Soal TKA Matematika Pilihan 2025 tidak sekadar menguji kemampuan melakukan perhitungan. Siswa perlu memahami informasi dalam bentuk teks, tabel, grafik, gambar, maupun persamaan, kemudian memilih konsep matematika yang tepat untuk menyelesaikan masalah.
Karena itu, sebelum membahas setiap soal, kita akan mempelajari konsep inti yang sering digunakan. Tujuannya agar penyelesaian tidak hanya menghasilkan jawaban benar, tetapi juga membangun pemahaman mengenai alasan di balik setiap strategi.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan mampu menggunakan invers dan operasi matriks, menerapkan konsep polinomial, menafsirkan fungsi eksponensial dan trigonometri, menggunakan panjang serta operasi vektor, menganalisis persamaan dan geometri lingkaran, serta menentukan bayangan akibat transformasi geometri.
Mari Berpikir
Dalam soal TKA, rumus yang digunakan sering kali tidak terlalu rumit. Tantangan utamanya adalah menemukan hubungan antara informasi yang diketahui dengan konsep yang tepat.
Sebelum menghitung, biasakan menjawab tiga pertanyaan: apa yang diketahui, apa yang ditanyakan, dan konsep apa yang menghubungkan keduanya.
Materi Inti Soal TKA Matematika Pilihan 2025
1. Invers Matriks dan Sistem Persamaan
Untuk matriks
$$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)$$
determinan matriks adalah
$$\displaystyle \det(A)=ad-bc$$
Matriks \(A\) mempunyai invers jika
$$\displaystyle ad-bc\neq0$$
Jika syarat tersebut terpenuhi, invers matriksnya adalah
$$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d&-b\\-c&a\end{array}\right)$$
Konsep invers sangat berguna untuk menyelesaikan sistem persamaan. Jika suatu sistem ditulis dalam bentuk
$$\displaystyle AX=B$$
maka penyelesaiannya dapat diperoleh dengan
$$\displaystyle X=A^{-1}B$$
selama \(A^{-1}\) ada.
2. Operasi Matriks dalam Masalah Kontekstual
Matriks dapat digunakan untuk menyusun data yang saling berhubungan. Misalnya, baris dapat mewakili jenis produk, sedangkan kolom mewakili bahan baku.
Jika matriks kebutuhan bahan per produk dikalikan dengan banyak produk yang dibuat, hasilnya dapat menunjukkan total kebutuhan bahan. Kunci utamanya adalah memperhatikan urutan baris, kolom, dan kesesuaian ordo matriks.
3. Polinomial, Faktor, dan Sisa Pembagian
Jika suatu polinomial \(f(x)\) memenuhi
$$\displaystyle f(c)=0$$
maka \(x-c\) merupakan faktor dari \(f(x)\).
Untuk pembagian polinomial berlaku hubungan
$$\displaystyle f(x)=P(x)Q(x)+R(x)$$
dengan derajat \(R(x)\) lebih kecil daripada derajat pembagi \(Q(x)\).
Jika pembaginya berderajat dua, sisa pembagiannya berbentuk
$$\displaystyle R(x)=px+q$$
Konsep ini sering digunakan pada soal yang meminta nilai parameter dalam suatu polinomial.
4. Fungsi Eksponensial
Model pertumbuhan eksponensial dapat ditulis dalam bentuk
$$\displaystyle f(t)=A\cdot b^{t/k}$$
Nilai \(A\) menyatakan kondisi awal karena
$$\displaystyle f(0)=A$$
Jika waktu bertambah sebesar \(k\), faktor pertumbuhan berubah sebanyak \(b\) kali.
Karena itu, pertumbuhan eksponensial berbeda dengan pertumbuhan linear. Pada pertumbuhan linear, penambahannya tetap, sedangkan pada pertumbuhan eksponensial, faktor pengalinya yang tetap.
5. Fungsi Trigonometri dan Model Periodik
Model periodik dapat berbentuk
$$\displaystyle y=a+b\cos(\omega t)$$
Nilai tengah grafik dapat ditentukan dengan
$$\displaystyle a=\frac{y_{\max}+y_{\min}}{2}$$
Amplitudonya adalah
$$\displaystyle |b|=\frac{y_{\max}-y_{\min}}{2}$$
Sedangkan periode fungsi kosinus adalah
$$\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}$$
Konsep ini dapat digunakan untuk memodelkan pasang surut air laut dan fenomena lain yang berulang secara teratur.
6. Panjang Vektor
Untuk vektor tiga dimensi
$$\displaystyle \vec{v}=\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)$$
panjang vektornya adalah
$$\displaystyle |\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$
Pada gerak dengan kecepatan konstan, panjang lintasan sebanding dengan waktu tempuh. Artinya, jika kecepatan tidak berubah, perbandingan waktu dapat digunakan untuk menentukan perbandingan jarak.
7. Persamaan Lingkaran
Lingkaran dengan pusat \((a,b)\) dan jari-jari \(r\) mempunyai persamaan
$$\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Jika persamaan ditulis dalam bentuk umum
$$\displaystyle x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$$
pusat lingkarannya adalah
$$\displaystyle \left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$$
Dua lingkaran disebut sepusat apabila memiliki titik pusat yang sama, meskipun jari-jarinya berbeda.
8. Garis Singgung Lingkaran
Jari-jari yang ditarik menuju titik singgung selalu tegak lurus terhadap garis singgung.
Jika dua garis saling tegak lurus dan gradiennya berturut-turut \(m_1\) dan \(m_2\), maka
$$\displaystyle m_1m_2=-1$$
Hubungan ini dapat digunakan untuk menentukan posisi titik singgung tanpa harus selalu mencari persamaan garis singgung secara lengkap.
9. Transformasi Geometri
Refleksi terhadap garis \(y=x\) menukar koordinat
$$\displaystyle (x,y)\to(y,x)$$
Untuk translasi
$$\displaystyle T=\left(\begin{array}{c}h\\k\end{array}\right)$$
setiap titik berpindah menurut
$$\displaystyle (x,y)\to(x+h,y+k)$$
Jika yang dicari adalah persamaan bayangan suatu garis setelah translasi, gunakan substitusi
$$\displaystyle x\to x-h$$
dan
$$\displaystyle y\to y-k$$
pada persamaan sebelum translasi.
Pembahasan Soal TKA Matematika Pilihan 2025
Matriks
Soal 1
Diketahui matriks \(F=\left(\begin{array}{cc}2&0\\0&\frac{1}{2}\end{array}\right)\). Invers dari matriks \(F\) adalah ….
A. \(\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&2\end{array}\right)\)
B. \(\left(\begin{array}{cc}-1&0\\0&-2\end{array}\right)\)
C. \(\left(\begin{array}{cc}2&0\\0&1\end{array}\right)\)
D. \(\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}&0\\0&-2\end{array}\right)\)
E. \(\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&0\\0&2\end{array}\right)\)
Matriks \(F\) merupakan matriks diagonal. Invers matriks diagonal dapat diperoleh dengan mengambil kebalikan dari setiap elemen diagonalnya.
Kebalikan dari \(2\) adalah \(\frac{1}{2}\), sedangkan kebalikan dari \(\frac{1}{2}\) adalah \(2\).
Dengan demikian,
$$\displaystyle F^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&0\\0&2\end{array}\right)$$
Pemeriksaan dapat dilakukan dengan mengalikan matriks dengan inversnya.
$$\displaystyle FF^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2&0\\0&\frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&0\\0&2\end{array}\right)$$
$$\displaystyle FF^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)$$
Hasilnya adalah matriks identitas. Jadi, jawabannya adalah E.
Soal 2
Pak Andi memelihara sapi dan kambing. Seekor sapi membutuhkan \(10\) kg rumput gajah dan \(10\) kg rumput gamal setiap hari. Seekor kambing membutuhkan \(2\) kg rumput gajah dan \(1\) kg rumput gamal. Jika tersedia tepat \(38\) kg rumput gajah dan \(34\) kg rumput gamal, tentukan banyak sapi \(x\) dan kambing \(y\).
Berdasarkan kebutuhan rumput gajah,
$$\displaystyle 10x+2y=38$$
Berdasarkan kebutuhan rumput gamal,
$$\displaystyle 10x+y=34$$
Persamaan pertama dapat disederhanakan menjadi
$$\displaystyle 5x+y=19$$
Sistem persamaan dapat ditulis sebagai
$$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}5&1\\10&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}19\\34\end{array}\right)$$
Misalkan
$$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}5&1\\10&1\end{array}\right)$$
Determinan matriks \(A\) adalah
$$\displaystyle \det(A)=5(1)-1(10)$$
$$\displaystyle \det(A)=-5$$
Inversnya adalah
$$\displaystyle A^{-1}=-\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}1&-1\\-10&5\end{array}\right)$$
$$\displaystyle A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\2&-1\end{array}\right)$$
Maka
$$\displaystyle \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\2&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}19\\34\end{array}\right)$$
Untuk \(x\),
$$\displaystyle x=-\frac{1}{5}(19)+\frac{1}{5}(34)$$
$$\displaystyle x=3$$
Untuk \(y\),
$$\displaystyle y=2(19)-34$$
$$\displaystyle y=4$$
Jadi, Pak Andi mempunyai \(3\) ekor sapi dan \(4\) ekor kambing.
Soal 3
Sebuah pabrik memproduksi wedang jahe, beras kencur, dan kunir asem. Kebutuhan air untuk setiap botol berturut-turut adalah \(50\) ml, \(40\) ml, dan \(k\) ml. Jika jumlah produksi berturut-turut \(100\), \(120\), dan \(80\) botol serta total air yang digunakan \(13000\) ml, banyak air untuk satu botol kunir asem adalah ….
A. \(30\) ml
B. \(35\) ml
C. \(40\) ml
D. \(45\) ml
E. \(50\) ml
Air yang digunakan untuk wedang jahe adalah
$$\displaystyle 100(50)=5000$$
ml.
Air untuk beras kencur adalah
$$\displaystyle 120(40)=4800$$
ml.
Air untuk kunir asem adalah \(80k\) ml.
Jumlah seluruh air memenuhi
$$\displaystyle 5000+4800+80k=13000$$
$$\displaystyle 9800+80k=13000$$
$$\displaystyle 80k=3200$$
$$\displaystyle k=40$$
Jadi, satu botol kunir asem memerlukan \(40\) ml air. Jawabannya adalah C.
Soal 4
Hotel A mempunyai \(9\) Standard Room, \(6\) Deluxe Room, dan \(3\) Suite Room. Hotel B mempunyai \(6\), \(7\), dan \(2\) kamar. Hotel C mempunyai \(7\), \(5\), dan \(4\) kamar. Harga setiap malam untuk Standard Room, Deluxe Room, dan Suite Room berturut-turut Rp150.000, Rp500.000, dan Rp1.000.000. Jika semua kamar terisi penuh, pilih semua pernyataan yang benar.
A. Pendapatan Hotel A dan Hotel C sama besar.
B. Pendapatan Hotel B lebih besar daripada Hotel A.
C. Pendapatan paling besar diperoleh dari Hotel C.
D. Masing-masing hotel memiliki selisih pendapatan yang sama besar.
E. Pendapatan ketiga hotel lebih dari Rp20.000.000.
Pendapatan Hotel A adalah
$$\displaystyle 9(150000)+6(500000)+3(1000000)$$
$$\displaystyle =1350000+3000000+3000000$$
$$\displaystyle =7350000$$
Pendapatan Hotel B adalah
$$\displaystyle 6(150000)+7(500000)+2(1000000)$$
$$\displaystyle =900000+3500000+2000000$$
$$\displaystyle =6400000$$
Pendapatan Hotel C adalah
$$\displaystyle 7(150000)+5(500000)+4(1000000)$$
$$\displaystyle =1050000+2500000+4000000$$
$$\displaystyle =7550000$$
Jadi,
$$\displaystyle 6400000<7350000<7550000$$
Pendapatan terbesar diperoleh Hotel C sehingga pernyataan C benar.
Total pendapatan ketiga hotel adalah
$$\displaystyle 7350000+6400000+7550000$$
$$\displaystyle =21300000$$
Karena jumlah tersebut lebih dari Rp20.000.000, pernyataan E juga benar.
Jadi, jawaban yang benar adalah C dan E.
Polinomial
Soal 5
Di manakah koordinat titik perpotongan grafik \(f(x)=x^3+3x^2-10x-24\) dengan sumbu \(X\)? Pilih semua jawaban yang benar.
A. \((-2,0)\)
B. \((-1,0)\)
C. \((3,0)\)
D. \((4,0)\)
E. \((5,0)\)
Titik potong dengan sumbu \(X\) terjadi ketika
$$\displaystyle f(x)=0$$
Uji \(x=-2\).
$$\displaystyle f(-2)=(-2)^3+3(-2)^2-10(-2)-24$$
$$\displaystyle f(-2)=-8+12+20-24$$
$$\displaystyle f(-2)=0$$
Jadi, \(x=-2\) merupakan akar.
Polinomial tersebut dapat difaktorkan menjadi
$$\displaystyle f(x)=(x+2)(x-3)(x+4)$$
Maka akar-akarnya adalah
$$\displaystyle x=-2$$
$$\displaystyle x=3$$
dan
$$\displaystyle x=-4$$
Dari pilihan yang tersedia, titik potong yang benar adalah \((-2,0)\) dan \((3,0)\).
Jadi, jawabannya adalah A dan C.
Soal 6
Diketahui \(f(x)=x^4+ax^3+bx^2+x-6\). Jika \(f(x)\) dibagi oleh \(x^2+x+1\) dan menghasilkan sisa \(5x-1\), nilai \(a+b\) adalah ….
A. \(11\)
B. \(5\)
C. \(-1\)
D. \(-5\)
E. \(-7\)
Karena pembaginya adalah
$$\displaystyle x^2+x+1$$
maka dalam perhitungan sisa berlaku
$$\displaystyle x^2=-x-1$$
Kalikan dengan \(x\).
$$\displaystyle x^3=-x^2-x$$
Gunakan kembali \(x^2=-x-1\).
$$\displaystyle x^3=-(-x-1)-x$$
$$\displaystyle x^3=1$$
Selanjutnya,
$$\displaystyle x^4=x$$
Dengan demikian, sisa \(f(x)\) dapat ditulis sebagai
$$\displaystyle x+a+b(-x-1)+x-6$$
Gabungkan suku sejenis.
$$\displaystyle (2-b)x+(a-b-6)$$
Diketahui sisanya adalah
$$\displaystyle 5x-1$$
Bandingkan koefisien \(x\).
$$\displaystyle 2-b=5$$
$$\displaystyle b=-3$$
Bandingkan konstanta.
$$\displaystyle a-b-6=-1$$
Substitusi \(b=-3\).
$$\displaystyle a+3-6=-1$$
$$\displaystyle a=2$$
Maka
$$\displaystyle a+b=2+(-3)$$
$$\displaystyle a+b=-1$$
Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 7
Penambahan volume sebuah drum akibat pemanasan dinyatakan oleh \(V(T)=0{,}05T^3+0{,}4T^2+20T\). Jika terdapat \(10\) drum yang sama dan semuanya mengalami suhu yang sama, total penambahan volumenya adalah ….
A. \(50T^3+40T^2+200T\)
B. \(50T^3+4T^2+200T\)
C. \(5T^3+4T^2+200T\)
D. \(0{,}5T^3+4T^2+200T\)
E. \(0{,}5T^3+0{,}4T^2+200T\)
Karena terdapat \(10\) drum yang sama, total penambahan volume adalah
$$\displaystyle 10V(T)$$
Substitusikan bentuk fungsi.
$$\displaystyle 10V(T)=10(0{,}05T^3+0{,}4T^2+20T)$$
Kalikan setiap suku dengan \(10\).
$$\displaystyle 10V(T)=0{,}5T^3+4T^2+200T$$
Jadi, jawabannya adalah D.
Soal 8
Modal saham suatu perusahaan dinyatakan dengan \(f(x)=x^3-70x^2-600x+74000\) dalam jutaan rupiah. Jika perusahaan mempunyai modal \(2000\) juta rupiah, tentukan kemungkinan menjual saham sebanyak \(30\), \(40\), dan \(60\) unit.
Jumlah unit saham memenuhi kondisi apabila
$$\displaystyle f(x)=2000$$
Untuk \(x=30\),
$$\displaystyle f(30)=30^3-70(30)^2-600(30)+74000$$
$$\displaystyle f(30)=27000-63000-18000+74000$$
$$\displaystyle f(30)=20000$$
Karena \(20000\neq2000\), maka \(30\) unit Tidak Mungkin.
Untuk \(x=40\),
$$\displaystyle f(40)=40^3-70(40)^2-600(40)+74000$$
$$\displaystyle f(40)=64000-112000-24000+74000$$
$$\displaystyle f(40)=2000$$
Jadi, \(40\) unit Mungkin.
Untuk \(x=60\),
$$\displaystyle f(60)=60^3-70(60)^2-600(60)+74000$$
$$\displaystyle f(60)=216000-252000-36000+74000$$
$$\displaystyle f(60)=2000$$
Jadi, \(60\) unit Mungkin.
Kesimpulannya, \(30\) unit Tidak Mungkin, sedangkan \(40\) unit dan \(60\) unit Mungkin.
Fungsi
Soal 9
Populasi kelinci di suatu pulau dimodelkan dengan \(K(t)=4\cdot2^{t/4}\), dengan \(t\) menyatakan waktu dalam tahun dan \(K(t)\) menyatakan populasi dalam ribu ekor. Tentukan Benar atau Salah untuk setiap pernyataan berikut.
Pernyataan 1: Setiap \(4\) tahun populasi menjadi \(4\) kali lipat.
Pernyataan 2: Pada saat awal populasi kelinci berjumlah \(4\) ribu ekor.
Pernyataan 3: Populasi mencapai \(1\) juta ekor sebelum \(20\) tahun.
Untuk mengetahui perubahan setiap \(4\) tahun, tentukan \(K(t+4)\).
$$\displaystyle K(t+4)=4\cdot2^{(t+4)/4}$$
$$\displaystyle K(t+4)=4\cdot2^{t/4+1}$$
$$\displaystyle K(t+4)=2K(t)$$
Artinya, setiap \(4\) tahun populasi menjadi dua kali lipat, bukan empat kali lipat. Pernyataan 1 Salah.
Pada awal pengamatan,
$$\displaystyle K(0)=4\cdot2^0$$
$$\displaystyle K(0)=4$$
Karena satuannya ribu ekor, populasi awal adalah \(4\) ribu ekor. Pernyataan 2 Benar.
Periksa populasi pada tahun ke-\(20\).
$$\displaystyle K(20)=4\cdot2^{20/4}$$
$$\displaystyle K(20)=4\cdot2^5$$
$$\displaystyle K(20)=128$$
Artinya, setelah \(20\) tahun populasi baru mencapai \(128\) ribu ekor, belum mencapai \(1\) juta ekor.
Pernyataan 3 Salah.
Jadi, urutannya adalah Salah, Benar, Salah.
Soal 10
Pertumbuhan luas tanaman eceng gondok mengikuti pola eksponensial. Pada tahun ke-\(0\) luasnya \(10\) m², tahun ke-\(1\) menjadi \(70\) m², dan tahun ke-\(2\) menjadi \(490\) m². Setelah \(3\) tahun, tercatat luas Danau A \(15000\) m², Danau B \(16500\) m², Danau C \(17000\) m², Danau D \(17500\) m², dan Danau E \(18000\) m². Wilayah mana yang pada awal pengamatan mempunyai luas lebih dari \(49\) m²?
A. Danau A
B. Danau B
C. Danau C
D. Danau D
E. Danau E
Faktor pertumbuhan setiap tahun adalah
$$\displaystyle \frac{70}{10}=7$$
dan
$$\displaystyle \frac{490}{70}=7$$
Jadi, dalam tiga tahun faktor pertumbuhannya adalah
$$\displaystyle 7^3=343$$
Jika luas awal lebih dari \(49\) m², maka luas setelah tiga tahun harus lebih dari
$$\displaystyle 49(343)$$
$$\displaystyle =16807$$
Bandingkan dengan data setiap danau.
Untuk Danau A,
$$\displaystyle 15000<16807$$
Untuk Danau B,
$$\displaystyle 16500<16807$$
Untuk Danau C,
$$\displaystyle 17000>16807$$
Untuk Danau D,
$$\displaystyle 17500>16807$$
Untuk Danau E,
$$\displaystyle 18000>16807$$
Jadi, wilayah yang memenuhi adalah Danau C, Danau D, dan Danau E.
Jawabannya adalah C, D, dan E.
Soal 11
Kedalaman air laut dimodelkan dengan \(y=a+b\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)\). Kedalaman maksimum adalah \(14{,}3\) meter pada \(t=0\), kedalaman minimum \(10{,}3\) meter pada \(t=6\), dan maksimum kembali pada \(t=12\). Waktu ketika kedalaman mencapai \(12{,}3\) meter untuk ketiga kalinya setelah pukul 00.00 adalah ….
A. \(3\) jam
B. \(9\) jam
C. \(10\) jam
D. \(12\) jam
E. \(15\) jam
Nilai tengah grafik adalah
$$\displaystyle a=\frac{14{,}3+10{,}3}{2}$$
$$\displaystyle a=12{,}3$$
Amplitudonya adalah
$$\displaystyle b=\frac{14{,}3-10{,}3}{2}$$
$$\displaystyle b=2$$
Maka modelnya dapat ditulis
$$\displaystyle y=12{,}3+2\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)$$
Ketika kedalaman \(12{,}3\) meter,
$$\displaystyle 12{,}3=12{,}3+2\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)$$
$$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)=0$$
Nilai pertama terjadi ketika
$$\displaystyle \frac{\pi}{6}t=\frac{\pi}{2}$$
$$\displaystyle t=3$$
Karena kedalaman tersebut terjadi setiap \(6\) jam, waktunya adalah
$$\displaystyle t=3$$
$$\displaystyle t=9$$
$$\displaystyle t=15$$
Kejadian ketiga terjadi \(15\) jam setelah pukul 00.00.
Jadi, jawabannya adalah E.
Vektor
Soal 12
Diketahui \(\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}2m\\m+3\\m\end{array}\right)\). Jika panjang vektor \(\overrightarrow{AB}\) adalah \(9\) satuan, nilai \(m\) adalah ….
A. \(-4\) atau \(-3\)
B. \(-4\) atau \(3\)
C. \(-3\) atau \(4\)
D. \(3\) atau \(4\)
Gunakan rumus panjang vektor.
$$\displaystyle \sqrt{(2m)^2+(m+3)^2+m^2}=9$$
Kuadratkan kedua ruas.
$$\displaystyle 4m^2+(m+3)^2+m^2=81$$
Kembangkan kuadrat.
$$\displaystyle 4m^2+m^2+6m+9+m^2=81$$
$$\displaystyle 6m^2+6m+9=81$$
$$\displaystyle 6m^2+6m-72=0$$
Bagi dengan \(6\).
$$\displaystyle m^2+m-12=0$$
Faktorkan.
$$\displaystyle (m+4)(m-3)=0$$
Jadi,
$$\displaystyle m=-4$$
atau
$$\displaystyle m=3$$
Jawabannya adalah B.
Soal 13
Diketahui trapesium sama kaki \(ABCD\) dengan \(AD=BC\) dan titik \(A=(0,0)\). Diketahui \(\overrightarrow{AD}=\left(\begin{array}{c}1\\4\end{array}\right)\), \(\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}6\\0\end{array}\right)\), dan \(\overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\). Nilai \(a^2+2b\) adalah ….
A. \(5\)
B. \(7\)
C. \(9\)
D. \(10\)
E. \(13\)
Karena
$$\displaystyle \overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}6\\0\end{array}\right)$$
maka sisi \(AB\) horizontal.
Pada trapesium,
$$\displaystyle AB\parallel DC$$
sehingga sisi \(DC\) juga horizontal.
Dari
$$\displaystyle \overrightarrow{AD}=\left(\begin{array}{c}1\\4\end{array}\right)$$
diperoleh
$$\displaystyle D=(1,4)$$
Sedangkan
$$\displaystyle B=(6,0)$$
Karena
$$\displaystyle C=B+\overrightarrow{BC}$$
maka
$$\displaystyle C=(6+a,b)$$
Agar \(DC\) horizontal, ordinat titik \(C\) harus sama dengan ordinat titik \(D\).
$$\displaystyle b=4$$
Karena trapesium sama kaki,
$$\displaystyle |AD|=|BC|$$
Panjang \(AD\) adalah
$$\displaystyle |AD|=\sqrt{1^2+4^2}$$
$$\displaystyle |AD|=\sqrt{17}$$
Maka
$$\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{17}$$
Kuadratkan.
$$\displaystyle a^2+b^2=17$$
Substitusi \(b=4\).
$$\displaystyle a^2+16=17$$
$$\displaystyle a^2=1$$
Maka
$$\displaystyle a^2+2b=1+2(4)$$
$$\displaystyle a^2+2b=9$$
Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 14
Kereta bergerak dengan kecepatan konstan dari stasiun A menuju E. Koordinat A dan E berturut-turut adalah \((2,3,5)\) dan \((11,6,8)\). Waktu tempuh AB adalah \(5\) menit, BC \(3\) menit, CD \(2\) menit, dan DE \(3\) menit. Lintasan mana yang panjangnya kurang dari \(3{,}5\) km?
A. AB
B. BC
C. CD
D. DE
E. CE
Vektor dari A menuju E adalah
$$\displaystyle \overrightarrow{AE}=\left(\begin{array}{c}11-2\\6-3\\8-5\end{array}\right)$$
$$\displaystyle \overrightarrow{AE}=\left(\begin{array}{c}9\\3\\3\end{array}\right)$$
Panjang lintasan AE adalah
$$\displaystyle |AE|=\sqrt{9^2+3^2+3^2}$$
$$\displaystyle |AE|=\sqrt{99}$$
$$\displaystyle |AE|=3\sqrt{11}$$
Total waktu perjalanan adalah
$$\displaystyle 5+3+2+3=13$$
Karena kecepatan konstan, jarak yang ditempuh setiap menit adalah
$$\displaystyle \frac{3\sqrt{11}}{13}$$
Nilainya sekitar \(0{,}765\) km per menit.
Jarak AB sekitar
$$\displaystyle 5(0{,}765)=3{,}825$$
km, sehingga tidak memenuhi.
Jarak BC sekitar
$$\displaystyle 3(0{,}765)=2{,}295$$
km, sehingga memenuhi.
Jarak CD sekitar
$$\displaystyle 2(0{,}765)=1{,}53$$
km, sehingga memenuhi.
Jarak DE sekitar
$$\displaystyle 3(0{,}765)=2{,}295$$
km, sehingga memenuhi.
Lintasan CE membutuhkan waktu \(5\) menit sehingga panjangnya sama dengan AB, yaitu sekitar \(3{,}825\) km.
Jadi, lintasan yang panjangnya kurang dari \(3{,}5\) km adalah BC, CD, dan DE.
Jawabannya adalah B, C, dan D.
Lingkaran
Soal 15
Sebuah lingkaran memiliki pusat \((-3,4)\). Persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran tersebut adalah ….
A. \(x^2+6x+y^2-8y+16=0\)
B. \(x^2-6x+y^2-8y+21=0\)
C. \(x^2+6x+y^2+8y+16=0\)
D. \(x^2-8x+y^2-6y+16=0\)
E. \(x^2+8x+y^2-6y+21=0\)
Untuk persamaan
$$\displaystyle x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$$
pusat lingkaran adalah
$$\displaystyle \left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$$
Pada pilihan A,
$$\displaystyle D=6$$
dan
$$\displaystyle E=-8$$
Pusatnya adalah
$$\displaystyle \left(-\frac{6}{2},-\frac{-8}{2}\right)$$
$$\displaystyle =(-3,4)$$
Pusat tersebut sama dengan pusat lingkaran pada soal.
Jadi, jawabannya adalah A.
Soal 16
Sebuah lingkaran berpusat di \(A=(2,-3)\) dan melalui titik \(B=(3,-1)\). Garis \(f\) melalui titik \(C=(-1,0)\) dan \(D=(0,2)\). Tentukan semua titik singgung lingkaran dari garis-garis singgung yang tegak lurus terhadap garis \(f\).
A. \((3,1)\)
B. \((1,-5)\)
C. \((-1,5)\)
D. \((3,-1)\)
E. \((-3,-1)\)
Gradien garis \(f\) adalah
$$\displaystyle m_f=\frac{2-0}{0-(-1)}$$
$$\displaystyle m_f=2$$
Garis singgung yang dicari tegak lurus terhadap garis \(f\). Karena jari-jari juga tegak lurus terhadap garis singgung, maka jari-jari menuju titik singgung harus sejajar dengan garis \(f\).
Arah tersebut dapat diwakili oleh vektor
$$\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)$$
Panjang jari-jari dapat diperoleh dari titik \(B\).
$$\displaystyle r=\sqrt{(3-2)^2+(-1+3)^2}$$
$$\displaystyle r=\sqrt{1^2+2^2}$$
$$\displaystyle r=\sqrt{5}$$
Vektor
$$\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)$$
juga mempunyai panjang \(\sqrt{5}\).
Titik singgung pertama adalah
$$\displaystyle (2,-3)+(1,2)$$
$$\displaystyle =(3,-1)$$
Titik singgung kedua adalah
$$\displaystyle (2,-3)-(1,2)$$
$$\displaystyle =(1,-5)$$
Jadi, jawabannya adalah B dan D.
Soal 17
Sebuah rambu berbentuk persegi berukuran \(40\) cm \(\times40\) cm. Di dalam persegi terdapat lingkaran luar berjari-jari \(20\) cm dan lingkaran bagian dalam berjari-jari \(14\) cm. Daerah antara kedua lingkaran berwarna hitam. Berdasarkan gambar, bandingkan penggunaan cat warna lain dengan cat hitam.
Luas daerah hitam merupakan selisih luas lingkaran luar dan lingkaran dalam.
$$\displaystyle L_h=\pi(20^2-14^2)$$
$$\displaystyle L_h=204\pi$$
Dengan pendekatan \(\pi=3{,}14\),
$$\displaystyle L_h=204(3{,}14)$$
$$\displaystyle L_h=640{,}56$$
cm².
Setengah luas daerah hitam adalah
$$\displaystyle \frac{1}{2}L_h=320{,}28$$
cm².
Luas daerah biru merupakan luas persegi dikurangi luas lingkaran luar.
$$\displaystyle L_b=40^2-\pi(20)^2$$
$$\displaystyle L_b=1600-400(3{,}14)$$
$$\displaystyle L_b=344$$
cm².
Karena
$$\displaystyle 344>320{,}28$$
maka gabungan setengah daerah hitam dan daerah biru mempunyai luas lebih besar daripada daerah hitam.
Dari ukuran dan bentuk daerah merah pada gambar, luas keseluruhan daerah merah juga lebih besar daripada setengah luas daerah hitam, sedangkan daerah putih lebih kecil daripada setengah luas hitam. Karena itu, kombinasi yang melebihi luas hitam adalah setengah hitam dan biru, setengah hitam dan merah, serta biru dan merah.
Soal 18
Sebuah ornamen kaca patri berbentuk lingkaran mempunyai empat potongan kaca merah yang sama besar. Luas satu potongan merah adalah \(456\) cm². Gunakan \(\pi=3{,}14\) dan \(\sqrt{2}\approx1{,}4\). Kerangka logam terdiri atas keliling lingkaran, dua diameter yang saling tegak lurus, dan empat sisi persegi yang titik sudutnya terletak pada lingkaran. Pilihan logam tersedia dengan panjang A \(4\) m, B \(5\) m, dan C \(6{,}5\) m. Pilihan dianggap pas jika panjangnya cukup dan sisa tidak lebih dari \(1\) m. Tentukan pilihan yang Pas atau Tidak Pas.
Satu potongan merah merupakan selisih antara seperempat lingkaran dan segitiga siku-siku yang kedua kakinya merupakan jari-jari.
Jika jari-jari lingkaran adalah \(r\), maka
$$\displaystyle \frac{1}{4}\pi r^2-\frac{1}{2}r^2=456$$
Substitusi \(\pi=3{,}14\).
$$\displaystyle \frac{3{,}14}{4}r^2-\frac{1}{2}r^2=456$$
$$\displaystyle 0{,}785r^2-0{,}5r^2=456$$
$$\displaystyle 0{,}285r^2=456$$
$$\displaystyle r^2=1600$$
$$\displaystyle r=40$$
cm.
Keliling lingkaran adalah
$$\displaystyle K=2\pi r$$
$$\displaystyle K=2(3{,}14)(40)$$
$$\displaystyle K=251{,}2$$
cm.
Dua diameter memiliki panjang total
$$\displaystyle 4r$$
$$\displaystyle =160$$
cm.
Panjang satu sisi persegi yang tersusun dari dua jari-jari tegak lurus adalah
$$\displaystyle r\sqrt{2}$$
$$\displaystyle =40(1{,}4)$$
$$\displaystyle =56$$
cm.
Panjang keempat sisi persegi adalah
$$\displaystyle 4(56)=224$$
cm.
Total kebutuhan logam adalah
$$\displaystyle 251{,}2+160+224$$
$$\displaystyle =635{,}2$$
cm atau \(6{,}352\) m.
Jika membeli dua logam A,
$$\displaystyle 2(4)=8$$
m.
Sisanya adalah
$$\displaystyle 8-6{,}352=1{,}648$$
m.
Karena sisa lebih dari \(1\) m, pilihan tersebut Tidak Pas.
Satu logam B hanya memiliki panjang \(5\) m sehingga tidak cukup. Pilihan tersebut Tidak Pas.
Satu logam C memiliki panjang \(6{,}5\) m.
Sisanya adalah
$$\displaystyle 6{,}5-6{,}352=0{,}148$$
m.
Panjang logam cukup dan sisanya kurang dari \(1\) m. Jadi, pilihan tersebut Pas.
Kesimpulannya, dua logam A Tidak Pas, satu logam B Tidak Pas, dan satu logam C Pas.
Transformasi Geometri
Soal 19
Garis \(ax+y-9=0\) dan \(x+by+6=0\) dicerminkan terhadap garis \(y=x\), kemudian ditranslasi oleh \(T=\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)\). Bayangannya berturut-turut adalah \(x+2y-8=0\) dan \(2x-y-9=0\). Nilai \(2a-b\) adalah ….
A. \(-6\)
B. \(-2\)
C. \(0\)
D. \(2\)
E. \(6\)
Refleksi terhadap \(y=x\) menukar posisi \(x\) dan \(y\).
Garis pertama adalah
$$\displaystyle ax+y-9=0$$
Setelah refleksi,
$$\displaystyle ay+x-9=0$$
atau
$$\displaystyle x+ay-9=0$$
Kemudian dilakukan translasi
$$\displaystyle T=\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)$$
Untuk mendapatkan persamaan bayangan, lakukan substitusi
$$\displaystyle x\to x-1$$
dan
$$\displaystyle y\to y+1$$
Maka
$$\displaystyle (x-1)+a(y+1)-9=0$$
$$\displaystyle x+ay+a-10=0$$
Diketahui bayangannya
$$\displaystyle x+2y-8=0$$
Bandingkan koefisien \(y\).
$$\displaystyle a=2$$
Sekarang perhatikan garis kedua.
$$\displaystyle x+by+6=0$$
Setelah refleksi,
$$\displaystyle y+bx+6=0$$
atau
$$\displaystyle bx+y+6=0$$
Setelah translasi,
$$\displaystyle b(x-1)+(y+1)+6=0$$
$$\displaystyle bx+y+7-b=0$$
Diketahui bayangannya
$$\displaystyle 2x-y-9=0$$
Kalikan persamaan hasil transformasi dengan \(-1\) agar koefisien \(y\) sama.
$$\displaystyle -bx-y-7+b=0$$
Bandingkan koefisien \(x\).
$$\displaystyle -b=2$$
$$\displaystyle b=-2$$
Maka
$$\displaystyle 2a-b=2(2)-(-2)$$
$$\displaystyle 2a-b=6$$
Jadi, jawabannya adalah E.
Strategi Mengerjakan Soal TKA Matematika
Pada soal matriks, perhatikan apakah masalah dapat diterjemahkan menjadi sistem persamaan. Pada polinomial, identifikasi apakah soal berkaitan dengan akar, faktor, sisa, atau operasi polinomial. Pada fungsi eksponensial, cari faktor perubahan, sedangkan pada fungsi trigonometri perhatikan nilai maksimum, minimum, amplitudo, dan periode.
Untuk vektor, bedakan antara komponen vektor dan panjang vektor. Pada lingkaran, tentukan pusat dan jari-jari terlebih dahulu. Untuk garis singgung, gunakan hubungan bahwa jari-jari selalu tegak lurus garis singgung. Pada transformasi geometri, lakukan setiap transformasi sesuai urutan yang diberikan.
Soal pilihan ganda kompleks perlu diperlakukan berbeda dari pilihan ganda biasa. Setiap pernyataan harus diperiksa secara mandiri karena bisa terdapat lebih dari satu jawaban benar.
Cek Pemahaman
Soal 20
Diketahui \(A=\left(\begin{array}{cc}3&0\\0&4\end{array}\right)\). Tentukan invers matriks \(A\).
Karena matriks berbentuk diagonal, ambil kebalikan setiap elemen diagonalnya.
$$\displaystyle A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{3}&0\\0&\frac{1}{4}\end{array}\right)$$
Soal 21
Suatu populasi dimodelkan dengan \(P(t)=5\cdot3^{t/2}\). Berapa kali lipat populasi berubah setiap \(2\) tahun?
Bandingkan \(P(t+2)\) dengan \(P(t)\).
$$\displaystyle P(t+2)=5\cdot3^{(t+2)/2}$$
$$\displaystyle P(t+2)=5\cdot3^{t/2+1}$$
$$\displaystyle P(t+2)=3P(t)$$
Jadi, setiap \(2\) tahun populasi menjadi tiga kali lipat.
Soal 22
Lingkaran mempunyai persamaan \(x^2+y^2-6x+8y-11=0\). Tentukan pusat lingkaran.
Bandingkan dengan bentuk umum
$$\displaystyle x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$$
Diperoleh
$$\displaystyle D=-6$$
dan
$$\displaystyle E=8$$
Pusat lingkaran adalah
$$\displaystyle \left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$$
$$\displaystyle \left(-\frac{-6}{2},-\frac{8}{2}\right)$$
$$\displaystyle =(3,-4)$$
Jadi, pusat lingkaran adalah \((3,-4)\).
Refleksi
Mengapa matriks dengan determinan nol tidak mempunyai invers?
Bagaimana kamu membedakan pertumbuhan eksponensial dengan pertumbuhan linear hanya dari model matematikanya?
Mengapa garis singgung lingkaran dapat dianalisis menggunakan arah jari-jari?
Mengapa urutan transformasi geometri tidak boleh ditukar sembarangan?
Kesimpulan
Pembahasan Soal TKA Matematika Pilihan 2025 menunjukkan bahwa kemampuan utama yang diperlukan bukan hanya menghitung, tetapi juga memahami representasi matematika, memilih konsep yang sesuai, dan menafsirkan hasil.
Matriks digunakan untuk sistem persamaan dan pemodelan data, polinomial untuk akar serta sisa pembagian, fungsi untuk membaca pertumbuhan dan pola periodik, vektor untuk menganalisis panjang serta arah, sedangkan lingkaran dan transformasi geometri menuntut hubungan yang kuat antara aljabar dan geometri.
Semakin terbiasa memahami alasan di balik setiap langkah, semakin mudah menghadapi variasi soal TKA yang bentuknya berbeda tetapi menggunakan konsep yang sama.
FAQ
Apa yang dimaksud Soal TKA Matematika Pilihan 2025?
Soal TKA Matematika Pilihan mengukur kemampuan memahami, menerapkan, dan menggunakan penalaran matematika pada materi tingkat lanjut melalui berbagai representasi dan konteks masalah.
Apakah TKA Matematika hanya menguji kemampuan menghitung?
Tidak. Banyak soal menuntut kemampuan membaca grafik, menafsirkan model, mengubah masalah kontekstual menjadi persamaan, dan mengevaluasi beberapa pernyataan.
Bagaimana cara mengerjakan pilihan ganda kompleks?
Periksa setiap pilihan secara terpisah. Jangan berhenti setelah menemukan satu jawaban benar karena beberapa pernyataan dapat benar sekaligus.
Materi apa yang muncul dalam soal ini?
Materi utamanya meliputi matriks, polinomial, fungsi, vektor, lingkaran, dan transformasi geometri.
Bagaimana cara belajar TKA Matematika dengan efektif?
Bangun pemahaman konsep terlebih dahulu, kemudian latihan soal dengan variasi konteks. Setelah mendapatkan jawaban, periksa kembali strategi dan alasan setiap langkah agar konsep dapat digunakan pada soal baru.
