Persamaan kuadrat merupakan salah satu materi penting dalam matematika kelas X. Melalui materi ini, kita tidak hanya belajar menemukan nilai \(x\), tetapi juga memahami hubungan antara bentuk aljabar, akar persamaan, faktorisasi, diskriminan, dan grafik parabola.
Persamaan kuadrat muncul dalam berbagai persoalan, seperti menentukan ukuran suatu bangun, mencari dua bilangan yang memenuhi syarat tertentu, menentukan titik potong grafik, hingga menyelesaikan masalah kontekstual.
Karena itu, mempelajari persamaan kuadrat sebaiknya tidak berhenti pada menghafal rumus. Kita perlu memahami alasan sebuah metode bekerja, mengenali pola, memilih strategi yang efisien, dan memeriksa kembali apakah hasil yang diperoleh masuk akal.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan mampu mengenali bentuk umum persamaan kuadrat, menentukan koefisien \(a\), \(b\), dan \(c\), menentukan akar menggunakan faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna, menggunakan rumus abc, menentukan diskriminan, menganalisis jenis akar, menggunakan hubungan jumlah dan hasil kali akar, membentuk persamaan kuadrat baru, serta menyelesaikan masalah kontekstual.
Mari Berpikir
Perhatikan persamaan
$$\displaystyle x^2-7x+12=0$$
Jika \(x=3\), maka
$$\displaystyle 3^2-7(3)+12=0$$
Jika \(x=4\), maka
$$\displaystyle 4^2-7(4)+12=0$$
Ternyata ada dua nilai berbeda yang membuat persamaan tersebut benar. Kedua nilai inilah yang disebut akar-akar persamaan kuadrat.
Jika bentuk \(y=x^2-7x+12\) digambar sebagai grafik, kita memperoleh parabola. Nilai \(x=3\) dan \(x=4\) merupakan absis titik potong parabola dengan sumbu \(x\).
Jadi, konsep akar persamaan kuadrat mempunyai makna aljabar sekaligus geometris.
Pengertian Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan satu variabel yang pangkat tertinggi variabelnya sama dengan dua. Bentuk umumnya adalah
$$\displaystyle ax^2+bx+c=0$$
dengan syarat
$$\displaystyle a\neq0$$
Pada bentuk tersebut, \(a\) disebut koefisien kuadrat, \(b\) disebut koefisien linear, dan \(c\) disebut konstanta.
Mengapa harus berlaku \(a\neq0\)? Jika \(a=0\), suku kuadrat hilang sehingga bentuknya menjadi
$$\displaystyle bx+c=0$$
Bentuk tersebut merupakan persamaan linear, bukan persamaan kuadrat.
Menentukan Koefisien Persamaan Kuadrat
Perhatikan persamaan
$$\displaystyle 3x^2-8x+5=0$$
Diperoleh
$$\displaystyle a=3$$
$$\displaystyle b=-8$$
$$\displaystyle c=5$$
Tanda negatif merupakan bagian dari koefisien. Karena itu, pada suku \(-8x\), nilai \(b\) adalah \(-8\), bukan \(8\).
Jika sebuah suku tidak ditulis, koefisiennya bernilai nol. Misalnya,
$$\displaystyle 2x^2-18=0$$
dapat dipandang sebagai
$$\displaystyle 2x^2+0x-18=0$$
sehingga
$$\displaystyle a=2$$
$$\displaystyle b=0$$
$$\displaystyle c=-18$$
Bentuk-Bentuk Khusus Persamaan Kuadrat
Persamaan Kuadrat dengan \(a=1\)
Jika \(a=1\), bentuk persamaannya adalah
$$\displaystyle x^2+bx+c=0$$
Contohnya
$$\displaystyle x^2-9x+20=0$$
Persamaan Kuadrat Murni
Jika \(b=0\), bentuknya adalah
$$\displaystyle ax^2+c=0$$
Contohnya
$$\displaystyle 3x^2-48=0$$
Bentuk ini biasanya dapat diselesaikan dengan mengisolasi \(x^2\).
Persamaan Kuadrat Tak Lengkap
Jika \(c=0\), bentuknya adalah
$$\displaystyle ax^2+bx=0$$
Contohnya
$$\displaystyle 2x^2-10x=0$$
Persamaan seperti ini dapat diselesaikan dengan mengeluarkan faktor \(x\).
Persamaan Kuadrat dengan Koefisien Pecahan
Koefisien persamaan kuadrat dapat berupa bilangan rasional. Contohnya
$$\displaystyle \frac{1}{2}x^2-\frac{3}{4}x-\frac{5}{2}=0$$
Untuk mempermudah perhitungan, semua suku dapat dikalikan dengan bilangan yang sama agar pecahannya hilang.
Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Akar persamaan kuadrat adalah nilai \(x\) yang membuat persamaan menjadi benar.
Jika akar-akarnya adalah \(x_1\) dan \(x_2\), maka kedua nilai tersebut memenuhi
$$\displaystyle ax^2+bx+c=0$$
Sebuah persamaan kuadrat dapat mempunyai dua akar real berbeda, satu akar real kembar, atau tidak mempunyai akar real.
Mengapa Faktorisasi Bisa Menentukan Akar?
Misalkan persamaan dapat ditulis menjadi
$$\displaystyle (x-p)(x-q)=0$$
Berdasarkan sifat perkalian nol, jika hasil kali dua faktor sama dengan nol, maka salah satu faktor harus sama dengan nol.
Kita memperoleh
$$\displaystyle x-p=0$$
atau
$$\displaystyle x-q=0$$
Sehingga
$$\displaystyle x=p$$
atau
$$\displaystyle x=q$$
Inilah dasar metode faktorisasi.
Menentukan Akar dengan Faktorisasi
Untuk bentuk
$$\displaystyle x^2+bx+c=0$$
kita mencari dua bilangan \(p\) dan \(q\) sehingga
$$\displaystyle p+q=b$$
dan
$$\displaystyle pq=c$$
Mengapa demikian? Perhatikan pengembangan berikut.
$$\displaystyle (x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq$$
Dengan membandingkannya terhadap \(x^2+bx+c\), diperoleh \(p+q=b\) dan \(pq=c\).
Soal 1
Tentukan akar-akar persamaan \(x^2+11x+24=0\) dengan faktorisasi.
Kita mencari dua bilangan yang hasil kalinya \(24\) dan jumlahnya \(11\). Bilangan tersebut adalah \(3\) dan \(8\).
Maka
$$\displaystyle x^2+11x+24=0$$
$$\displaystyle (x+3)(x+8)=0$$
Berdasarkan sifat perkalian nol,
$$\displaystyle x+3=0$$
atau
$$\displaystyle x+8=0$$
Sehingga
$$\displaystyle x_1=-3$$
dan
$$\displaystyle x_2=-8$$
Jadi, akar-akarnya adalah \(-3\) dan \(-8\).
Faktorisasi Jika \(a\neq1\)
Untuk persamaan
$$\displaystyle ax^2+bx+c=0$$
dengan \(a\neq1\), kita dapat mencari dua bilangan yang hasil kalinya \(ac\) dan jumlahnya \(b\). Selanjutnya, suku tengah \(bx\) dipecah menjadi dua suku agar dapat dilakukan pengelompokan.
Soal 2
Tentukan akar-akar persamaan \(2x^2-13x+15=0\) dengan faktorisasi.
Diketahui \(a=2\), \(b=-13\), dan \(c=15\).
Hitung
$$\displaystyle ac=2(15)=30$$
Kita mencari dua bilangan yang hasil kalinya \(30\) dan jumlahnya \(-13\). Bilangan tersebut adalah \(-10\) dan \(-3\).
Pecah suku tengah.
$$\displaystyle 2x^2-13x+15=0$$
$$\displaystyle 2x^2-10x-3x+15=0$$
Kelompokkan.
$$\displaystyle 2x(x-5)-3(x-5)=0$$
Faktorkan.
$$\displaystyle (2x-3)(x-5)=0$$
Berdasarkan sifat perkalian nol,
$$\displaystyle 2x-3=0$$
atau
$$\displaystyle x-5=0$$
Diperoleh
$$\displaystyle x_1=\frac{3}{2}$$
dan
$$\displaystyle x_2=5$$
Jadi, akar-akarnya adalah \(\frac{3}{2}\) dan \(5\).
Persamaan Kuadrat Murni
Jika persamaan berbentuk
$$\displaystyle ax^2+c=0$$
kita dapat mengisolasi \(x^2\).
Soal 3
Tentukan akar-akar persamaan \(4x^2-100=0\).
Mulai dari
$$\displaystyle 4x^2-100=0$$
Pindahkan \(-100\) ke ruas kanan.
$$\displaystyle 4x^2=100$$
Bagi kedua ruas dengan \(4\).
$$\displaystyle x^2=25$$
Ambil akar kedua ruas.
$$\displaystyle x=\pm5$$
Jadi, akar-akarnya adalah \(5\) dan \(-5\).
Persamaan Kuadrat Tak Lengkap
Jika \(c=0\), persamaannya berbentuk
$$\displaystyle ax^2+bx=0$$
Kita dapat memfaktorkan \(x\).
Soal 4
Tentukan akar-akar persamaan \(3x^2-15x=0\).
Mulai dari
$$\displaystyle 3x^2-15x=0$$
Faktorkan \(3x\).
$$\displaystyle 3x(x-5)=0$$
Berdasarkan sifat perkalian nol,
$$\displaystyle 3x=0$$
atau
$$\displaystyle x-5=0$$
Sehingga
$$\displaystyle x_1=0$$
dan
$$\displaystyle x_2=5$$
Jadi, akar-akarnya adalah \(0\) dan \(5\).
Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Tidak semua persamaan kuadrat mudah difaktorkan. Salah satu metode lain adalah melengkapkan kuadrat sempurna.
Dasarnya adalah identitas
$$\displaystyle (x+p)^2=x^2+2px+p^2$$
Jika bentuk yang dimiliki adalah
$$\displaystyle x^2+bx$$
maka kita ingin membuat
$$\displaystyle 2p=b$$
sehingga
$$\displaystyle p=\frac{b}{2}$$
Dengan demikian, suku yang perlu ditambahkan adalah
$$\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^2$$
Penambahan tersebut harus dilakukan pada kedua ruas agar persamaan tetap setara.
Soal 5
Tentukan akar-akar persamaan \(x^2+6x-5=0\) dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
Mulai dari
$$\displaystyle x^2+6x-5=0$$
Pindahkan konstanta.
$$\displaystyle x^2+6x=5$$
Setengah dari koefisien \(x\) adalah
$$\displaystyle \frac{6}{2}=3$$
Kuadratnya adalah
$$\displaystyle 3^2=9$$
Tambahkan \(9\) pada kedua ruas.
$$\displaystyle x^2+6x+9=5+9$$
Diperoleh
$$\displaystyle (x+3)^2=14$$
Ambil akar kedua ruas.
$$\displaystyle x+3=\pm\sqrt{14}$$
Maka
$$\displaystyle x=-3\pm\sqrt{14}$$
Sehingga
$$\displaystyle x_1=-3+\sqrt{14}$$
dan
$$\displaystyle x_2=-3-\sqrt{14}$$
Melengkapkan Kuadrat Jika \(a\neq1\)
Jika koefisien \(x^2\) bukan satu, kita dapat membagi seluruh persamaan dengan \(a\) terlebih dahulu.
Misalnya,
$$\displaystyle 2x^2+8x-3=0$$
Bagi seluruh persamaan dengan \(2\).
$$\displaystyle x^2+4x-\frac{3}{2}=0$$
Setelah koefisien \(x^2\) menjadi satu, proses melengkapkan kuadrat dapat dilanjutkan.
Rumus abc
Untuk persamaan umum
$$\displaystyle ax^2+bx+c=0$$
dengan \(a\neq0\), akar-akarnya dapat ditentukan menggunakan
$$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
Rumus tersebut dikenal sebagai rumus abc atau rumus kuadrat.
Rumus abc sangat berguna ketika persamaan sulit difaktorkan, akar-akarnya berbentuk irasional, atau koefisien persamaan mengandung parameter.
Mengapa Rumus abc Benar?
Rumus abc sebenarnya berasal dari proses melengkapkan kuadrat.
Mulai dari
$$\displaystyle ax^2+bx+c=0$$
Bagi seluruh persamaan dengan \(a\).
$$\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$
Pindahkan konstanta ke ruas kanan.
$$\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$
Tambahkan
$$\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}$$
pada kedua ruas.
$$\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$$
Ruas kiri menjadi kuadrat sempurna.
$$\displaystyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$
Ambil akar kedua ruas.
$$\displaystyle x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
Pindahkan \(\frac{b}{2a}\) ke ruas kanan.
$$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
Jadi, rumus abc merupakan bentuk umum dari proses melengkapkan kuadrat.
Diskriminan
Bagian
$$\displaystyle b^2-4ac$$
pada rumus abc disebut diskriminan dan dilambangkan dengan \(D\).
$$\displaystyle D=b^2-4ac$$
Dengan demikian, rumus abc dapat ditulis menjadi
$$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$
Soal 6
Tentukan akar-akar persamaan \(4x^2+4x-3=0\) menggunakan rumus abc.
Diketahui
$$\displaystyle a=4$$
$$\displaystyle b=4$$
$$\displaystyle c=-3$$
Hitung diskriminan.
$$\displaystyle D=b^2-4ac$$
$$\displaystyle D=4^2-4(4)(-3)$$
$$\displaystyle D=16+48$$
$$\displaystyle D=64$$
Gunakan rumus abc.
$$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{64}}{8}$$
$$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-4\pm8}{8}$$
Untuk tanda positif,
$$\displaystyle x_1=\frac{-4+8}{8}$$
$$\displaystyle x_1=\frac{1}{2}$$
Untuk tanda negatif,
$$\displaystyle x_2=\frac{-4-8}{8}$$
$$\displaystyle x_2=-\frac{3}{2}$$
Jadi, akar-akarnya adalah \(\frac{1}{2}\) dan \(-\frac{3}{2}\).
Faktorisasi, Kuadrat Sempurna, atau Rumus abc?
Ketiga metode tersebut dapat menghasilkan akar yang sama, tetapi tingkat efisiensinya berbeda.
Gunakan faktorisasi jika pasangan faktor mudah ditemukan. Gunakan melengkapkan kuadrat sempurna jika ingin mengubah persamaan ke bentuk kuadrat atau memahami asal rumus abc. Gunakan rumus abc ketika faktorisasi sulit atau ketika akar tidak sederhana.
Memilih metode yang tepat merupakan bagian dari kemampuan memecahkan masalah.
Jenis Akar Berdasarkan Diskriminan
Nilai diskriminan menentukan jenis akar persamaan kuadrat.
Jika
$$\displaystyle D\gt 0$$
maka persamaan mempunyai dua akar real berbeda.
Jika
$$\displaystyle D=0$$
maka persamaan mempunyai akar real kembar.
Jika
$$\displaystyle D\lt 0$$
maka persamaan tidak mempunyai akar real.
Mengapa Diskriminan Menentukan Jenis Akar?
Perhatikan bagian
$$\displaystyle \sqrt{D}$$
pada rumus abc.
Jika \(D\gt 0\), nilai \(\sqrt{D}\) positif sehingga tanda \(+\) dan \(-\) memberikan dua hasil berbeda.
Jika \(D=0\), maka \(\sqrt{D}=0\) sehingga kedua hasil sama.
Jika \(D\lt 0\), akar kuadrat dari \(D\) bukan bilangan real.
Hubungan Diskriminan dengan Grafik Parabola
Persamaan
$$\displaystyle ax^2+bx+c=0$$
dapat dipandang sebagai pencarian nilai \(x\) pada grafik
$$\displaystyle y=ax^2+bx+c$$
ketika
$$\displaystyle y=0$$
Jika \(D\gt 0\), parabola memotong sumbu \(x\) di dua titik.
Jika \(D=0\), parabola menyinggung sumbu \(x\) tepat di satu titik.
Jika \(D\lt 0\), parabola tidak memotong sumbu \(x\).
Soal 7
Tentukan jenis akar persamaan \(3x^2-10x+5=0\) tanpa mencari akar-akarnya.
Diketahui
$$\displaystyle a=3$$
$$\displaystyle b=-10$$
$$\displaystyle c=5$$
Hitung diskriminan.
$$\displaystyle D=b^2-4ac$$
$$\displaystyle D=(-10)^2-4(3)(5)$$
$$\displaystyle D=100-60$$
$$\displaystyle D=40$$
Karena
$$\displaystyle D\gt 0$$
maka persamaan mempunyai dua akar real berbeda.
Menentukan Parameter Berdasarkan Jenis Akar
Jika persamaan mengandung parameter, syarat diskriminan dapat digunakan untuk menentukan nilai parameter.
Dua akar real berbeda memenuhi
$$\displaystyle D\gt 0$$
Akar kembar memenuhi
$$\displaystyle D=0$$
Tidak mempunyai akar real memenuhi
$$\displaystyle D\lt 0$$
Soal 8
Tentukan nilai \(m\) agar persamaan \(x^2-(m+3)x+25=0\) mempunyai akar kembar.
Akar kembar mensyaratkan
$$\displaystyle D=0$$
Diketahui
$$\displaystyle a=1$$
$$\displaystyle b=-(m+3)$$
$$\displaystyle c=25$$
Gunakan diskriminan.
$$\displaystyle (m+3)^2-4(1)(25)=0$$
$$\displaystyle (m+3)^2-100=0$$
Gunakan selisih dua kuadrat.
$$\displaystyle (m+3-10)(m+3+10)=0$$
$$\displaystyle (m-7)(m+13)=0$$
Maka
$$\displaystyle m=7$$
atau
$$\displaystyle m=-13$$
Jadi, nilai \(m\) yang memenuhi adalah \(7\) atau \(-13\).
Soal 9
Tentukan nilai \(p\) agar persamaan \(x^2+px+p+1=0\) mempunyai dua akar real berbeda.
Syarat dua akar real berbeda adalah
$$\displaystyle D\gt 0$$
Diketahui \(a=1\), \(b=p\), dan \(c=p+1\).
Maka
$$\displaystyle p^2-4(p+1)\gt 0$$
Sederhanakan.
$$\displaystyle p^2-4p-4\gt 0$$
Tentukan titik batas dengan menyelesaikan
$$\displaystyle p^2-4p-4=0$$
Gunakan rumus abc.
$$\displaystyle p=\frac{4\pm\sqrt{16+16}}{2}$$
$$\displaystyle p=\frac{4\pm\sqrt{32}}{2}$$
$$\displaystyle p=2\pm2\sqrt{2}$$
Karena koefisien \(p^2\) positif, bentuk kuadrat bernilai positif di luar interval kedua akar.
Jadi,
$$\displaystyle p\lt 2-2\sqrt{2}$$
atau
$$\displaystyle p\gt 2+2\sqrt{2}$$
Jumlah dan Hasil Kali Akar
Jika \(x_1\) dan \(x_2\) merupakan akar persamaan
$$\displaystyle ax^2+bx+c=0$$
maka berlaku
$$\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$
dan
$$\displaystyle x_1x_2=\frac{c}{a}$$
Hubungan ini sering disebut hubungan Vieta.
Mengapa Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar Benar?
Jika akar-akarnya adalah \(x_1\) dan \(x_2\), persamaan dapat ditulis
$$\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)=0$$
Kembangkan kedua faktor.
$$\displaystyle a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)=0$$
Sehingga
$$\displaystyle ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2=0$$
Bandingkan dengan
$$\displaystyle ax^2+bx+c=0$$
Dari koefisien \(x\),
$$\displaystyle -a(x_1+x_2)=b$$
Sehingga
$$\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$
Dari konstanta,
$$\displaystyle ax_1x_2=c$$
Sehingga
$$\displaystyle x_1x_2=\frac{c}{a}$$
Soal 10
Persamaan \(6x^2-7x-5=0\) mempunyai akar \(x_1\) dan \(x_2\). Tentukan jumlah dan hasil kali kedua akar.
Diketahui
$$\displaystyle a=6$$
$$\displaystyle b=-7$$
$$\displaystyle c=-5$$
Jumlah akar:
$$\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$
$$\displaystyle x_1+x_2=-\frac{-7}{6}$$
$$\displaystyle x_1+x_2=\frac{7}{6}$$
Hasil kali akar:
$$\displaystyle x_1x_2=\frac{c}{a}$$
$$\displaystyle x_1x_2=-\frac{5}{6}$$
Jadi,
$$\displaystyle x_1+x_2=\frac{7}{6}$$
dan
$$\displaystyle x_1x_2=-\frac{5}{6}$$
Menghitung Bentuk Lain yang Melibatkan Akar
Hubungan jumlah dan hasil kali akar dapat digunakan untuk menentukan bentuk lain tanpa mencari akar satu per satu.
Jumlah kuadrat akar:
$$\displaystyle x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$
Jumlah kubik akar:
$$\displaystyle x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$$
Jika \(x_1x_2\neq0\), jumlah kebalikan akar adalah
$$\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$
Besar selisih kedua akar adalah
$$\displaystyle |x_1-x_2|=\frac{\sqrt{D}}{|a|}$$
Soal 11
Akar-akar persamaan \(4x^2+6x-5=0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\). Tentukan nilai \(x_1^2+x_2^2\).
Tentukan jumlah akar.
$$\displaystyle x_1+x_2=-\frac{6}{4}$$
$$\displaystyle x_1+x_2=-\frac{3}{2}$$
Tentukan hasil kali akar.
$$\displaystyle x_1x_2=-\frac{5}{4}$$
Gunakan identitas.
$$\displaystyle x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$
Substitusikan.
$$\displaystyle x_1^2+x_2^2=\left(-\frac{3}{2}\right)^2-2\left(-\frac{5}{4}\right)$$
$$\displaystyle x_1^2+x_2^2=\frac{9}{4}+\frac{10}{4}$$
$$\displaystyle x_1^2+x_2^2=\frac{19}{4}$$
Jadi,
$$\displaystyle x_1^2+x_2^2=\frac{19}{4}$$
Soal 12
Akar-akar persamaan \(3x^2-8x+2=0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\). Tentukan nilai \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).
Gunakan
$$\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$
Dari persamaan diperoleh
$$\displaystyle x_1+x_2=\frac{8}{3}$$
dan
$$\displaystyle x_1x_2=\frac{2}{3}$$
Substitusikan.
$$\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{2}{3}}$$
$$\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=4$$
Jadi, nilainya adalah \(4\).
Membentuk Persamaan Kuadrat dari Akar-akarnya
Jika akar-akar suatu persamaan adalah \(\alpha\) dan \(\beta\), maka
$$\displaystyle (x-\alpha)(x-\beta)=0$$
Jika dikembangkan,
$$\displaystyle x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0$$
Misalkan
$$\displaystyle S=\alpha+\beta$$
dan
$$\displaystyle P=\alpha\beta$$
Maka persamaan kuadrat moniknya adalah
$$\displaystyle x^2-Sx+P=0$$
Soal 13
Bentuklah persamaan kuadrat yang mempunyai akar \(4\) dan \(-7\).
Jumlah akar:
$$\displaystyle S=4+(-7)$$
$$\displaystyle S=-3$$
Hasil kali akar:
$$\displaystyle P=4(-7)$$
$$\displaystyle P=-28$$
Gunakan bentuk
$$\displaystyle x^2-Sx+P=0$$
Substitusikan.
$$\displaystyle x^2-(-3)x-28=0$$
Sehingga
$$\displaystyle x^2+3x-28=0$$
Jadi, persamaan kuadratnya adalah \(x^2+3x-28=0\).
Membentuk Persamaan Baru dari Transformasi Akar
Misalkan persamaan lama mempunyai akar \(x_1\) dan \(x_2\), sedangkan akar persamaan baru adalah \(x_1+k\) dan \(x_2+k\).
Misalkan
$$\displaystyle y_1=x_1+k$$
dan
$$\displaystyle y_2=x_2+k$$
Jumlah akar baru adalah
$$\displaystyle y_1+y_2=x_1+x_2+2k$$
Hasil kali akar baru adalah
$$\displaystyle y_1y_2=x_1x_2+k(x_1+x_2)+k^2$$
Setelah jumlah dan hasil kali akar baru diketahui, persamaan barunya dapat dibentuk.
Soal 14
Persamaan \(x^2-5x+3=0\) mempunyai akar \(x_1\) dan \(x_2\). Bentuklah persamaan baru yang akar-akarnya \(x_1+2\) dan \(x_2+2\).
Dari persamaan awal,
$$\displaystyle x_1+x_2=5$$
dan
$$\displaystyle x_1x_2=3$$
Misalkan
$$\displaystyle y_1=x_1+2$$
dan
$$\displaystyle y_2=x_2+2$$
Jumlah akar baru:
$$\displaystyle y_1+y_2=x_1+x_2+4$$
$$\displaystyle y_1+y_2=5+4$$
$$\displaystyle y_1+y_2=9$$
Hasil kali akar baru:
$$\displaystyle y_1y_2=(x_1+2)(x_2+2)$$
$$\displaystyle y_1y_2=x_1x_2+2x_1+2x_2+4$$
$$\displaystyle y_1y_2=x_1x_2+2(x_1+x_2)+4$$
$$\displaystyle y_1y_2=3+2(5)+4$$
$$\displaystyle y_1y_2=17$$
Maka persamaan barunya adalah
$$\displaystyle y^2-9y+17=0$$
Hubungan Persamaan Kuadrat dengan Fungsi Kuadrat
Persamaan
$$\displaystyle ax^2+bx+c=0$$
dan fungsi
$$\displaystyle y=ax^2+bx+c$$
mempunyai bentuk aljabar yang sama, tetapi tujuan penggunaannya berbeda.
Pada persamaan kuadrat, kita mencari nilai \(x\) yang membuat ekspresi sama dengan nol. Pada fungsi kuadrat, kita mempelajari hubungan antara seluruh nilai \(x\) dan \(y\).
Karena itu, akar persamaan kuadrat merupakan absis titik potong grafik parabola dengan sumbu \(x\).
Sumbu Simetri dan Akar Persamaan
Jika fungsi kuadrat mempunyai dua akar \(x_1\) dan \(x_2\), sumbu simetri berada tepat di tengah kedua akar.
$$\displaystyle x=\frac{x_1+x_2}{2}$$
Karena
$$\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$
maka
$$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$$
Jadi, rumus sumbu simetri berhubungan langsung dengan jumlah akar persamaan kuadrat.
Penerapan Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah nyata. Langkah pentingnya adalah menentukan variabel, menyusun model persamaan, menyelesaikan persamaan, kemudian menafsirkan jawabannya sesuai konteks.
Soal 15
Sebuah persegi panjang mempunyai panjang \(6\) cm lebih besar daripada lebarnya. Jika luasnya \(91\) cm persegi, tentukan panjang dan lebarnya.
Misalkan lebar persegi panjang adalah \(x\) cm. Maka panjangnya adalah \(x+6\) cm.
Gunakan rumus luas.
$$\displaystyle x(x+6)=91$$
Kembangkan.
$$\displaystyle x^2+6x=91$$
Pindahkan semua suku ke ruas kiri.
$$\displaystyle x^2+6x-91=0$$
Faktorkan.
$$\displaystyle (x+13)(x-7)=0$$
Diperoleh
$$\displaystyle x=-13$$
atau
$$\displaystyle x=7$$
Karena ukuran panjang tidak mungkin negatif, nilai \(x=-13\) tidak digunakan.
Maka lebar persegi panjang adalah
$$\displaystyle 7$$
dan panjangnya adalah
$$\displaystyle 7+6=13$$
Jadi, lebarnya \(7\) cm dan panjangnya \(13\) cm.
Strategi Memilih Metode yang Efisien
Gunakan faktorisasi jika pasangan faktor mudah ditemukan. Gunakan bentuk khusus jika persamaannya berupa \(ax^2+c=0\) atau \(ax^2+bx=0\). Gunakan melengkapkan kuadrat jika ingin melihat struktur kuadrat sempurna. Gunakan rumus abc jika faktorisasi sulit. Gunakan diskriminan jika hanya ditanya jenis akar. Gunakan hubungan jumlah dan hasil kali akar jika yang ditanya merupakan ekspresi simetris dari \(x_1\) dan \(x_2\).
Pembelajaran mendalam bukan berarti selalu melakukan langkah paling panjang. Strategi yang baik justru mampu memilih jalan yang paling sesuai dengan struktur soal.
Cek Pemahaman
Soal 16
Akar-akar persamaan \(x^2-12x+35=0\) adalah ….
A. \(5\) dan \(7\)
B. \(-5\) dan \(-7\)
C. \(4\) dan \(8\)
D. \(-4\) dan \(-8\)
E. \(1\) dan \(35\)
Kita mencari dua bilangan yang hasil kalinya \(35\) dan jumlahnya \(-12\), yaitu \(-5\) dan \(-7\).
Maka
$$\displaystyle x^2-12x+35=0$$
$$\displaystyle (x-5)(x-7)=0$$
Sehingga
$$\displaystyle x=5$$
atau
$$\displaystyle x=7$$
Jadi, jawabannya adalah A.
Soal 17
Nilai diskriminan persamaan \(2x^2-4x+5=0\) adalah ….
A. \(-24\)
B. \(-16\)
C. \(0\)
D. \(16\)
E. \(24\)
Diketahui
$$\displaystyle a=2$$
$$\displaystyle b=-4$$
$$\displaystyle c=5$$
Gunakan diskriminan.
$$\displaystyle D=b^2-4ac$$
$$\displaystyle D=(-4)^2-4(2)(5)$$
$$\displaystyle D=16-40$$
$$\displaystyle D=-24$$
Jadi, jawabannya adalah A.
Soal 18
Persamaan \(2x^2+kx+8=0\) mempunyai akar kembar. Nilai \(k\) yang mungkin adalah ….
A. \(-8\) atau \(8\)
B. \(-4\) atau \(4\)
C. \(-16\) atau \(16\)
D. hanya \(8\)
E. hanya \(-8\)
Syarat akar kembar adalah
$$\displaystyle D=0$$
Maka
$$\displaystyle k^2-4(2)(8)=0$$
$$\displaystyle k^2-64=0$$
Faktorkan.
$$\displaystyle (k-8)(k+8)=0$$
Diperoleh
$$\displaystyle k=8$$
atau
$$\displaystyle k=-8$$
Jadi, jawabannya adalah A.
Soal 19
Jika \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar persamaan \(3x^2-9x+4=0\), nilai \(x_1+x_2\) adalah ….
A. \(-3\)
B. \(-\frac{4}{3}\)
C. \(\frac{4}{3}\)
D. \(3\)
E. \(9\)
Gunakan rumus jumlah akar.
$$\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$
Substitusikan \(a=3\) dan \(b=-9\).
$$\displaystyle x_1+x_2=-\frac{-9}{3}$$
$$\displaystyle x_1+x_2=3$$
Jadi, jawabannya adalah D.
Soal 20
Sebuah persamaan kuadrat mempunyai akar \(2\) dan \(-6\). Persamaan kuadrat monik yang sesuai adalah ….
A. \(x^2-4x-12=0\)
B. \(x^2+4x-12=0\)
C. \(x^2-8x+12=0\)
D. \(x^2+8x+12=0\)
E. \(x^2+4x+12=0\)
Jumlah akar adalah
$$\displaystyle S=2+(-6)$$
$$\displaystyle S=-4$$
Hasil kali akar adalah
$$\displaystyle P=2(-6)$$
$$\displaystyle P=-12$$
Gunakan bentuk persamaan
$$\displaystyle x^2-Sx+P=0$$
Substitusikan.
$$\displaystyle x^2-(-4)x-12=0$$
Sederhanakan.
$$\displaystyle x^2+4x-12=0$$
Jadi, jawabannya adalah B.
Kesalahan Umum dalam Persamaan Kuadrat
Tidak Menulis Persamaan dalam Bentuk Standar
Persamaan
$$\displaystyle 2x^2+5=7x$$
harus diubah terlebih dahulu menjadi
$$\displaystyle 2x^2-7x+5=0$$
Barulah diperoleh \(a=2\), \(b=-7\), dan \(c=5\).
Salah Membaca Tanda Koefisien
Pada
$$\displaystyle 3x^2-9x+2=0$$
nilai \(b=-9\), bukan \(9\).
Melupakan Tanda \(\pm\)
Jika
$$\displaystyle x^2=25$$
maka penyelesaiannya adalah
$$\displaystyle x=\pm5$$
bukan hanya \(x=5\).
Memaksakan Faktorisasi
Persamaan
$$\displaystyle x^2+2x-2=0$$
tidak mudah difaktorkan dengan bilangan bulat. Rumus abc atau melengkapkan kuadrat lebih efisien.
Mencari Akar Padahal Tidak Diperlukan
Jika yang ditanya hanya \(x_1+x_2\), \(x_1x_2\), atau bentuk seperti \(x_1^2+x_2^2\), gunakan hubungan akar secara langsung.
Mengabaikan Konteks
Pada soal ukuran, luas, waktu, atau jumlah benda, akar negatif mungkin benar secara aljabar tetapi tidak dapat digunakan dalam konteks masalah.
Refleksi
- Mengapa sifat perkalian nol menjadi dasar metode faktorisasi persamaan kuadrat?
- Bagaimana proses melengkapkan kuadrat dapat menghasilkan rumus abc?
- Mengapa nilai diskriminan dapat menentukan banyaknya titik potong parabola dengan sumbu \(x\)?
- Mengapa menggunakan jumlah dan hasil kali akar lebih efisien daripada mencari \(x_1\) dan \(x_2\) satu per satu pada soal tertentu?
Kesimpulan
Persamaan kuadrat adalah persamaan satu variabel yang dapat ditulis dalam bentuk
$$\displaystyle ax^2+bx+c=0$$
dengan
$$\displaystyle a\neq0$$
Nilai variabel yang memenuhi persamaan disebut akar-akar persamaan kuadrat.
Akar dapat ditentukan melalui faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna, atau rumus abc. Faktorisasi bekerja berdasarkan sifat perkalian nol, sedangkan rumus abc sebenarnya berasal dari proses melengkapkan kuadrat.
Diskriminan
$$\displaystyle D=b^2-4ac$$
digunakan untuk menentukan jenis akar. Jika \(D\gt 0\), terdapat dua akar real berbeda. Jika \(D=0\), terdapat akar real kembar. Jika \(D\lt 0\), tidak terdapat akar real.
Jika akar-akarnya adalah \(x_1\) dan \(x_2\), berlaku
$$\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$
dan
$$\displaystyle x_1x_2=\frac{c}{a}$$
Hubungan tersebut memungkinkan kita menghitung berbagai bentuk yang melibatkan akar tanpa menentukan akar satu per satu.
Persamaan kuadrat juga mempunyai hubungan erat dengan fungsi kuadrat. Akar persamaan merupakan absis titik potong parabola dengan sumbu \(x\), sedangkan diskriminan menjelaskan banyaknya titik potong tersebut.
Pembelajaran mendalam pada persamaan kuadrat bukan sekadar menghafal rumus. Yang lebih penting adalah memahami hubungan antarkonsep, mengenali struktur soal, memilih strategi yang efisien, dan mampu menjelaskan alasan setiap langkah penyelesaian.
FAQ
Apa bentuk umum persamaan kuadrat?
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah
$$\displaystyle ax^2+bx+c=0$$
dengan syarat
$$\displaystyle a\neq0$$
Apa yang dimaksud dengan akar persamaan kuadrat?
Akar persamaan kuadrat adalah nilai \(x\) yang membuat persamaan menjadi benar.
Apa rumus abc?
Rumus abc adalah
$$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
Apa fungsi diskriminan?
Diskriminan
$$\displaystyle D=b^2-4ac$$
digunakan untuk menentukan jenis akar persamaan kuadrat.
Bagaimana menentukan jumlah dan hasil kali akar tanpa mencari akar satu per satu?
Jika \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar dari \(ax^2+bx+c=0\), maka
$$\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$
dan
$$\displaystyle x_1x_2=\frac{c}{a}$$
