaran berjari-jari \(13\) cm mempunyai tali busur sepanjang \(10\) cm. Tentukan apotemanya.

Setengah tali busur adalah

$$\displaystyle \frac{10}{2}=5\text{ cm}$$

Gunakan Teorema Pythagoras.

$$\displaystyle a^2+5^2=13^2$$

$$\displaystyle a^2=169-25$$

$$\displaystyle a^2=144$$

$$\displaystyle a=12\text{ cm}$$

2. Hubungan Apotema dan Panjang Tali Busur

Pada lingkaran yang sama, panjang tali busur dipengaruhi oleh jaraknya terhadap pusat.

Dari rumus

$$\displaystyle c=2\sqrt{r^2-a^2}$$

terlihat bahwa ketika \(r\) tetap dan \(a\) semakin kecil, nilai \(c\) semakin besar.

Artinya:

• tali busur yang lebih dekat ke pusat lebih panjang;
• tali busur yang lebih jauh dari pusat lebih pendek;
• tali busur terpanjang adalah diameter karena jaraknya dari pusat \(0\).

Hubungan ini sangat berguna. Pada beberapa soal, kita bahkan tidak perlu menghitung untuk menentukan tali busur mana yang lebih panjang.

3. Sudut Pusat dan Ukuran Busur

Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran.

Jika sudut pusat \(\angle AOB\) menghadap busur kecil \(AB\), maka ukuran busur kecil tersebut sama dengan ukuran sudut pusatnya.

Misalnya

$$\displaystyle \angle AOB=80^\circ$$

maka

$$\displaystyle m\widehat{AB}=80^\circ$$

Busur besarnya mempunyai ukuran

$$\displaystyle 360^\circ-80^\circ=280^\circ$$

Perhatikan bahwa kita menggunakan istilah ukuran busur karena satuannya derajat.

4. Sudut Keliling

Sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnya berada pada keliling lingkaran dan kedua sisinya merupakan tali busur.

Sudut keliling bernilai setengah ukuran busur yang dihadapinya.

$$\displaystyle \angle ACB=\frac12m\widehat{AB}$$

Jika busur \(AB\) berukuran \(100^\circ\), maka

$$\displaystyle \angle ACB=50^\circ$$

5. Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, berlaku

$$\displaystyle \text{sudut pusat}=2\times\text{sudut keliling}$$

atau

$$\displaystyle \text{sudut keliling}=\frac12\times\text{sudut pusat}$$

Misalkan

$$\displaystyle \angle AOB=120^\circ$$

dan \(\angle ACB\) menghadap busur \(AB\) yang sama. Maka

$$\displaystyle \angle ACB=\frac12(120^\circ)$$

$$\displaystyle \angle ACB=60^\circ$$

6. Sudut Keliling yang Menghadap Busur Sama

Dua sudut keliling yang menghadap busur yang sama mempunyai ukuran yang sama.

Jika \(\angle ACB\) dan \(\angle ADB\) sama-sama menghadap busur \(AB\), maka

$$\displaystyle \angle ACB=\angle ADB$$

7. Sudut Keliling yang Menghadap Diameter

Salah satu sifat paling penting pada lingkaran adalah:

Sudut keliling yang menghadap diameter selalu \(90^\circ\).

Jika \(AB\) diameter, maka busur \(AB\) merupakan setengah lingkaran dengan ukuran \(180^\circ\).

$$\displaystyle \angle ACB=\frac12(180^\circ)$$

$$\displaystyle \angle ACB=90^\circ$$

8. Segiempat Siklik

Segiempat siklik adalah segiempat yang keempat titik sudutnya terletak pada satu lingkaran.

Pada segiempat siklik, dua sudut yang saling berhadapan berjumlah \(180^\circ\).

$$\displaystyle \angle A+\angle C=180^\circ$$

$$\displaystyle \angle B+\angle D=180^\circ$$

Sifat ini sering muncul dalam bentuk aljabar, misalnya \(\angle A=(3x+5)^\circ\) dan \(\angle C=(5x-1)^\circ\).

9. Panjang Busur

Keliling lingkaran adalah

$$\displaystyle K=2\pi r$$

Satu putaran penuh mempunyai sudut \(360^\circ\). Jika sebuah busur menghadap sudut pusat \(\theta\), panjang busur tersebut merupakan bagian \(\frac{\theta}{360^\circ}\) dari seluruh keliling.

$$\displaystyle s=\frac{\theta}{360^\circ}\times2\pi r$$

dengan:

• \(s\) = panjang busur;
• \(\theta\) = sudut pusat;
• \(r\) = jari-jari.

Contoh

Sebuah lingkaran berjari-jari \(15\) cm mempunyai sudut pusat \(96^\circ\). Panjang busurnya adalah

$$\displaystyle s=\frac{96^\circ}{360^\circ}(30\pi)$$

$$\displaystyle s=8\pi\text{ cm}$$

10. Luas Juring

Luas lingkaran adalah

$$\displaystyle L=\pi r^2$$

Karena juring hanya merupakan bagian dari seluruh lingkaran, luas juring adalah

$$\displaystyle L_{\text{juring}}=\frac{\theta}{360^\circ}\pi r^2$$

Contoh

Juring berjari-jari \(12\) cm mempunyai sudut pusat \(150^\circ\).

$$\displaystyle L=\frac{150^\circ}{360^\circ}\pi(12)^2$$

$$\displaystyle L=\frac{5}{12}(144\pi)$$

$$\displaystyle L=60\pi\text{ cm}^2$$

11. Hubungan Luas Juring dan Panjang Busur

Perhatikan dua rumus berikut.

$$\displaystyle s=\frac{\theta}{360^\circ}(2\pi r)$$

$$\displaystyle L_{\text{juring}}=\frac{\theta}{360^\circ}(\pi r^2)$$

Keduanya mempunyai faktor yang sama, yaitu \(\frac{\theta}{360^\circ}\).

Jika dibandingkan, diperoleh hubungan

$$\displaystyle L_{\text{juring}}=\frac12rs$$

Rumus ini sangat efisien ketika soal memberikan luas juring dan panjang busur sekaligus.

Contoh

Diketahui luas juring \(54\pi\text{ cm}^2\) dan panjang busur \(9\pi\) cm.

$$\displaystyle 54\pi=\frac12r(9\pi)$$

$$\displaystyle 108=9r$$

$$\displaystyle r=12\text{ cm}$$

12. Luas Tembereng

Tembereng kecil dapat dipandang sebagai juring dikurangi segitiga yang dibentuk dua jari-jari dan sebuah tali busur.

$$\displaystyle L_{\text{tembereng}}=L_{\text{juring}}-L_{\triangle AOB}$$

Jika sudut pusatnya \(\theta\), luas segitiga pusat adalah

$$\displaystyle L_{\triangle AOB}=\frac12r^2\sin\theta$$

Contoh

Jika \(r=8\) cm dan \(\theta=90^\circ\), maka

$$\displaystyle L_{\text{juring}}=\frac14\pi(8)^2=16\pi$$

Luas segitiga pusat adalah

$$\displaystyle L_{\triangle AOB}=\frac12(8)(8)=32$$

Jadi

$$\displaystyle L_{\text{tembereng}}=16\pi-32$$

13. Hubungan Apotema, Tali Busur, dan Sudut Pusat

Apotema tidak hanya berkaitan dengan panjang tali busur. Apotema juga dapat menghubungkan tali busur dengan sudut pusat.

Misalkan \(AB\) merupakan tali busur dan \(OM\) apotemanya.

Karena \(OA=OB\), segitiga \(OAB\) sama kaki. Garis \(OM\) yang tegak lurus \(AB\) sekaligus membagi sudut pusat menjadi dua sama besar.

$$\displaystyle \angle AOM=\frac12\angle AOB$$

Jika \(\angle AOB=\theta\), maka

$$\displaystyle OM=r\cos\frac{\theta}{2}$$

dan

$$\displaystyle AM=r\sin\frac{\theta}{2}$$

Karena \(AB=2AM\), maka panjang tali busur dapat ditulis

$$\displaystyle AB=2r\sin\frac{\theta}{2}$$

Contoh

Sebuah lingkaran berjari-jari \(10\) cm mempunyai apotema \(5\) cm terhadap tali busur \(AB\).

$$\displaystyle \cos\frac{\theta}{2}=\frac{5}{10}$$

$$\displaystyle \cos\frac{\theta}{2}=\frac12$$

$$\displaystyle \frac{\theta}{2}=60^\circ$$

$$\displaystyle \theta=120^\circ$$

Panjang tali busur adalah

$$\displaystyle AB=2(10)\sin60^\circ$$

$$\displaystyle AB=10\sqrt3\text{ cm}$$

14. Juring Cincin dan Daerah Arsiran

Juring cincin terbentuk dari dua lingkaran sepusat dengan jari-jari berbeda.

Jika jari-jari luar \(R\), jari-jari dalam \(r\), dan sudut pusat \(\theta\), maka luas juring cincin adalah

$$\displaystyle L=\frac{\theta}{360^\circ}\pi(R^2-r^2)$$

Prinsip yang sama berlaku pada daerah arsiran lain: pecah gambar menjadi bentuk-bentuk sederhana, kemudian tentukan apakah harus dijumlahkan atau dikurangkan.

15. Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis yang bertemu lingkaran tepat pada satu titik. Titik tersebut disebut titik singgung.

Sifat dasarnya adalah:

$$\displaystyle \text{jari-jari}\perp\text{garis singgung}$$

Jadi jari-jari yang ditarik menuju titik singgung selalu membentuk sudut \(90^\circ\) terhadap garis singgung.

Sifat ini menjadi dasar GSPL dan GSPD.

16. Garis Singgung Persekutuan Luar atau GSPL

Misalkan dua lingkaran mempunyai jari-jari \(R\) dan \(r\), dengan \(R>r\), serta jarak kedua pusat \(d\).

Garis Singgung Persekutuan Luar (GSPL) adalah garis yang menyinggung kedua lingkaran dan tidak memotong ruas penghubung kedua pusat.

Jari-jari yang menuju titik singgung tegak lurus garis singgung. Dengan membuat garis bantu sejajar GSPL, terbentuk segitiga siku-siku yang mempunyai:

• sisi miring \(d\);
• sisi tegak \(R-r\);
• sisi lainnya sama dengan panjang GSPL.

Teorema Pythagoras memberikan

$$\displaystyle d^2=\mathrm{GSPL}^2+(R-r)^2$$

sehingga

$$\displaystyle \mathrm{GSPL}=\sqrt{d^2-(R-r)^2}$$

Mengapa digunakan \(R-r\)? Karena kedua jari-jari menuju titik singgung berada pada sisi yang sama. Ketika salah satunya dipindahkan sejajar untuk membentuk segitiga siku-siku, yang tersisa adalah selisih kedua jari-jari.

17. Garis Singgung Persekutuan Dalam atau GSPD

Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD) adalah garis singgung persekutuan yang memotong ruas penghubung kedua pusat.

Pada GSPD, kedua jari-jari menuju titik singgung berada pada sisi berlawanan. Karena itu sisi tegak segitiga bantu adalah

$$\displaystyle R+r$$

Teorema Pythagoras memberikan

$$\displaystyle d^2=\mathrm{GSPD}^2+(R+r)^2$$

sehingga

$$\displaystyle \mathrm{GSPD}=\sqrt{d^2-(R+r)^2}$$

Agar GSPD dengan panjang positif ada, diperlukan

$$\displaystyle d>R+r$$

Jika

$$\displaystyle d=R+r$$

kedua lingkaran bersinggungan luar. Pada kondisi tersebut panjang ruas GSPD antar titik singgung menjadi \(0\).

Membandingkan GSPL dan GSPD

Jika kedua jenis garis singgung ada, maka

$$\displaystyle R+r>R-r$$

sehingga

$$\displaystyle d^2-(R+r)^2<d^2-(R-r)^2$$

Akibatnya

$$\displaystyle \mathrm{GSPD}<\mathrm{GSPL}$$

18. Strategi Cepat Menyelesaikan Soal Lingkaran

Strategi 1: Tentukan Objek yang Ditanya

Pastikan apakah yang diminta adalah ukuran busur, panjang busur, luas juring, tali busur, apotema, GSPL, atau GSPD.

Strategi 2: Cari Busur yang Dihadapi

Untuk sudut keliling, dua titik ujung busur lebih penting daripada posisi sudut pada gambar.

Strategi 3: Tandai Diameter

Jika ada diameter, segera periksa apakah terdapat sudut keliling yang menghadap diameter. Sudut tersebut pasti \(90^\circ\).

Strategi 4: Jika Ada Apotema, Bentuk Segitiga Siku-Siku

Apotema, setengah tali busur, dan jari-jari membentuk segitiga siku-siku.

Strategi 5: Jika Ada Dua Lingkaran dan Garis Singgung, Cari \(R-r\) atau \(R+r\)

GSPL menggunakan selisih jari-jari. GSPD menggunakan jumlah jari-jari.

Strategi 6: Gunakan Perbandingan Sebelum Menghitung

Pada lingkaran yang sama:

$$\displaystyle s\propto\theta$$

dan

$$\displaystyle L_{\text{juring}}\propto\theta$$

Untuk sudut pusat yang sama:

$$\displaystyle s\propto r$$

sedangkan

$$\displaystyle L_{\text{juring}}\propto r^2$$

Strategi 7: Cek Kewajaran Jawaban

Jika sudut pusat kurang dari \(180^\circ\), luas juring harus kurang dari setengah luas lingkaran.

Jika apotema membesar pada lingkaran yang sama, tali busur seharusnya mengecil.

Jika GSPL dan GSPD sama-sama ada, GSPL harus lebih panjang daripada GSPD.

19. Latihan Pilihan Ganda: Konsep dan Penalaran

Soal 1

Pada lingkaran berpusat di \(O\), diketahui \(\angle AOB=80^\circ\). Titik \(C\) berada pada busur besar \(AB\). Pernyataan yang benar adalah…

A. \(\angle ACB=40^\circ\) dan ukuran busur besar \(AB=280^\circ\)

B. \(\angle ACB=80^\circ\) dan ukuran busur besar \(AB=280^\circ\)

C. \(\angle ACB=40^\circ\) dan ukuran busur besar \(AB=160^\circ\)

D. \(\angle ACB=140^\circ\) dan ukuran busur besar \(AB=280^\circ\)

E. \(\angle ACB=160^\circ\) dan ukuran busur besar \(AB=200^\circ\)

Soal 2

\(AB\) merupakan diameter sebuah lingkaran. Titik \(C\) terletak pada lingkaran dan \(\angle CAB=28^\circ\). Besar \(\angle ABC\) adalah…

A. \(28^\circ\)

B. \(52^\circ\)

C. \(56^\circ\)

D. \(62^\circ\)

E. \(90^\circ\)

Soal 3

Segiempat \(ABCD\) merupakan segiempat siklik. Jika \(\angle A=(4x+10)^\circ\) dan \(\angle C=(2x+20)^\circ\), nilai \(x\) adalah…

A. \(20\)

B. \(22\)

C. \(24\)

D. \(25\)

E. \(30\)

Soal 4

Sebuah lingkaran berjari-jari \(13\) cm mempunyai tali busur \(AB=10\) cm. Panjang apotema dari pusat \(O\) ke tali busur \(AB\) adalah…

A. \(5\) cm

B. \(8\) cm

C. \(10\) cm

D. \(12\) cm

E. \(13\) cm

Soal 5

Sebuah lingkaran berjari-jari \(17\) cm. Jarak pusat lingkaran ke tali busur \(AB\) adalah \(8\) cm. Panjang tali busur \(AB\) adalah…

A. \(15\) cm

B. \(24\) cm

C. \(26\) cm

D. \(30\) cm

E. \(32\) cm

Soal 6

Pada lingkaran berjari-jari \(13\) cm terdapat dua tali busur. Tali busur pertama berjarak \(5\) cm dari pusat, sedangkan tali busur kedua berjarak \(12\) cm dari pusat. Perbandingan panjang tali busur pertama dan kedua adalah…

A. \(5:12\)

B. \(10:13\)

C. \(12:5\)

D. \(13:5\)

E. \(24:5\)

Soal 7

Sebuah lingkaran berjari-jari \(15\) cm mempunyai busur dengan sudut pusat \(96^\circ\). Panjang busur tersebut adalah…

A. \(6\pi\) cm

B. \(8\pi\) cm

C. \(10\pi\) cm

D. \(12\pi\) cm

E. \(16\pi\) cm

Soal 8

Sebuah juring berjari-jari \(12\) cm mempunyai sudut pusat \(150^\circ\). Luas juring tersebut adalah…

A. \(48\pi\text{ cm}^2\)

B. \(54\pi\text{ cm}^2\)

C. \(60\pi\text{ cm}^2\)

D. \(72\pi\text{ cm}^2\)

E. \(90\pi\text{ cm}^2\)

Soal 9

Sebuah juring mempunyai luas \(54\pi\text{ cm}^2\) dan panjang busur \(9\pi\) cm. Jari-jari lingkaran tersebut adalah…

A. \(6\) cm

B. \(9\) cm

C. \(10\) cm

D. \(12\) cm

E. \(18\) cm

Soal 10

Sebuah tembereng kecil terbentuk pada lingkaran berjari-jari \(8\) cm dengan sudut pusat \(90^\circ\). Luas tembereng tersebut adalah…

A. \(8\pi-16\text{ cm}^2\)

B. \(16\pi-16\text{ cm}^2\)

C. \(16\pi-32\text{ cm}^2\)

D. \(32\pi-16\text{ cm}^2\)

E. \(32\pi-32\text{ cm}^2\)

20. Latihan Pilihan Ganda: Level Menengah-Sukar

Soal 11

\(AC\) adalah diameter. Titik \(B\) berada pada salah satu setengah lingkaran dan ukuran busur \(AB:BC=2:3\). Besar \(\angle BAC\) adalah…

A. \(36^\circ\)

B. \(45^\circ\)

C. \(54^\circ\)

D. \(60^\circ\)

E. \(72^\circ\)

Soal 12

Dua sudut keliling \(\angle ACB=(3x-4)^\circ\) dan \(\angle ADB=(2x+11)^\circ\) menghadap busur \(AB\) yang sama. Besar kedua sudut tersebut adalah…

A. \(35^\circ\)

B. \(39^\circ\)

C. \(41^\circ\)

D. \(45^\circ\)

E. \(49^\circ\)

Soal 13

Dua tali busur pada lingkaran berjari-jari \(13\) cm masing-masing berjarak \(5\) cm dan \(12\) cm dari pusat. Selisih panjang kedua tali busur adalah…

A. \(10\) cm

B. \(12\) cm

C. \(14\) cm

D. \(16\) cm

E. \(18\) cm

Soal 14

Sebuah tali busur panjangnya \(24\) cm pada lingkaran berjari-jari \(13\) cm. Jarak tali busur tersebut dari pusat lingkaran adalah…

A. \(4\) cm

B. \(5\) cm

C. \(6\) cm

D. \(7\) cm

E. \(8\) cm

Soal 15

Apotema sebuah tali busur adalah \(6\) cm. Jika panjang tali busur tersebut \(16\) cm, jari-jari lingkaran adalah…

A. \(8\) cm

B. \(9\) cm

C. \(10\) cm

D. \(12\) cm

E. \(14\) cm

Soal 16

Pada segiempat siklik \(ABCD\), diketahui \(\angle A=(3x+15)^\circ\) dan \(\angle C=(5x-3)^\circ\). Nilai \(x\) adalah…

A. \(18\)

B. \(20\)

C. \(21\)

D. \(22\)

E. \(24\)

Soal 17

Dua juring mempunyai luas yang sama. Juring pertama berjari-jari \(6\) cm dengan sudut pusat \(135^\circ\). Juring kedua berjari-jari \(9\) cm. Sudut pusat juring kedua adalah…

A. \(45^\circ\)

B. \(60^\circ\)

C. \(72^\circ\)

D. \(90^\circ\)

E. \(120^\circ\)

Soal 18

Dua lingkaran sepusat berjari-jari \(10\) cm dan \(6\) cm membentuk juring cincin dengan sudut pusat \(90^\circ\). Luas juring cincin tersebut adalah…

A. \(8\pi\text{ cm}^2\)

B. \(12\pi\text{ cm}^2\)

C. \(16\pi\text{ cm}^2\)

D. \(24\pi\text{ cm}^2\)

E. \(32\pi\text{ cm}^2\)

Soal 19

Sebuah setengah lingkaran besar berdiameter \(30\) cm. Pada diameternya dibuat dua setengah lingkaran kecil berdampingan dengan diameter \(12\) cm dan \(18\) cm. Luas daerah di dalam setengah lingkaran besar tetapi di luar kedua setengah lingkaran kecil adalah…

A. \(45\pi\text{ cm}^2\)

B. \(48\pi\text{ cm}^2\)

C. \(54\pi\text{ cm}^2\)

D. \(60\pi\text{ cm}^2\)

E. \(72\pi\text{ cm}^2\)

Soal 20

Jarum menit sebuah jam panjangnya \(12\) cm. Panjang lintasan ujung jarum selama \(20\) menit adalah…

A. \(4\pi\) cm

B. \(6\pi\) cm

C. \(8\pi\) cm

D. \(10\pi\) cm

E. \(12\pi\) cm

21. Latihan GSPL, GSPD, dan Apotema

Soal 21

Dua lingkaran mempunyai jari-jari \(9\) cm dan \(4\) cm. Jika jarak kedua pusatnya \(13\) cm, panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah…

A. \(8\) cm

B. \(10\) cm

C. \(12\) cm

D. \(13\) cm

E. \(15\) cm

Soal 22

Dua lingkaran mempunyai jari-jari \(7\) cm dan \(5\) cm dengan jarak antarpusat \(13\) cm. Panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah…

A. \(3\) cm

B. \(4\) cm

C. \(5\) cm

D. \(7\) cm

E. \(12\) cm

Soal 23

Dua lingkaran berjari-jari \(9\) cm dan \(4\) cm mempunyai GSPL sepanjang \(12\) cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah…

A. \(11\) cm

B. \(12\) cm

C. \(13\) cm

D. \(14\) cm

E. \(17\) cm

Soal 24

Dua lingkaran berjari-jari \(7\) cm dan \(1\) cm mempunyai GSPD sepanjang \(15\) cm. Jarak kedua pusatnya adalah…

A. \(15\) cm

B. \(16\) cm

C. \(17\) cm

D. \(18\) cm

E. \(20\) cm

Soal 25

Dua lingkaran berjari-jari \(6\) cm dan \(2\) cm berjarak \(10\) cm. Pasangan panjang GSPL dan GSPD yang benar adalah…

A. \(2\sqrt{21}\) cm dan \(6\) cm

B. \(6\) cm dan \(2\sqrt{21}\) cm

C. \(8\) cm dan \(6\) cm

D. \(4\sqrt5\) cm dan \(8\) cm

E. \(10\) cm dan \(6\) cm

Soal 26

Dua lingkaran berjari-jari \(8\) cm dan \(7\) cm mempunyai jarak antarpusat \(17\) cm. Panjang GSPD adalah…

A. \(6\) cm

B. \(8\) cm

C. \(10\) cm

D. \(12\) cm

E. \(15\) cm

Soal 27

Sudut pusat \(\angle AOB=(5x-10)^\circ\) dan sudut keliling \(\angle ACB=(2x+5)^\circ\) menghadap busur yang sama. Besar \(\angle AOB\) adalah…

A. \(70^\circ\)

B. \(80^\circ\)

C. \(90^\circ\)

D. \(100^\circ\)

E. \(110^\circ\)

Soal 28

Pada lingkaran berjari-jari \(10\) cm, apotema terhadap tali busur \(AB\) adalah \(5\) cm. Sudut pusat yang menghadap tali busur tersebut adalah…

A. \(60^\circ\)

B. \(90^\circ\)

C. \(100^\circ\)

D. \(120^\circ\)

E. \(150^\circ\)

Soal 29

Panjang sebuah tali busur sama dengan jari-jari lingkaran, yaitu \(r\). Panjang apotema terhadap tali busur tersebut adalah…

A. \(\frac12r\)

B. \(\frac{\sqrt2}{2}r\)

C. \(\frac{\sqrt3}{2}r\)

D. \(\sqrt2r\)

E. \(\sqrt3r\)

Soal 30

Sebuah lingkaran berjari-jari \(6\) cm mempunyai tali busur yang menghadap sudut pusat \(120^\circ\). Luas segitiga yang dibentuk oleh dua jari-jari dan tali busur tersebut adalah…

A. \(6\sqrt3\text{ cm}^2\)

B. \(9\sqrt3\text{ cm}^2\)

C. \(12\sqrt3\text{ cm}^2\)

D. \(18\sqrt3\text{ cm}^2\)

E. \(36\sqrt3\text{ cm}^2\)

22. Latihan HOTS Model TKA

Soal 31

Empat titik \(A,B,C,D\) terletak berurutan pada sebuah lingkaran. Ukuran busur \(AB=2x^\circ\), \(BC=3x^\circ\), \(CD=4x^\circ\), dan \(DA=3x^\circ\). Nilai \(\angle ACB+\angle CAD\) adalah…

A. \(60^\circ\)

B. \(75^\circ\)

C. \(90^\circ\)

D. \(105^\circ\)

E. \(120^\circ\)

Soal 32

Sebuah segi enam beraturan terinskripsi pada lingkaran berjari-jari \(8\) cm. Apotema dari pusat lingkaran ke salah satu sisi segi enam adalah…

A. \(2\sqrt3\) cm

B. \(4\) cm

C. \(4\sqrt3\) cm

D. \(6\sqrt3\) cm

E. \(8\sqrt3\) cm

Soal 33

Sebuah penyiram air berjari-jari jangkauan \(18\) m menyapu sektor pertama dari arah \(0^\circ\) sampai \(120^\circ\), lalu sektor kedua dari \(90^\circ\) sampai \(170^\circ\). Luas daerah yang terkena air tepat satu kali adalah…

A. \(99\pi\text{ m}^2\)

B. \(117\pi\text{ m}^2\)

C. \(126\pi\text{ m}^2\)

D. \(153\pi\text{ m}^2\)

E. \(180\pi\text{ m}^2\)

Soal 34

Jarum menit sebuah jam panjangnya \(14\) cm bergerak dari pukul 08.10 sampai 08.45. Panjang lintasan ujung jarum adalah…

A. \(\frac{35\pi}{3}\) cm

B. \(14\pi\) cm

C. \(\frac{49\pi}{3}\) cm

D. \(21\pi\) cm

E. \(\frac{70\pi}{3}\) cm

Soal 35

Sebuah juring mempunyai luas \(48\text{ cm}^2\) dan keliling \(28\) cm. Ternyata terdapat dua nilai jari-jari yang memenuhi kondisi tersebut. Jumlah kedua nilai jari-jari adalah…

A. \(12\) cm

B. \(13\) cm

C. \(14\) cm

D. \(15\) cm

E. \(16\) cm

Soal 36

Sebuah juring mempunyai luas \(72\text{ cm}^2\) dan keliling \(34\) cm. Jumlah seluruh nilai jari-jari yang mungkin adalah…

A. \(15\) cm

B. \(16\) cm

C. \(17\) cm

D. \(18\) cm

E. \(20\) cm

Soal 37

Sebuah lingkaran berjari-jari \(10\) cm mempunyai tali busur yang menghadap sudut pusat \(120^\circ\). Luas tembereng kecilnya adalah…

A. \(\frac{100\pi}{3}-20\sqrt3\text{ cm}^2\)

B. \(\frac{100\pi}{3}-25\sqrt3\text{ cm}^2\)

C. \(50\pi-25\sqrt3\text{ cm}^2\)

D. \(50\pi-50\sqrt3\text{ cm}^2\)

E. \(\frac{200\pi}{3}-25\sqrt3\text{ cm}^2\)

Soal 38

Pada lingkaran berjari-jari \(10\) cm, panjang tali busur \(AB=10\sqrt3\) cm. Luas tembereng kecil yang dibatasi tali busur tersebut adalah…

A. \(25\pi-25\sqrt3\text{ cm}^2\)

B. \(\frac{100\pi}{3}-25\sqrt3\text{ cm}^2\)

C. \(\frac{100\pi}{3}-50\sqrt3\text{ cm}^2\)

D. \(50\pi-25\sqrt3\text{ cm}^2\)

E. \(100\pi-25\sqrt3\text{ cm}^2\)

Soal 39

Dua tali busur sejajar pada lingkaran berjari-jari \(5\) cm berjarak masing-masing \(3\) cm dan \(4\) cm dari pusat. Jumlah panjang kedua tali busur adalah…

A. \(10\) cm

B. \(12\) cm

C. \(14\) cm

D. \(16\) cm

E. \(18\) cm

Soal 40

Titik \(A,B,C,D\) terletak berurutan pada sebuah lingkaran. Ukuran busur \(AB=(x+20)^\circ\), \(BC=2x^\circ\), \(CD=(x+40)^\circ\), dan \(DA=2x^\circ\). Nilai \(\angle ACB+\angle CBD\) adalah…

A. \(70^\circ\)

B. \(75^\circ\)

C. \(80^\circ\)

D. \(85^\circ\)

E. \(90^\circ\)

23. Latihan HOTS Tingkat Lanjut

Soal 41

Dua lingkaran berjarak pusat \(25\) cm. Jari-jari lingkaran besar \(11\) cm dan panjang GSPL \(24\) cm. Jari-jari lingkaran kecil adalah…

A. \(2\) cm

B. \(3\) cm

C. \(4\) cm

D. \(5\) cm

E. \(7\) cm

Soal 42

Dua lingkaran berjarak pusat \(25\) cm. Jari-jari lingkaran besar \(11\) cm dan panjang GSPD \(20\) cm. Jari-jari lingkaran kecil adalah…

A. \(2\) cm

B. \(3\) cm

C. \(4\) cm

D. \(5\) cm

E. \(6\) cm

Soal 43

Dua lingkaran mempunyai jarak pusat \(25\) cm. Panjang GSPL-nya \(24\) cm dan GSPD-nya \(20\) cm. Jari-jari kedua lingkaran adalah…

A. \(10\) cm dan \(3\) cm

B. \(10\) cm dan \(5\) cm

C. \(11\) cm dan \(4\) cm

D. \(12\) cm dan \(3\) cm

E. \(12\) cm dan \(5\) cm

Soal 44

Dua roda berjari-jari \(11\) cm dan \(4\) cm mempunyai jarak pusat \(25\) cm. Sebuah sabuk terbuka memiliki dua bagian lurus yang masing-masing merupakan GSPL. Total panjang kedua bagian lurus sabuk adalah…

A. \(40\) cm

B. \(44\) cm

C. \(48\) cm

D. \(50\) cm

E. \(52\) cm

Soal 45

Dua lingkaran mempunyai jari-jari \(8\) cm dan \(5\) cm serta jarak pusat \(12\) cm. Pernyataan yang benar adalah…

A. GSPL dan GSPD keduanya tidak ada

B. GSPL tidak ada, tetapi GSPD ada

C. GSPL ada, tetapi GSPD tidak ada

D. GSPL dan GSPD keduanya ada dengan panjang positif

E. kedua lingkaran bersinggungan luar

Soal 46

Sebuah juring cincin mempunyai jari-jari luar \(15\) cm, jari-jari dalam \(9\) cm, dan sudut pusat \(120^\circ\). Keliling daerah juring cincin tersebut adalah…

A. \(12+10\pi\) cm

B. \(12+12\pi\) cm

C. \(12+16\pi\) cm

D. \(18+16\pi\) cm

E. \(24+16\pi\) cm

Soal 47

Sebuah lingkaran berjari-jari \(12\) cm mempunyai tali busur yang menghadap sudut pusat \(120^\circ\). Keliling tembereng kecil, yaitu panjang busur kecil ditambah panjang tali busur, adalah…

A. \(8\pi+6\sqrt3\) cm

B. \(8\pi+12\sqrt3\) cm

C. \(12\pi+8\sqrt3\) cm

D. \(12\pi+12\sqrt3\) cm

E. \(16\pi+12\sqrt3\) cm

Soal 48

Pada lingkaran berjari-jari \(12\) cm, sebuah tali busur menghadap sudut pusat \(120^\circ\). Luas tembereng kecilnya adalah…

A. \(24\pi-18\sqrt3\text{ cm}^2\)

B. \(36\pi-18\sqrt3\text{ cm}^2\)

C. \(48\pi-18\sqrt3\text{ cm}^2\)

D. \(48\pi-36\sqrt3\text{ cm}^2\)

E. \(72\pi-36\sqrt3\text{ cm}^2\)

Soal 49

Pada sebuah lingkaran, tali busur \(AB\) dan \(CD\) sama panjang. Titik \(A,B,C,D\) berurutan pada lingkaran. Ukuran busur kecil \(AB=70^\circ\), sedangkan busur \(BC\) dan \(DA\) mempunyai perbandingan \(3:2\). Besar \(\angle BAD\) adalah…

A. \(91^\circ\)

B. \(96^\circ\)

C. \(101^\circ\)

D. \(106^\circ\)

E. \(110^\circ\)

Soal 50

Dua lingkaran berjari-jari \(9\) cm dan \(4\) cm bersinggungan luar. Pasangan panjang GSPL dan GSPD antar kedua lingkaran adalah…

A. \(10\) cm dan \(3\) cm

B. \(12\) cm dan \(0\) cm

C. \(12\) cm dan \(5\) cm

D. \(13\) cm dan \(0\) cm

E. \(13\) cm dan \(12\) cm

24. Soal Uraian dan Pembahasan

Soal 51

Sebuah lingkaran berjari-jari \(13\) cm mempunyai tali busur \(AB=10\) cm. Titik \(M\) merupakan kaki apotema dari pusat \(O\) ke \(AB\). Tentukan panjang \(AM\), panjang \(OM\), dan luas segitiga \(OAB\).

Soal 52

Sebuah lingkaran berjari-jari \(10\) cm mempunyai tali busur \(AB\) dengan apotema \(5\) cm. Tentukan panjang tali busur \(AB\), sudut pusat \(\angle AOB\), panjang busur kecil \(AB\), dan luas juring \(AOB\).

Soal 53

Dua lingkaran mempunyai jari-jari \(9\) cm dan \(4\) cm dengan jarak antarpusat \(13\) cm. Tentukan panjang GSPL dan jelaskan mengapa pada rumus GSPL muncul \(R-r\).

Soal 54

Dua lingkaran berjari-jari \(7\) cm dan \(5\) cm mempunyai jarak pusat \(13\) cm. Tentukan panjang GSPD dan jelaskan mengapa rumus GSPD menggunakan \(R+r\).

Soal 55

Dua lingkaran berjari-jari \(11\) cm dan \(4\) cm mempunyai jarak pusat \(25\) cm. Tentukan GSPL, GSPD, dan jelaskan secara geometris mengapa GSPL lebih panjang daripada GSPD.

Soal 56

Titik \(A,B,C,D\) terletak berurutan pada sebuah lingkaran. Diketahui ukuran busur \(AB=80^\circ\), \(BC=100^\circ\), \(CD=70^\circ\), dan \(DA=110^\circ\). Tentukan \(\angle ACB\), \(\angle BAD\), \(\angle ABC\), dan tunjukkan bahwa sifat sudut berhadapan segiempat siklik terpenuhi.

Soal 57

Sebuah lingkaran berjari-jari \(18\) cm mempunyai juring seluas \(81\pi\text{ cm}^2\). Tentukan sudut pusat juring, panjang busurnya, dan keliling juring.

Soal 58

Sebuah juring cincin mempunyai jari-jari luar \(18\) cm, jari-jari dalam \(12\) cm, dan sudut pusat \(150^\circ\). Tentukan luas juring cincin, panjang busur luar, panjang busur dalam, dan kelilingnya.

Soal 59

Sebuah setengah lingkaran besar berdiameter \(36\) cm. Di dalamnya terdapat dua setengah lingkaran kecil berdampingan, masing-masing berdiameter \(18\) cm. Tentukan luas daerah di dalam setengah lingkaran besar tetapi di luar kedua setengah lingkaran kecil, serta keliling daerah yang tersusun dari ketiga busur setengah lingkaran.

Soal 60

Sebuah lingkaran berjari-jari \(12\) cm mempunyai tali busur \(AB\) yang menghadap sudut pusat \(120^\circ\). Titik \(M\) merupakan kaki apotema dari \(O\) ke \(AB\). Tentukan panjang apotema \(OM\), panjang tali busur \(AB\), panjang busur kecil \(AB\), luas juring \(AOB\), dan luas tembereng kecil \(AB\).

25. Kesalahan Umum yang Perlu Dihindari

Mencampur Ukuran Busur dan Panjang Busur

Ukuran busur dinyatakan dalam derajat. Panjang busur dinyatakan dalam satuan panjang.

Menggunakan Faktor Setengah Tanpa Memeriksa Busur

Sudut keliling bernilai setengah sudut pusat hanya ketika keduanya menghadap busur yang sama.

Menggunakan Seluruh Tali Busur pada Segitiga Apotema

Apotema membagi tali busur menjadi dua bagian sama panjang. Sisi segitiga siku-sikunya adalah setengah tali busur.

Menganggap Apotema Selalu Sama dengan Jari-Jari

Apotema adalah jarak dari pusat ke tali busur. Untuk tali busur nyata yang tidak degeneratif, panjang apotema lebih kecil daripada jari-jari.

Tertukar antara \(R-r\) dan \(R+r\)

GSPL menggunakan \(R-r\). GSPD menggunakan \(R+r\).

Menggunakan Rumus GSPD Saat Garis Singgungnya Tidak Ada

Jika

$$\displaystyle d<R+r$$

maka GSPD nyata tidak dapat dibentuk.

Terlalu Cepat Menghitung

Pada soal HOTS, sering kali hubungan atau perbandingan dapat digunakan sebelum memasukkan angka. Strategi ini biasanya lebih singkat dan mengurangi risiko salah hitung.

26. Cek Pemahaman

• Mengapa garis dari pusat yang tegak lurus tali busur membagi tali busur menjadi dua bagian sama panjang?
• Pada lingkaran yang sama, mengapa tali busur yang lebih dekat ke pusat selalu lebih panjang?
• Mengapa GSPL menggunakan selisih jari-jari, sedangkan GSPD menggunakan jumlah jari-jari?
• Jika luas juring dan panjang busur diketahui, bagaimana cara paling cepat menentukan jari-jari?
• Bagaimana cara mengetahui busur mana yang dihadapi sebuah sudut keliling?

27. Refleksi

• Konsep mana yang paling sering mengubah soal lingkaran menjadi masalah segitiga siku-siku?
• Jika apotema sebuah tali busur semakin kecil sementara jari-jari tetap, apa yang terjadi pada panjang tali busur? Jelaskan alasannya.
• Jika jarak kedua pusat lingkaran diperbesar sementara \(R\) dan \(r\) tetap, bagaimana perubahan GSPL dan GSPD?
• Mengapa membaca struktur gambar sering lebih penting daripada menghafal banyak rumus?

28. Kesimpulan

Lingkaran Kelas 11 menjadi jauh lebih mudah ketika setiap objek dipahami melalui hubungannya dengan objek lain.

Sudut pusat menentukan ukuran busur. Sudut keliling mempunyai hubungan dengan busur yang dihadapinya. Diameter menghasilkan sudut keliling \(90^\circ\), sedangkan segiempat siklik mempunyai pasangan sudut berhadapan yang berjumlah \(180^\circ\).

Panjang busur dan luas juring berasal dari perbandingan sudut pusat terhadap satu putaran penuh. Tembereng dapat dianalisis sebagai selisih luas juring dengan segitiga pusat.

Apotema memberi hubungan penting antara pusat lingkaran dan tali busur. Karena apotema tegak lurus sekaligus membagi tali busur menjadi dua, masalah tersebut dapat diubah menjadi segitiga siku-siku.

Pola segitiga siku-siku kembali muncul pada GSPL dan GSPD. Pada GSPL, sisi bantu yang muncul adalah \(R-r\). Pada GSPD, sisi bantunya \(R+r\). Dari sinilah kedua rumus garis singgung persekutuan berasal.

Pada soal TKA dan HOTS, tujuan utama bukan menghafal sebanyak mungkin rumus, tetapi mengenali hubungan yang tersembunyi pada gambar. Begitu struktur tersebut ditemukan, penyelesaiannya biasanya menjadi lebih pendek dan lebih masuk akal.

FAQ Lingkaran Kelas 11

Apa perbedaan ukuran busur dan panjang busur?

Ukuran busur menyatakan ukuran sudut pada busur dan biasanya dinyatakan dalam derajat. Panjang busur menyatakan panjang fisik bagian keliling dan menggunakan satuan seperti cm atau m.

Apa yang dimaksud apotema lingkaran?

Apotema lingkaran adalah ruas garis dari pusat lingkaran yang tegak lurus terhadap tali busur. Apotema membagi tali busur menjadi dua bagian sama panjang.

Bagaimana mencari panjang tali busur jika jari-jari dan apotema diketahui?

Jika jari-jari \(r\) dan apotema \(a\), maka

$$\displaystyle c=2\sqrt{r^2-a^2}$$

Apa perbedaan GSPL dan GSPD?

GSPL adalah garis singgung persekutuan luar dan panjangnya

$$\displaystyle \mathrm{GSPL}=\sqrt{d^2-(R-r)^2}$$

Sedangkan GSPD adalah garis singgung persekutuan dalam dengan panjang

$$\displaystyle \mathrm{GSPD}=\sqrt{d^2-(R+r)^2}$$

Kapan GSPD tidak dapat dibuat?

GSPD dengan panjang positif memerlukan

$$\displaystyle d>R+r$$

Jika \(d<R+r\), kedua lingkaran terlalu dekat atau berpotongan sehingga garis singgung persekutuan dalam tidak dapat dibentuk.