Peluang matematika bukan sekadar soal melempar dadu lalu memasukkan angka ke rumus. Di balik sebuah peluang ada pertanyaan yang jauh lebih menarik: berapa banyak hasil yang mungkin terjadi, hasil mana yang kita inginkan, apakah dua kejadian saling memengaruhi, dan bagaimana informasi tambahan dapat mengubah peluang?
Kalau kamu pernah merasa soal peluang tiba-tiba berubah menjadi permutasi, kombinasi, diagram kasus, atau permainan logika, itu bukan karena materinya tidak konsisten. Justru semuanya terhubung.
Peluang adalah seni menghitung ketidakpastian secara terstruktur.
Untuk soal dasar, kita mungkin cukup menghitung banyak anggota ruang sampel. Namun, pada soal HOTS dan olimpiade, tantangannya bergeser. Kita perlu memilih cara menghitung yang efisien, mencari komplemen, membagi kasus, menggunakan kombinasi, membaca peluang bersyarat, atau menyadari bahwa dua kejadian yang tampak mirip ternyata mempunyai hubungan yang berbeda.
Artikel ini membangun konsep tersebut dari fondasinya. Kita mulai dari pencacahan, lalu masuk ke ruang sampel, peluang kejadian, kejadian majemuk, frekuensi harapan, peluang bersyarat, kejadian saling lepas, kejadian saling bebas, dan akhirnya strategi olimpiade.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan mampu memahami makna peluang sebagai perbandingan hasil yang diinginkan terhadap seluruh hasil yang mungkin, menentukan ruang sampel secara sistematis, menggunakan aturan penjumlahan dan aturan perkalian, membedakan permutasi dengan kombinasi, menggunakan pencacahan untuk menentukan peluang, menentukan peluang komplemen dan kejadian majemuk, menghitung frekuensi harapan, membedakan kejadian saling lepas dengan saling bebas, menggunakan peluang bersyarat, serta menyelesaikan soal peluang dari level dasar sampai HOTS dan olimpiade matematika.
Mari Berpikir
Bayangkan sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 6 bola biru.
Jika satu bola diambil secara acak, peluang mendapatkan bola merah terasa mudah.
Ada 4 hasil yang menguntungkan dari total 10 bola, sehingga peluangnya
$$\displaystyle \frac{4}{10}=\frac25$$
Sekarang ubah sedikit soal.
Dua bola diambil tanpa pengembalian. Berapa peluang keduanya merah?
Peluang bola pertama merah adalah \(\frac4{10}\). Setelah satu bola merah terambil, hanya tersisa 3 bola merah dari 9 bola.
Maka peluangnya menjadi
$$\displaystyle \frac4{10}\cdot\frac39=\frac{2}{15}$$
Perhatikan apa yang berubah.
Pada pengambilan pertama, komposisi kantong masih utuh. Pada pengambilan kedua, informasi bahwa bola pertama merah mengubah keadaan.
Inilah salah satu ide utama dalam peluang: informasi yang kita miliki dapat mengubah ruang kemungkinan.
Apa Itu Peluang?
Peluang adalah ukuran numerik untuk menyatakan seberapa mungkin suatu kejadian terjadi.
Nilai peluang berada antara nol dan satu.
$$\displaystyle 0\leq P(A)\leq1$$
Jika \(P(A)=0\), kejadian A tidak mungkin terjadi.
Jika \(P(A)=1\), kejadian A pasti terjadi.
Semakin dekat peluang ke satu, semakin besar kemungkinan kejadian tersebut terjadi.
Namun, peluang bukan jaminan untuk satu percobaan.
Jika peluang hujan adalah \(0{,}8\), itu tidak berarti hujan pasti turun. Angka tersebut menunjukkan tingkat kemungkinan menurut model atau informasi yang digunakan.
Percobaan Acak, Hasil, dan Kejadian
Percobaan acak adalah proses yang hasil pastinya belum diketahui sebelum dilakukan, walaupun semua hasil yang mungkin dapat dianalisis.
Melempar sebuah dadu adalah percobaan acak.
Hasil yang mungkin adalah \(1,2,3,4,5,6\).
Sementara itu, kejadian merupakan kumpulan hasil yang memenuhi kondisi tertentu.
Misalnya kejadian A adalah muncul bilangan genap.
Maka
$$\displaystyle A=\{2,4,6\}$$
Jadi, kejadian tidak selalu hanya terdiri dari satu hasil.
Ruang Sampel
Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari sebuah percobaan acak.
Ruang sampel biasanya ditulis dengan \(S\).
Untuk satu dadu,
$$\displaystyle S=\{1,2,3,4,5,6\}$$
sehingga
$$\displaystyle n(S)=6$$
Untuk dua koin, jika M menyatakan muka dan B menyatakan belakang, ruang sampelnya dapat ditulis
$$\displaystyle S=\{MM,MB,BM,BB\}$$
Jadi,
$$\displaystyle n(S)=4$$
Menentukan ruang sampel dengan benar merupakan langkah penting. Banyak kesalahan peluang sebenarnya terjadi bukan saat memakai rumus, tetapi saat menghitung ruang sampel.
Peluang Klasik
Jika seluruh hasil pada ruang sampel mempunyai kemungkinan yang sama, peluang kejadian A adalah
$$\displaystyle P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$$
di mana \(n(A)\) merupakan banyak hasil yang mendukung kejadian A.
Misalnya sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian A adalah muncul bilangan prima.
Bilangan prima pada dadu adalah \(2,3,5\).
Maka
$$\displaystyle n(A)=3$$
dan
$$\displaystyle n(S)=6$$
sehingga
$$\displaystyle P(A)=\frac36=\frac12$$
Mengapa Tidak Selalu Bisa Menggunakan n(A)/n(S)?
Rumus tersebut memerlukan hasil-hasil dasar yang mempunyai peluang sama.
Misalnya sebuah koin tidak seimbang dapat mempunyai peluang muka \(0{,}7\) dan belakang \(0{,}3\).
Walaupun ada dua kemungkinan hasil, kita tidak boleh otomatis mengatakan peluang muka \(\frac12\).
Karena itu, sebelum menggunakan prinsip menghitung anggota ruang sampel, pastikan modelnya memang memberikan hasil yang setara.
Peluang Komplemen
Komplemen kejadian A adalah kejadian bahwa A tidak terjadi.
Ditulis \(A^c\).
Karena A dan komplemennya mencakup seluruh ruang sampel,
$$\displaystyle P(A)+P(A^c)=1$$
Jadi,
$$\displaystyle P(A^c)=1-P(A)$$
Konsep ini sangat kuat untuk soal yang mengandung kata paling sedikit satu atau setidaknya satu.
Misalnya tiga dadu dilempar. Daripada menghitung kasus terdapat satu angka enam, dua angka enam, dan tiga angka enam secara terpisah, lebih cepat menghitung kejadian tidak ada angka enam.
Peluang tidak muncul enam pada satu dadu adalah \(\frac56\).
Maka peluang tidak ada enam pada tiga dadu adalah
$$\displaystyle \left(\frac56\right)^3$$
Jadi peluang setidaknya satu enam adalah
$$\displaystyle 1-\left(\frac56\right)^3$$
Mengapa Kombinatorika Penting dalam Peluang?
Dalam banyak soal peluang, kita tidak mungkin menuliskan seluruh ruang sampel satu per satu.
Bayangkan memilih 5 siswa dari 20 siswa.
Menuliskan semua kelompok secara manual jelas tidak efisien.
Di sinilah kombinatorika bekerja.
Kombinatorika membantu menghitung berapa banyak cara suatu hasil dapat terjadi.
Setelah banyak cara diketahui, barulah kita membandingkan kasus yang menguntungkan dengan seluruh kasus yang mungkin.
Aturan Penjumlahan
Jika sebuah pilihan dapat dilakukan melalui kasus pertama dengan \(m\) cara atau kasus kedua dengan \(n\) cara, dan kedua kasus tidak tumpang tindih, total cara adalah
$$\displaystyle m+n$$
Kata kuncinya adalah atau.
Misalnya seseorang dapat memilih satu buku dari 5 novel atau 3 buku sains.
Jika hanya memilih satu buku, banyak pilihan adalah
$$\displaystyle 5+3=8$$
Aturan Perkalian
Jika sebuah proses terdiri dari tahap pertama dengan \(m\) pilihan dan untuk setiap pilihan tersebut tersedia \(n\) pilihan pada tahap kedua, total cara adalah
$$\displaystyle m\cdot n$$
Kata kuncinya sering berupa dan kemudian.
Misalnya tersedia 4 pilihan kaus dan 3 pilihan celana.
Banyak pasangan pakaian adalah
$$\displaystyle 4\cdot3=12$$
Aturan perkalian menjadi fondasi untuk menghitung ruang sampel percobaan bertahap.
Faktorial
Untuk bilangan bulat positif \(n\), faktorial didefinisikan sebagai
$$\displaystyle n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1$$
Contohnya,
$$\displaystyle 5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$$
Selain itu, didefinisikan
$$\displaystyle 0!=1$$
Faktorial muncul secara alami ketika kita menyusun beberapa objek berbeda.
Permutasi: Ketika Urutan Penting
Permutasi digunakan ketika kita memilih sekaligus memperhatikan urutan.
Jika dari \(n\) objek berbeda dipilih dan disusun \(r\) objek, banyak susunannya adalah
$$\displaystyle P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$$
Misalnya dari 7 siswa dipilih ketua, wakil, sekretaris, dan bendahara.
Keempat jabatan berbeda, sehingga urutan peran penting.
Banyak caranya
$$\displaystyle P(7,4)=7\cdot6\cdot5\cdot4=840$$
Permutasi dengan Unsur yang Sama
Jika beberapa objek identik, pertukaran antarobjek identik tidak menghasilkan susunan baru.
Jika ada \(n\) objek dengan \(n_1\) objek sejenis pertama, \(n_2\) objek sejenis kedua, dan seterusnya, banyak susunan berbeda adalah
$$\displaystyle \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots}$$
Contohnya kata MAMA terdiri dari 4 huruf dengan 2 huruf M dan 2 huruf A.
Banyak susunan berbeda adalah
$$\displaystyle \frac{4!}{2!2!}=6$$
Permutasi Siklis
Jika \(n\) orang berbeda duduk melingkar dan susunan yang hanya berbeda karena rotasi dianggap sama, banyak susunannya adalah
$$\displaystyle (n-1)!$$
Misalnya 6 orang duduk mengelilingi meja bundar.
Banyak susunan berbeda adalah
$$\displaystyle 5!=120$$
Pada soal olimpiade, permutasi siklis sering digabung dengan syarat berdampingan atau tidak berdampingan.
Kombinasi: Ketika Urutan Tidak Penting
Kombinasi digunakan ketika yang penting hanyalah siapa atau apa yang dipilih, bukan urutannya.
Banyak cara memilih \(r\) objek dari \(n\) objek adalah
$$\displaystyle C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$
Misalnya memilih 3 siswa dari 8 siswa.
Tidak ada jabatan berbeda. Kelompok A-B-C sama dengan C-B-A.
Maka
$$\displaystyle C(8,3)=56$$
Permutasi atau Kombinasi?
Pertanyaan sederhana yang sangat membantu adalah: jika urutan objek ditukar, apakah hasilnya dianggap berbeda?
Jika berbeda, gunakan permutasi.
Jika tetap dianggap kelompok yang sama, gunakan kombinasi.
Memilih ketua dan wakil berbeda dari memilih dua anggota tim.
Pada kasus pertama, posisi mempunyai nama yang berbeda. Pada kasus kedua, hanya anggota kelompok yang penting.
Peluang dengan Kombinasi
Misalkan ada 4 bola merah dan 6 bola biru. Dua bola diambil sekaligus.
Karena urutan dua bola tidak penting, total cara memilih dua bola adalah
$$\displaystyle C(10,2)=45$$
Untuk mendapatkan dua bola merah, banyak cara adalah
$$\displaystyle C(4,2)=6$$
Maka
$$\displaystyle P(\text{dua merah})=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}$$
Hasil ini sama dengan metode bertahap.
$$\displaystyle \frac4{10}\cdot\frac39=\frac{2}{15}$$
Dua metode tersebut bukan saingan. Pilih yang paling efisien sesuai bentuk soal.
Kejadian Majemuk
Kejadian majemuk terbentuk dari dua atau lebih kejadian.
Dua operasi yang sering digunakan adalah gabungan dan irisan.
Gabungan \(A\cup B\) berarti A terjadi atau B terjadi atau keduanya.
Irisan \(A\cap B\) berarti A dan B terjadi bersamaan.
Peluang Gabungan Dua Kejadian
Rumus umum peluang gabungan adalah
$$\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
Mengapa bagian irisan dikurangi?
Karena saat \(P(A)\) dan \(P(B)\) dijumlahkan, hasil yang termasuk A sekaligus B terhitung dua kali.
Dengan mengurangi satu kali irisan, setiap hasil akhirnya dihitung tepat sekali.
Kejadian Saling Lepas
Dua kejadian A dan B disebut saling lepas jika keduanya tidak dapat terjadi bersamaan.
Artinya,
$$\displaystyle A\cap B=\emptyset$$
sehingga
$$\displaystyle P(A\cap B)=0$$
Rumus gabungannya menjadi
$$\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$
Contohnya pada satu lemparan dadu, kejadian muncul bilangan ganjil dan kejadian muncul bilangan genap saling lepas.
Satu mata dadu tidak mungkin sekaligus ganjil dan genap.
Peluang Bersyarat
Peluang bersyarat menjawab pertanyaan: bagaimana peluang A jika kita sudah mengetahui bahwa B terjadi?
Ditulis
$$\displaystyle P(A\mid B)$$
Jika \(P(B)>0\), definisinya adalah
$$\displaystyle P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$
Informasi B membuat ruang kemungkinan kita menyempit.
Misalnya dipilih satu bilangan dari 1 sampai 12. Diketahui bilangan tersebut genap.
Ruang kemungkinan baru menjadi
$$\displaystyle \{2,4,6,8,10,12\}$$
Jika ditanya peluang bilangan itu juga habis dibagi 3, hasil yang memenuhi adalah \(6\) dan \(12\).
Maka
$$\displaystyle P(\text{habis 3}\mid\text{genap})=\frac26=\frac13$$
Aturan Perkalian Peluang
Dari definisi peluang bersyarat, kita memperoleh
$$\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$$
atau
$$\displaystyle P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)$$
Rumus ini sangat berguna pada pengambilan tanpa pengembalian.
Misalnya ada 5 bola merah dan 5 bola biru. Dua bola diambil satu per satu tanpa pengembalian.
Peluang bola pertama merah adalah
$$\displaystyle \frac5{10}$$
Jika bola pertama merah, peluang bola kedua merah menjadi
$$\displaystyle \frac49$$
Maka
$$\displaystyle P(\text{dua merah})=\frac5{10}\cdot\frac49=\frac29$$
Kejadian Saling Bebas
Dua kejadian disebut saling bebas jika terjadinya satu kejadian tidak mengubah peluang kejadian lainnya.
Untuk kejadian A dan B dengan peluang positif, salah satu cirinya adalah
$$\displaystyle P(A\mid B)=P(A)$$
Secara ekuivalen,
$$\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)$$
Contoh paling sederhana adalah melempar koin dan dadu secara terpisah.
Hasil koin tidak mengubah peluang hasil dadu.
Mengapa Saling Lepas Bukan Saling Bebas?
Misalkan A dan B saling lepas dengan \(P(A)>0\) dan \(P(B)>0\).
Karena keduanya saling lepas,
$$\displaystyle P(A\cap B)=0$$
Namun, jika keduanya bebas, seharusnya
$$\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)>0$$
Terjadi kontradiksi.
Jadi, dua kejadian saling lepas yang masing-masing mempunyai peluang positif justru tidak saling bebas.
Jika kita tahu B terjadi, maka A pasti tidak terjadi. Jelas informasi B memengaruhi peluang A.
Frekuensi Harapan
Jika sebuah percobaan dilakukan \(N\) kali dan peluang kejadian A pada setiap percobaan adalah \(P(A)\), frekuensi harapan A adalah
$$\displaystyle F_h=N\cdot P(A)$$
Misalnya peluang sebuah kejadian adalah \(0{,}3\) dan percobaan dilakukan 200 kali.
Frekuensi harapannya
$$\displaystyle 200(0{,}3)=60$$
Frekuensi harapan bukan jaminan hasil aktual tepat 60 kali.
Ia merupakan nilai yang diharapkan dalam model peluang.
Peluang Teoretis dan Hasil Percobaan
Peluang teoretis berasal dari model matematis.
Frekuensi aktual berasal dari percobaan nyata.
Jika sebuah koin seimbang dilempar 10 kali, tidak ada jaminan tepat 5 kali muncul muka.
Namun, jika percobaan diulang sangat banyak, frekuensi relatif biasanya cenderung mendekati peluang teoretis.
Strategi Dasar Menyelesaikan Soal Peluang
Sebelum menghitung, tentukan apa yang dianggap sebagai satu hasil dasar.
Kemudian tanyakan apakah semua hasil dasar memiliki peluang sama.
Jika perlu pencacahan, tentukan apakah urutan penting.
Setelah itu, identifikasi kata kunci seperti “dan”, “atau”, “setidaknya”, “diketahui bahwa”, “tanpa pengembalian”, atau “saling bebas”.
Pada soal yang panjang, sering kali kesulitan utama bukan rumus, tetapi memilih model yang tepat.
Strategi Olimpiade: Hitung yang Lebih Mudah
Dalam soal olimpiade, kejadian yang diminta terkadang mempunyai banyak kasus.
Jangan merasa wajib menghitung kejadian itu secara langsung.
Jika komplemennya mempunyai struktur lebih sederhana, gunakan
$$\displaystyle P(A)=1-P(A^c)$$
Jika ruang sampel dapat dihitung dengan kombinasi, jangan menulis daftar panjang.
Jika setiap susunan mempunyai peluang sama, manfaatkan simetri.
Jika diberikan informasi tambahan, bangun ruang sampel baru melalui peluang bersyarat.
Contoh Soal dan Pembahasan
Level Mudah
Soal 1
Sebuah koin seimbang dan sebuah dadu seimbang dilempar bersamaan. Peluang muncul sisi muka pada koin dan bilangan genap pada dadu adalah ….
A. \(\frac1{12}\)
B. \(\frac16\)
C. \(\frac14\)
D. \(\frac13\)
E. \(\frac12\)
Hasil koin dan dadu saling bebas.
Peluang muncul muka adalah
$$\displaystyle \frac12$$
Peluang dadu menunjukkan bilangan genap adalah
$$\displaystyle \frac36=\frac12$$
Karena kedua kejadian harus terjadi bersamaan, kalikan peluangnya.
$$\displaystyle P=\frac12\cdot\frac12=\frac14$$
Jawaban: C.
Soal 2
Sebuah dadu seimbang dilempar sekali. Peluang muncul bilangan prima adalah ….
A. \(\frac16\)
B. \(\frac13\)
C. \(\frac12\)
D. \(\frac23\)
E. \(\frac56\)
Ruang sampel adalah
$$\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}$$
Bilangan prima yang mungkin muncul adalah \(2,3,5\).
Jadi ada tiga hasil yang menguntungkan dari enam hasil yang sama mungkin.
$$\displaystyle P=\frac36=\frac12$$
Jawaban: C.
Soal 3
Satu bilangan dipilih secara acak dari \(1,2,\ldots,12\). Peluang bilangan tersebut tidak habis dibagi 3 adalah ….
A. \(\frac14\)
B. \(\frac13\)
C. \(\frac12\)
D. \(\frac23\)
E. \(\frac34\)
Bilangan yang habis dibagi 3 adalah \(3,6,9,12\), sebanyak empat bilangan.
Karena total ada 12 bilangan, peluang habis dibagi 3 adalah
$$\displaystyle \frac4{12}=\frac13$$
Kita membutuhkan komplemennya.
$$\displaystyle P(\text{tidak habis 3})=1-\frac13=\frac23$$
Jawaban: D.
Soal 4
Sebuah kejadian mempunyai peluang \(0{,}3\). Jika percobaan yang sama dilakukan 200 kali, frekuensi harapan kejadian tersebut adalah ….
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
E. 70
Frekuensi harapan dihitung dengan
$$\displaystyle F_h=N\cdot P(A)$$
Dengan \(N=200\) dan \(P(A)=0{,}3\),
$$\displaystyle F_h=200(0{,}3)=60$$
Nilai 60 merupakan frekuensi yang diharapkan berdasarkan model peluang, bukan jaminan hasil aktual harus tepat 60 kali.
Jawaban: D.
Soal 5
Dua koin seimbang dilempar bersamaan. Peluang tepat satu koin menunjukkan muka adalah ….
A. \(\frac14\)
B. \(\frac13\)
C. \(\frac12\)
D. \(\frac34\)
E. \(1\)
Ruang sampelnya dapat ditulis
$$\displaystyle \{MM,MB,BM,BB\}$$
Tepat satu muka terjadi pada MB dan BM.
Ada dua hasil yang mendukung dari empat hasil yang sama mungkin.
$$\displaystyle P=\frac24=\frac12$$
Jawaban: C.
Soal 6
Dua dadu seimbang dilempar bersamaan. Peluang jumlah kedua mata dadu sama dengan 8 adalah ….
A. \(\frac1{12}\)
B. \(\frac19\)
C. \(\frac5{36}\)
D. \(\frac16\)
E. \(\frac7{36}\)
Total pasangan terurut dua dadu adalah
$$\displaystyle 6\cdot6=36$$
Pasangan yang jumlahnya delapan adalah
\((2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\).
Ada lima pasangan.
Maka
$$\displaystyle P=\frac5{36}$$
Jawaban: C.
Soal 7
Sebuah kantong berisi 5 bola merah dan 3 bola biru. Satu bola diambil secara acak. Peluang terambil bola merah adalah ….
A. \(\frac38\)
B. \(\frac12\)
C. \(\frac58\)
D. \(\frac23\)
E. \(\frac34\)
Total bola adalah
$$\displaystyle 5+3=8$$
Bola merah berjumlah lima.
Karena setiap bola mempunyai peluang yang sama untuk terambil,
$$\displaystyle P(\text{merah})=\frac58$$
Jawaban: C.
Soal 8
Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 6 bola biru. Dua bola diambil sekaligus secara acak. Peluang kedua bola berwarna merah adalah ….
A. \(\frac1{15}\)
B. \(\frac2{15}\)
C. \(\frac15\)
D. \(\frac4{15}\)
E. \(\frac13\)
Karena dua bola diambil sekaligus, urutan tidak penting.
Total pilihan dua bola:
$$\displaystyle C(10,2)=45$$
Pilihan dua bola merah:
$$\displaystyle C(4,2)=6$$
Maka
$$\displaystyle P=\frac6{45}=\frac2{15}$$
Jawaban: B.
Soal 9
Sebuah dadu dilempar sekali. A adalah kejadian muncul bilangan genap dan B adalah kejadian muncul bilangan lebih dari 4. Peluang \(A\cup B\) adalah ….
A. \(\frac13\)
B. \(\frac12\)
C. \(\frac23\)
D. \(\frac56\)
E. \(1\)
Kejadian A adalah
$$\displaystyle A=\{2,4,6\}$$
Kejadian B adalah
$$\displaystyle B=\{5,6\}$$
Gabungannya
$$\displaystyle A\cup B=\{2,4,5,6\}$$
Ada empat hasil dari enam kemungkinan.
$$\displaystyle P(A\cup B)=\frac46=\frac23$$
Jawaban: C.
Soal 10
Pada satu lemparan dadu, A adalah kejadian muncul bilangan ganjil dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Hubungan A dan B adalah ….
A. saling bebas
B. saling lepas
C. selalu mempunyai irisan tiga anggota
D. mempunyai peluang nol
E. merupakan kejadian yang sama
Sebuah mata dadu tidak mungkin sekaligus ganjil dan genap.
Jadi,
$$\displaystyle A\cap B=\varnothing$$
Artinya A dan B saling lepas.
Perlu hati-hati: saling lepas tidak berarti saling bebas. Jika kita tahu bilangan yang muncul ganjil, peluang bahwa bilangan itu genap langsung menjadi nol.
Jawaban: B.
Soal 11
Dari 8 siswa dipilih 3 siswa untuk menjadi satu tim tanpa jabatan. Banyak cara pemilihan adalah ….
A. 24
B. 48
C. 56
D. 112
E. 336
Urutan anggota tidak penting.
Karena itu gunakan kombinasi.
$$\displaystyle C(8,3)=\frac{8!}{3!5!}$$
$$\displaystyle =\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}$$
$$\displaystyle =56$$
Jawaban: C.
Soal 12
Dari 7 siswa akan dipilih ketua, wakil, sekretaris, dan bendahara. Banyak susunan pengurus yang mungkin adalah ….
A. 210
B. 420
C. 720
D. 840
E. 1.680
Keempat jabatan berbeda. Jika orang yang sama berpindah jabatan, susunan dianggap berbeda.
Jadi gunakan permutasi.
$$\displaystyle P(7,4)=7\cdot6\cdot5\cdot4$$
$$\displaystyle =840$$
Jawaban: D.
Soal 13
Banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari seluruh huruf pada kata MAMA adalah ….
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
E. 24
Ada empat huruf, tetapi huruf M muncul dua kali dan A juga muncul dua kali.
Jika semua dianggap berbeda, kita memperoleh \(4!\), tetapi itu menghitung susunan yang sama berulang kali.
Jadi,
$$\displaystyle \frac{4!}{2!2!}=\frac{24}{4}=6$$
Jawaban: B.
Soal 14
Satu bilangan dipilih secara acak dari \(1,2,\ldots,12\). Diketahui bilangan yang terpilih genap. Peluang bilangan tersebut juga habis dibagi 3 adalah ….
A. \(\frac16\)
B. \(\frac14\)
C. \(\frac13\)
D. \(\frac12\)
E. \(\frac23\)
Karena diketahui bilangan terpilih genap, ruang kemungkinan berubah menjadi
$$\displaystyle \{2,4,6,8,10,12\}$$
Dari enam bilangan tersebut, yang habis dibagi 3 adalah 6 dan 12.
Maka
$$\displaystyle P=\frac26=\frac13$$
Jawaban: C.
Soal 15
Sebuah koin dan sebuah dadu dilempar bersamaan. Peluang koin menunjukkan belakang dan mata dadu lebih dari 4 adalah ….
A. \(\frac1{12}\)
B. \(\frac16\)
C. \(\frac14\)
D. \(\frac13\)
E. \(\frac12\)
Peluang belakang pada koin adalah
$$\displaystyle \frac12$$
Mata dadu lebih dari empat adalah 5 atau 6, sehingga
$$\displaystyle P(\text{dadu}>4)=\frac26=\frac13$$
Kedua percobaan bebas.
$$\displaystyle P=\frac12\cdot\frac13=\frac16$$
Jawaban: B.
Level Sedang
Soal 16
Dua dadu seimbang dilempar bersamaan. Peluang hasil kali kedua mata dadu genap dan jumlahnya lebih dari 8 adalah ….
A. \(\frac16\)
B. \(\frac14\)
C. \(\frac5{18}\)
D. \(\frac13\)
E. \(\frac5{12}\)
Jumlah lebih dari delapan berarti jumlah 9, 10, 11, atau 12.
Untuk jumlah 9 ada empat pasangan dan semuanya mempunyai hasil kali genap.
Untuk jumlah 10 terdapat \((4,6),(5,5),(6,4)\). Hanya \((5,5)\) yang hasil kalinya ganjil, sehingga dua pasangan memenuhi.
Jumlah 11 memberi dua pasangan dan jumlah 12 memberi satu pasangan.
Total kejadian yang memenuhi:
$$\displaystyle 4+2+2+1=9$$
Dari 36 pasangan,
$$\displaystyle P=\frac9{36}=\frac14$$
Jawaban: B.
Soal 17
Dua bilangan berbeda dipilih secara acak dari \(1,2,\ldots,8\). Peluang hasil kali kedua bilangan habis dibagi 6 adalah ….
A. \(\frac27\)
B. \(\frac5{14}\)
C. \(\frac37\)
D. \(\frac12\)
E. \(\frac47\)
Total pasangan tanpa memperhatikan urutan adalah
$$\displaystyle C(8,2)=28$$
Pasangan yang melibatkan angka 6 otomatis menghasilkan kelipatan 6. Ada tujuh pasangan semacam itu.
Jika 6 tidak dipilih, satu-satunya kelipatan 3 yang tersedia adalah 3. Agar hasil kali habis dibagi 6, 3 harus dipasangkan dengan bilangan genap 2, 4, atau 8.
Tambahan tiga pasangan.
Total yang memenuhi:
$$\displaystyle 7+3=10$$
Maka
$$\displaystyle P=\frac{10}{28}=\frac5{14}$$
Jawaban: B.
Soal 18
Sebuah kantong berisi 6 bola merah, 4 bola biru, dan 2 bola hijau. Tiga bola diambil sekaligus. Peluang tepat dua bola mempunyai warna yang sama dan bola ketiga mempunyai warna berbeda adalah ….
A. \(\frac{29}{55}\)
B. \(\frac{31}{55}\)
C. \(\frac{34}{55}\)
D. \(\frac{37}{55}\)
E. \(\frac{41}{55}\)
Total cara memilih tiga bola:
$$\displaystyle C(12,3)=220$$
Jika pasangan berwarna merah, banyak cara
$$\displaystyle C(6,2)C(6,1)=15\cdot6=90$$
Angka 6 kedua berasal dari 4 biru dan 2 hijau.
Jika pasangan biru:
$$\displaystyle C(4,2)C(8,1)=6\cdot8=48$$
Jika pasangan hijau:
$$\displaystyle C(2,2)C(10,1)=10$$
Total kejadian yang diinginkan
$$\displaystyle 90+48+10=148$$
Maka
$$\displaystyle P=\frac{148}{220}=\frac{37}{55}$$
Jawaban: D.
Soal 19
Sebuah kotak berisi 5 bola biru dan 3 bola merah. Tiga bola diambil sekaligus. Peluang tepat dua bola biru adalah ….
A. \(\frac5{28}\)
B. \(\frac{15}{28}\)
C. \(\frac47\)
D. \(\frac58\)
E. \(\frac34\)
Total cara memilih tiga dari delapan bola adalah
$$\displaystyle C(8,3)=56$$
Untuk tepat dua biru, pilih dua dari lima biru dan satu dari tiga merah.
$$\displaystyle C(5,2)C(3,1)=10\cdot3=30$$
Jadi,
$$\displaystyle P=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}$$
Jawaban: B.
Soal 20
Sebuah dadu dilempar tiga kali. Peluang muncul angka 6 paling sedikit sekali adalah ….
A. \(\frac{25}{216}\)
B. \(\frac{75}{216}\)
C. \(\frac{91}{216}\)
D. \(\frac{125}{216}\)
E. \(\frac{175}{216}\)
Menghitung satu, dua, dan tiga angka enam secara terpisah bisa dilakukan, tetapi komplemen lebih singkat.
Peluang tidak muncul enam pada satu lemparan adalah
$$\displaystyle \frac56$$
Peluang tidak ada angka enam dalam tiga lemparan adalah
$$\displaystyle \left(\frac56\right)^3=\frac{125}{216}$$
Jadi peluang setidaknya satu angka enam adalah
$$\displaystyle 1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}$$
Jawaban: C.
Soal 21
Diketahui \(P(A)=0{,}55\), \(P(B)=0{,}40\), dan \(P(A\cap B)=0{,}25\). Nilai \(P(A\cup B)\) adalah ….
A. \(0{,}60\)
B. \(0{,}65\)
C. \(0{,}70\)
D. \(0{,}75\)
E. \(0{,}80\)
Gunakan rumus gabungan.
$$\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
Substitusikan data.
$$\displaystyle P(A\cup B)=0{,}55+0{,}40-0{,}25$$
$$\displaystyle =0{,}70$$
Irisan dikurangi karena kejadian yang termasuk A dan B sudah terhitung dua kali pada penjumlahan awal.
Jawaban: C.
Soal 22
Dalam sebuah kelompok terdapat 18 siswi dan 12 siswa. Sebanyak 6 siswi dan 3 siswa memakai kacamata. Jika dipilih secara acak seorang anggota yang diketahui memakai kacamata, peluang anggota tersebut adalah siswi adalah ….
A. \(\frac13\)
B. \(\frac12\)
C. \(\frac23\)
D. \(\frac34\)
E. \(\frac56\)
Informasi “diketahui memakai kacamata” mengubah ruang sampel.
Total pemakai kacamata adalah
$$\displaystyle 6+3=9$$
Dari sembilan orang tersebut, enam merupakan siswi.
Maka
$$\displaystyle P(\text{siswi}\mid\text{kacamata})=\frac69=\frac23$$
Jumlah siswa yang tidak memakai kacamata tidak lagi relevan setelah syarat diberikan.
Jawaban: C.
Soal 23
Diketahui \(P(A)=\frac12\), \(P(B)=\frac25\), dan \(P(A\cap B)=\frac15\). Pernyataan yang benar adalah ….
A. A dan B saling lepas.
B. A dan B saling bebas.
C. A merupakan komplemen B.
D. \(P(A\cup B)=1\).
E. A dan B tidak mungkin terjadi bersamaan.
Untuk menguji kebebasan, bandingkan \(P(A\cap B)\) dengan \(P(A)P(B)\).
$$\displaystyle P(A)P(B)=\frac12\cdot\frac25=\frac15$$
Nilai tersebut tepat sama dengan peluang irisan yang diberikan.
Jadi,
$$\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)$$
Maka A dan B saling bebas.
Jawaban: B.
Soal 24
Sebuah kantong berisi 5 bola merah dan 5 bola biru. Dua bola diambil berturut-turut tanpa pengembalian. Peluang kedua bola merah adalah ….
A. \(\frac16\)
B. \(\frac29\)
C. \(\frac14\)
D. \(\frac5{18}\)
E. \(\frac13\)
Peluang bola pertama merah adalah
$$\displaystyle \frac5{10}$$
Setelah satu merah terambil, tersisa empat merah dari sembilan bola.
Jadi,
$$\displaystyle P(\text{merah kedua}\mid\text{merah pertama})=\frac49$$
Peluang kedua kejadian terjadi adalah
$$\displaystyle \frac5{10}\cdot\frac49=\frac29$$
Jawaban: B.
Soal 25
Dari 10 siswa dipilih 4 orang sebagai tim. Dua siswa tertentu, A dan B, boleh terpilih atau tidak. Banyak tim yang memuat paling sedikit salah satu dari A atau B adalah ….
A. 70
B. 105
C. 120
D. 140
E. 160
Gunakan komplemen.
Total tim:
$$\displaystyle C(10,4)=210$$
Tim yang tidak memuat A maupun B harus memilih seluruh empat anggota dari delapan siswa lainnya.
$$\displaystyle C(8,4)=70$$
Maka tim yang memuat paling sedikit salah satu adalah
$$\displaystyle 210-70=140$$
Jawaban: D.
Soal 26
Enam siswa berbeda duduk berjajar. Dua siswa tertentu tidak boleh berdampingan. Banyak susunan yang mungkin adalah ….
A. 240
B. 360
C. 420
D. 480
E. 600
Total susunan tanpa syarat adalah
$$\displaystyle 6!=720$$
Hitung susunan ketika dua siswa tertentu berdampingan.
Anggap keduanya sebagai satu blok. Bersama empat siswa lain terdapat lima objek.
Susunan blok tersebut:
$$\displaystyle 5!$$
Dua siswa di dalam blok dapat bertukar tempat dalam \(2!\) cara.
$$\displaystyle 5!\cdot2=240$$
Maka susunan tidak berdampingan adalah
$$\displaystyle 720-240=480$$
Jawaban: D.
Soal 27
Tujuh orang berbeda duduk mengelilingi meja bundar. Dua orang tertentu harus berdampingan. Banyak susunan yang mungkin adalah ….
A. 120
B. 180
C. 240
D. 360
E. 720
Gabungkan dua orang tertentu sebagai satu blok.
Kita sekarang mempunyai enam objek yang disusun melingkar.
Banyak susunan siklis enam objek adalah
$$\displaystyle (6-1)!=5!=120$$
Dua orang di dalam blok dapat bertukar posisi.
$$\displaystyle 120\cdot2=240$$
Jawaban: C.
Soal 28
Delapan objek disusun berjajar. Tiga di antaranya identik jenis A, dua identik jenis B, sedangkan tiga objek lainnya berbeda satu sama lain. Banyak susunan berbeda adalah ….
A. 1.680
B. 2.520
C. 3.360
D. 5.040
E. 6.720
Jika seluruh objek berbeda, ada \(8!\) susunan.
Namun, pertukaran tiga objek A tidak menghasilkan susunan baru, sehingga harus dibagi \(3!\).
Hal yang sama berlaku untuk dua objek B.
$$\displaystyle \frac{8!}{3!2!}=\frac{40320}{12}=3360$$
Jawaban: C.
Soal 29
Dari 9 orang dipilih 4 orang secara acak. Peluang dua orang tertentu tidak terpilih bersama-sama adalah ….
A. \(\frac23\)
B. \(\frac34\)
C. \(\frac45\)
D. \(\frac56\)
E. \(\frac89\)
Total tim adalah
$$\displaystyle C(9,4)=126$$
Hitung komplemen, yaitu kedua orang tertentu masuk bersama.
Jika keduanya sudah masuk, kita tinggal memilih dua orang dari tujuh lainnya.
$$\displaystyle C(7,2)=21$$
Tim yang tidak memuat keduanya bersama-sama:
$$\displaystyle 126-21=105$$
Maka
$$\displaystyle P=\frac{105}{126}=\frac56$$
Jawaban: D.
Soal 30
Dua dadu dilempar bersama sebanyak 360 kali. Frekuensi harapan muncul tepat satu angka 6 adalah ….
A. 60
B. 80
C. 90
D. 100
E. 120
Tepat satu angka enam berarti dadu pertama enam dan kedua bukan enam, atau sebaliknya.
Peluangnya
$$\displaystyle 2\left(\frac16\right)\left(\frac56\right)=\frac{10}{36}=\frac5{18}$$
Frekuensi harapannya
$$\displaystyle 360\cdot\frac5{18}=100$$
Jawaban: D.
Level Sulit
Soal 31
Satu bilangan dipilih secara acak dari \(1,2,\ldots,20\). Diketahui bilangan tersebut habis dibagi 2 atau 3. Peluang bilangan itu habis dibagi 6 adalah ….
A. \(\frac2{13}\)
B. \(\frac3{13}\)
C. \(\frac4{13}\)
D. \(\frac3{10}\)
E. \(\frac5{13}\)
Bilangan habis dibagi 2 ada 10.
Bilangan habis dibagi 3 ada 6.
Bilangan yang terhitung pada keduanya adalah kelipatan 6, yaitu \(6,12,18\), sebanyak tiga.
Jadi banyak bilangan yang habis dibagi 2 atau 3 adalah
$$\displaystyle 10+6-3=13$$
Dari 13 kemungkinan baru tersebut, tiga habis dibagi 6.
$$\displaystyle P=\frac3{13}$$
Jawaban: B.
Soal 32
Kotak A berisi 3 bola merah dan 2 bola biru. Kotak B berisi 1 bola merah dan 4 bola biru. Salah satu kotak dipilih secara acak dengan peluang sama, kemudian satu bola diambil. Jika bola yang terambil merah, peluang bola tersebut berasal dari kotak A adalah ….
A. \(\frac12\)
B. \(\frac35\)
C. \(\frac23\)
D. \(\frac34\)
E. \(\frac45\)
Peluang memilih A dan kemudian memperoleh merah adalah
$$\displaystyle \frac12\cdot\frac35=\frac3{10}$$
Peluang memilih B dan memperoleh merah adalah
$$\displaystyle \frac12\cdot\frac15=\frac1{10}$$
Total peluang memperoleh merah adalah
$$\displaystyle \frac3{10}+\frac1{10}=\frac4{10}$$
Di antara seluruh jalur yang menghasilkan merah, bagian yang berasal dari A adalah
$$\displaystyle \frac{\frac3{10}}{\frac4{10}}=\frac34$$
Jawaban: D.
Soal 33
Delapan orang berbeda disusun secara acak dalam satu baris. Peluang dua orang tertentu berdampingan adalah ….
A. \(\frac18\)
B. \(\frac17\)
C. \(\frac14\)
D. \(\frac27\)
E. \(\frac38\)
Total susunan adalah
$$\displaystyle 8!$$
Untuk membuat dua orang tertentu berdampingan, anggap keduanya sebagai satu blok.
Ada tujuh objek yang disusun, dan dua orang di dalam blok dapat bertukar posisi.
$$\displaystyle 7!\cdot2$$
Maka peluangnya
$$\displaystyle \frac{2\cdot7!}{8!}=\frac{2}{8}=\frac14$$
Jawaban: C.
Soal 34
Tujuh orang berbeda disusun secara acak dalam satu baris. Peluang dua orang tertentu tidak berdampingan adalah ….
A. \(\frac37\)
B. \(\frac47\)
C. \(\frac57\)
D. \(\frac67\)
E. \(\frac56\)
Lebih mudah menggunakan komplemen.
Total susunan adalah \(7!\).
Jika dua orang tertentu berdampingan, anggap sebagai satu blok.
$$\displaystyle 2\cdot6!$$
Peluang berdampingan adalah
$$\displaystyle \frac{2\cdot6!}{7!}=\frac27$$
Maka peluang tidak berdampingan
$$\displaystyle 1-\frac27=\frac57$$
Jawaban: C.
Soal 35
Dari 10 orang dipilih 5 orang secara acak. Tiga orang tertentu adalah A, B, dan C. Peluang sedikitnya dua dari A, B, C terpilih adalah ….
A. \(\frac13\)
B. \(\frac25\)
C. \(\frac12\)
D. \(\frac35\)
E. \(\frac23\)
Total kelompok lima orang:
$$\displaystyle C(10,5)=252$$
Kasus pertama, tepat dua dari A, B, C dipilih.
$$\displaystyle C(3,2)C(7,3)=3\cdot35=105$$
Kasus kedua, ketiganya dipilih.
$$\displaystyle C(3,3)C(7,2)=21$$
Total kejadian yang diinginkan
$$\displaystyle 105+21=126$$
Maka
$$\displaystyle P=\frac{126}{252}=\frac12$$
Jawaban: C.
Soal 36
Empat dadu seimbang dilempar bersamaan. Peluang terdapat paling sedikit dua dadu yang menunjukkan angka sama adalah ….
A. \(\frac5{18}\)
B. \(\frac7{18}\)
C. \(\frac{11}{18}\)
D. \(\frac{13}{18}\)
E. \(\frac56\)
Kejadian yang diminta mencakup banyak pola: sepasang, dua pasang, tiga sama, bahkan empat sama.
Komplemennya jauh lebih mudah, yaitu keempat dadu berbeda.
Total hasil:
$$\displaystyle 6^4=1296$$
Hasil dengan empat angka berbeda:
$$\displaystyle 6\cdot5\cdot4\cdot3=360$$
Maka
$$\displaystyle P(\text{ada pengulangan})=1-\frac{360}{1296}$$
$$\displaystyle =\frac{936}{1296}=\frac{13}{18}$$
Jawaban: D.
Soal 37
Tiga dadu seimbang dilempar bersamaan. Peluang jumlah ketiga mata dadu sama dengan 10 adalah ….
A. \(\frac1{12}\)
B. \(\frac18\)
C. \(\frac5{36}\)
D. \(\frac16\)
E. \(\frac7{36}\)
Kita mencari banyak solusi
$$\displaystyle x+y+z=10$$
dengan \(1\leq x,y,z\leq6\).
Ambil \(a=x-1\), \(b=y-1\), dan \(c=z-1\). Maka
$$\displaystyle a+b+c=7$$
Tanpa batas atas, banyak solusi tak negatif adalah
$$\displaystyle C(9,2)=36$$
Kita harus menghapus kasus salah satu variabel minimal 6. Untuk masing-masing variabel terdapat tiga solusi, sehingga total yang dibuang sembilan.
$$\displaystyle 36-9=27$$
Total hasil tiga dadu adalah \(216\).
$$\displaystyle P=\frac{27}{216}=\frac18$$
Jawaban: B.
Soal 38
Dua kartu diambil sekaligus dari satu set kartu standar 52 kartu. Peluang kedua kartu berasal dari jenis lambang yang sama adalah ….
A. \(\frac3{17}\)
B. \(\frac4{17}\)
C. \(\frac14\)
D. \(\frac{13}{51}\)
E. \(\frac4{13}\)
Total pasangan dua kartu adalah
$$\displaystyle C(52,2)$$
Ada empat lambang. Untuk setiap lambang terdapat 13 kartu, sehingga pasangan dengan lambang sama sebanyak
$$\displaystyle 4C(13,2)$$
Maka
$$\displaystyle P=\frac{4C(13,2)}{C(52,2)}$$
$$\displaystyle =\frac{4\cdot78}{1326}$$
$$\displaystyle =\frac4{17}$$
Jawaban: B.
Soal 39
Dari 6 siswa laki-laki dan 5 siswa perempuan dipilih 4 siswa secara acak. Peluang terpilih paling sedikit 2 siswa perempuan adalah ….
A. \(\frac{19}{66}\)
B. \(\frac{31}{66}\)
C. \(\frac{37}{66}\)
D. \(\frac{43}{66}\)
E. \(\frac{49}{66}\)
Total kelompok:
$$\displaystyle C(11,4)=330$$
Tepat dua perempuan:
$$\displaystyle C(5,2)C(6,2)=10\cdot15=150$$
Tepat tiga perempuan:
$$\displaystyle C(5,3)C(6,1)=10\cdot6=60$$
Empat perempuan:
$$\displaystyle C(5,4)C(6,0)=5$$
Total kejadian:
$$\displaystyle 150+60+5=215$$
Jadi,
$$\displaystyle P=\frac{215}{330}=\frac{43}{66}$$
Jawaban: D.
Soal 40
Dua dadu seimbang dilempar. Diketahui jumlah kedua mata dadu genap. Peluang kedua mata dadu juga genap adalah ….
A. \(\frac13\)
B. \(\frac25\)
C. \(\frac12\)
D. \(\frac23\)
E. \(\frac34\)
Jumlah dua bilangan genap terjadi jika keduanya mempunyai paritas sama.
Ada tiga angka genap dan tiga angka ganjil pada dadu.
Pasangan dengan jumlah genap:
$$\displaystyle 3\cdot3+3\cdot3=18$$
Pasangan keduanya genap:
$$\displaystyle 3\cdot3=9$$
Karena kita sudah diberi informasi bahwa jumlahnya genap, ruang sampel bersyarat berisi 18 pasangan.
$$\displaystyle P=\frac9{18}=\frac12$$
Jawaban: C.
Level HOTS dan Olimpiade
Soal 41
Sebuah bilangan empat digit dibentuk secara acak dari digit \(0,1,2,\ldots,9\) tanpa pengulangan. Digit pertama tidak boleh nol. Peluang bilangan yang terbentuk habis dibagi 5 adalah ….
A. \(\frac19\)
B. \(\frac{13}{81}\)
C. \(\frac{17}{81}\)
D. \(\frac29\)
E. \(\frac{19}{81}\)
Total bilangan empat digit tanpa pengulangan:
Digit pertama memiliki 9 pilihan, digit kedua 9, digit ketiga 8, dan digit keempat 7.
$$\displaystyle 9\cdot9\cdot8\cdot7=4536$$
Agar habis dibagi 5, digit terakhir harus 0 atau 5.
Jika digit terakhir 0, digit pertama mempunyai 9 pilihan dan dua posisi tengah mempunyai \(8\cdot7\) pilihan.
$$\displaystyle 9\cdot8\cdot7=504$$
Jika digit terakhir 5, digit pertama tidak boleh 0 atau 5, sehingga ada 8 pilihan. Dua posisi tengah kembali mempunyai \(8\cdot7\) pilihan.
$$\displaystyle 8\cdot8\cdot7=448$$
Total memenuhi:
$$\displaystyle 504+448=952$$
Maka
$$\displaystyle P=\frac{952}{4536}=\frac{17}{81}$$
Jawaban: C.
Soal 42
Tiga bilangan berbeda dipilih secara acak dari \(1,2,\ldots,10\). Peluang jumlah ketiga bilangan genap adalah ….
A. \(\frac13\)
B. \(\frac25\)
C. \(\frac12\)
D. \(\frac35\)
E. \(\frac23\)
Dari 1 sampai 10 terdapat lima bilangan ganjil dan lima bilangan genap.
Jumlah tiga bilangan genap jika jumlah bilangan ganjil yang dipilih adalah 0 atau 2.
Kasus pertama, tiga bilangan genap:
$$\displaystyle C(5,3)=10$$
Kasus kedua, dua ganjil dan satu genap:
$$\displaystyle C(5,2)C(5,1)=10\cdot5=50$$
Total kejadian yang menguntungkan adalah 60.
Total pemilihan:
$$\displaystyle C(10,3)=120$$
Maka
$$\displaystyle P=\frac{60}{120}=\frac12$$
Jawaban: C.
Soal 43
Empat bilangan berbeda dipilih secara acak dari \(1,2,\ldots,12\). Peluang tepat dua bilangan yang terpilih merupakan kelipatan 3 adalah ….
A. \(\frac{14}{55}\)
B. \(\frac{28}{165}\)
C. \(\frac{56}{165}\)
D. \(\frac{7}{15}\)
E. \(\frac{28}{55}\)
Kelipatan 3 dari 1 sampai 12 adalah \(3,6,9,12\), sehingga ada empat.
Bilangan bukan kelipatan 3 ada delapan.
Total cara memilih empat bilangan:
$$\displaystyle C(12,4)=495$$
Agar tepat dua merupakan kelipatan 3, pilih dua dari empat kelipatan 3 dan dua dari delapan bilangan lainnya.
$$\displaystyle C(4,2)C(8,2)=6\cdot28=168$$
Jadi,
$$\displaystyle P=\frac{168}{495}=\frac{56}{165}$$
Jawaban: C.
Soal 44
Enam orang berbeda duduk secara acak mengelilingi meja bundar. A harus berdampingan dengan B, tetapi C tidak boleh berdampingan dengan A. Peluang kondisi tersebut terpenuhi adalah ….
A. \(\frac15\)
B. \(\frac14\)
C. \(\frac3{10}\)
D. \(\frac13\)
E. \(\frac25\)
Karena susunan melingkar, kita dapat menetapkan posisi A sebagai acuan.
Lima orang lainnya menempati lima tempat, sehingga total susunan relatif adalah
$$\displaystyle 5!=120$$
B harus berada di salah satu dari dua kursi yang bersebelahan dengan A.
Ada 2 pilihan untuk B.
Setelah B ditempatkan, satu kursi lain yang bersebelahan dengan A tidak boleh ditempati C.
Dari empat kursi tersisa, C mempunyai tiga kursi yang diizinkan.
Tiga orang lainnya dapat disusun dalam
$$\displaystyle 3!=6$$
cara.
Jadi susunan yang memenuhi
$$\displaystyle 2\cdot3\cdot6=36$$
Peluangnya
$$\displaystyle \frac{36}{120}=\frac3{10}$$
Jawaban: C.
Soal 45
Bilangan \(1,2,\ldots,8\) disusun secara acak dalam satu baris. Peluang angka 1 muncul sebelum 2 dan angka 2 muncul sebelum 3 adalah ….
A. \(\frac18\)
B. \(\frac16\)
C. \(\frac14\)
D. \(\frac13\)
E. \(\frac12\)
Kita tidak perlu menghitung seluruh \(8!\) susunan secara rinci.
Fokus hanya pada urutan relatif angka 1, 2, dan 3.
Ketiga angka tersebut dapat muncul dalam
$$\displaystyle 3!=6$$
urutan relatif yang sama mungkin.
Hanya satu urutan yang memenuhi
$$\displaystyle 1\text{ sebelum }2\text{ sebelum }3$$
yaitu urutan relatif \(1,2,3\).
Maka peluangnya
$$\displaystyle \frac16$$
Ini contoh pemanfaatan simetri yang membuat soal jauh lebih singkat.
Jawaban: B.
Soal 46
Sebuah bilangan tiga digit dibentuk dengan memilih tiga digit berbeda dari \(1,2,\ldots,9\) dan menyusunnya secara acak. Peluang ketiga digit terbaca dalam urutan naik dari kiri ke kanan adalah ….
A. \(\frac19\)
B. \(\frac18\)
C. \(\frac16\)
D. \(\frac14\)
E. \(\frac13\)
Ambil sembarang tiga digit berbeda.
Ketiga digit tersebut dapat disusun dalam
$$\displaystyle 3!=6$$
urutan.
Di antara enam urutan itu, tepat satu susunan mempunyai digit yang meningkat dari kiri ke kanan.
Karena argumen ini berlaku untuk setiap himpunan tiga digit, peluangnya langsung
$$\displaystyle \frac16$$
Kita dapat menghitung menggunakan kombinasi dan permutasi, tetapi simetri memberikan solusi yang lebih efisien.
Jawaban: C.
Soal 47
Dari kelompok 5 siswa laki-laki dan 4 siswa perempuan dipilih 3 siswa secara acak. Diketahui tim yang terbentuk memuat paling sedikit satu siswa perempuan. Peluang tim tersebut memuat tepat dua siswa perempuan adalah ….
A. \(\frac{10}{37}\)
B. \(\frac{15}{37}\)
C. \(\frac{18}{37}\)
D. \(\frac{20}{37}\)
E. \(\frac{25}{37}\)
Karena diketahui terdapat paling sedikit satu siswa perempuan, kita harus menggunakan ruang sampel bersyarat.
Total tim tiga orang dari sembilan adalah
$$\displaystyle C(9,3)=84$$
Tim yang seluruhnya laki-laki:
$$\displaystyle C(5,3)=10$$
Jadi tim yang mempunyai paling sedikit satu perempuan berjumlah
$$\displaystyle 84-10=74$$
Tim dengan tepat dua perempuan:
$$\displaystyle C(4,2)C(5,1)=6\cdot5=30$$
Maka peluang bersyaratnya
$$\displaystyle \frac{30}{74}=\frac{15}{37}$$
Jawaban: B.
Soal 48
Tiga dadu seimbang dilempar bersamaan. Peluang nilai maksimum dari ketiga mata dadu tepat sama dengan 4 adalah ….
A. \(\frac{19}{216}\)
B. \(\frac{27}{216}\)
C. \(\frac{37}{216}\)
D. \(\frac{45}{216}\)
E. \(\frac{64}{216}\)
Nilai maksimum tepat empat berarti semua dadu bernilai paling besar empat, tetapi tidak semuanya paling besar tiga.
Banyak hasil ketika semua mata dadu berada pada \(1,2,3,4\) adalah
$$\displaystyle 4^3=64$$
Banyak hasil ketika semua mata dadu hanya berada pada \(1,2,3\) adalah
$$\displaystyle 3^3=27$$
Maka hasil dengan maksimum tepat empat adalah
$$\displaystyle 64-27=37$$
Total hasil tiga dadu adalah
$$\displaystyle 6^3=216$$
Jadi,
$$\displaystyle P=\frac{37}{216}$$
Jawaban: C.
Soal 49
Lima bilangan berbeda dipilih secara acak dari \(1,2,\ldots,10\). Peluang tidak ada dua bilangan terpilih yang berurutan adalah ….
A. \(\frac1{84}\)
B. \(\frac1{42}\)
C. \(\frac1{21}\)
D. \(\frac1{14}\)
E. \(\frac17\)
Total cara memilih lima bilangan adalah
$$\displaystyle C(10,5)=252$$
Sekarang cari lima bilangan tanpa dua yang berurutan.
Jika bilangan terpilih ditulis
$$\displaystyle a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$$
dengan syarat
$$\displaystyle a_{i+1}\geq a_i+2$$
gunakan transformasi
$$\displaystyle b_i=a_i-(i-1)$$
Maka \(b_1,b_2,\ldots,b_5\) menjadi lima bilangan berbeda yang dipilih dari \(1,2,\ldots,6\).
Jadi banyak pilihan tanpa bilangan berurutan adalah
$$\displaystyle C(6,5)=6$$
Peluangnya
$$\displaystyle \frac6{252}=\frac1{42}$$
Jawaban: B.
Soal 50
Tiga dadu seimbang dilempar bersamaan. Diketahui jumlah ketiga mata dadu sama dengan 9. Peluang ketiga mata dadu semuanya berbeda adalah ….
A. \(\frac{12}{25}\)
B. \(\frac35\)
C. \(\frac{18}{25}\)
D. \(\frac45\)
E. \(\frac{21}{25}\)
Karena kita diberi syarat jumlahnya sembilan, ruang sampel bukan lagi seluruh 216 hasil.
Kita hanya menghitung pasangan terurut \((x,y,z)\) dengan
$$\displaystyle x+y+z=9$$
dan
$$\displaystyle 1\leq x,y,z\leq6$$
Tanpa batas atas enam, banyak solusi positif adalah
$$\displaystyle C(8,2)=28$$
Namun, terdapat tiga solusi yang memakai angka 7, yaitu permutasi dari \((7,1,1)\). Ketiganya tidak mungkin pada dadu.
Jadi ruang sampel bersyarat mempunyai
$$\displaystyle 28-3=25$$
hasil.
Sekarang cari hasil dengan tiga angka berbeda.
Tiga himpunan angka berbeda yang berjumlah sembilan adalah
$$\displaystyle \{1,2,6\},\quad\{1,3,5\},\quad\{2,3,4\}$$
Setiap himpunan terdiri dari tiga angka berbeda sehingga mempunyai
$$\displaystyle 3!=6$$
permutasi.
Total hasil yang memenuhi adalah
$$\displaystyle 3\cdot6=18$$
Maka peluang bersyaratnya
$$\displaystyle \frac{18}{25}$$
Jawaban: C.
Bagaimana Menentukan Strategi dari Kata Kunci Soal?
Kata “dan” biasanya mengarahkan kita pada irisan atau aturan perkalian.
Kata “atau” mengarahkan pada gabungan, tetapi tetap periksa apakah kedua kejadian memiliki irisan.
Kata “diketahui bahwa” merupakan sinyal kuat untuk peluang bersyarat.
Kata “tanpa pengembalian” berarti komposisi objek berubah, sehingga peluang tahap berikutnya biasanya ikut berubah.
Kata “setidaknya” sering cocok diselesaikan dengan komplemen.
Kata “dipilih” biasanya mengarah pada kombinasi jika urutan tidak penting.
Kata “disusun”, “jabatan”, atau “peringkat” sering mengarah pada permutasi.
Mengapa Soal Peluang Olimpiade Sering Terlihat Seperti Soal Kombinatorika?
Karena peluang klasik pada dasarnya membandingkan dua hasil pencacahan.
$$\displaystyle P(A)=\frac{\text{banyak hasil yang mendukung A}}{\text{banyak seluruh hasil}}$$
Jika ruang sampelnya besar, kemampuan menghitung kedua bagian tersebut menjadi inti masalah.
Itulah sebabnya permutasi, kombinasi, aturan blok, komplemen, dan simetri sangat sering muncul dalam soal peluang olimpiade.
Menggunakan Simetri
Simetri memungkinkan kita menghindari perhitungan panjang.
Pada soal nomor 45, tiga angka tertentu mempunyai enam urutan relatif yang sama mungkin.
Kita tidak perlu mengetahui posisi lima angka lainnya.
Pada soal nomor 46, setiap tiga digit berbeda memiliki enam susunan, dan tepat satu susunan meningkat.
Begitu simetri terlihat, ruang sampel yang tampak besar dapat mengecil drastis.
Menggunakan Komplemen secara Cerdas
Komplemen bukan sekadar rumus tambahan.
Ia merupakan perubahan sudut pandang.
Soal “paling sedikit dua dadu sama” memiliki banyak pola kejadian.
Namun, komplemennya hanya satu pola: semua berbeda.
Soal “paling sedikit satu objek tertentu terpilih” juga sering lebih mudah dihitung sebagai total dikurangi tidak ada satu pun yang terpilih.
Dalam olimpiade, kemampuan melihat komplemen sering lebih penting daripada kecepatan menghitung.
Memilih antara Cara Bertahap dan Kombinasi
Pada pengambilan tanpa pengembalian, ada dua jalur umum.
Cara pertama menggunakan probabilitas bertahap.
Cara kedua menggunakan kombinasi.
Misalnya dua bola merah dari 4 merah dan 6 biru.
Metode bertahap:
$$\displaystyle \frac4{10}\cdot\frac39=\frac2{15}$$
Metode kombinasi:
$$\displaystyle \frac{C(4,2)}{C(10,2)}=\frac2{15}$$
Pilih metode yang menghasilkan lebih sedikit kasus.
Untuk “tepat dua merah dari empat pengambilan”, kombinasi sering lebih nyaman.
Untuk urutan spesifik seperti “merah kemudian biru kemudian merah”, metode bertahap biasanya lebih alami.
Kesalahan Umum: Menganggap Semua Soal Memakai Permutasi
Jika sebuah tim terdiri dari A, B, C, maka tim tersebut sama dengan tim C, A, B.
Urutan penulisan tidak membuat kelompok baru.
Karena itu gunakan kombinasi.
Sebaliknya, susunan ketua A, wakil B berbeda dari ketua B, wakil A.
Di sana urutan peran penting.
Kesalahan Umum: Lupa Mengurangi Irisan
Pada
$$\displaystyle P(A\cup B)$$
jangan langsung menulis
$$\displaystyle P(A)+P(B)$$
kecuali A dan B benar-benar saling lepas.
Rumus umum tetap
$$\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
Kesalahan Umum: Saling Lepas Dianggap Saling Bebas
Dua kejadian saling lepas dengan peluang positif justru saling memengaruhi secara ekstrem.
Jika A sudah terjadi, B pasti tidak terjadi.
Jadi, informasi A mengubah peluang B menjadi nol.
Itu berlawanan dengan gagasan kebebasan.
Kesalahan Umum: Peluang Bersyarat Tetap Menggunakan Ruang Sampel Lama
Jika diketahui suatu syarat B telah terjadi, ruang kemungkinan harus dibatasi pada B.
Soal nomor 40 tidak lagi memakai 36 pasangan dadu sebagai penyebut setelah diketahui jumlahnya genap.
Ruang sampel bersyaratnya hanya 18 pasangan.
Demikian juga pada soal nomor 50. Setelah diketahui jumlah tiga dadu sama dengan sembilan, penyebutnya bukan 216, tetapi hanya hasil yang memenuhi jumlah sembilan.
Kesalahan Umum: Pengambilan Tanpa Pengembalian Dianggap Bebas
Jika satu objek tidak dikembalikan, komposisi populasi berubah.
Peluang tahap kedua biasanya bergantung pada hasil tahap pertama.
Dalam kantong berisi 5 merah dan 5 biru, peluang merah pertama adalah \(\frac12\).
Jika merah sudah terambil, peluang merah berikutnya menjadi \(\frac49\), bukan lagi \(\frac12\).
Kesalahan Umum: Frekuensi Harapan Dianggap Kepastian
Jika frekuensi harapan suatu kejadian adalah 100 dalam 360 percobaan, hasil nyata tidak harus tepat 100.
Frekuensi harapan merupakan nilai model.
Percobaan acak tetap dapat berfluktuasi.
Strategi Memeriksa Jawaban
Pertama, pastikan peluang berada di antara nol dan satu.
Kedua, lihat apakah hasil masuk akal secara ukuran.
Jika kejadian sangat ketat tetapi peluangmu hampir satu, periksa kembali.
Ketiga, cek apakah penyebut benar-benar mewakili ruang sampel yang digunakan.
Keempat, jika menggunakan kombinasi, pastikan pembilang dan penyebut menggunakan cara pandang yang sama terhadap urutan.
Kelima, pada peluang bersyarat, pastikan kondisi yang diketahui sudah diterapkan sebelum menghitung peluang.
Cek Pemahaman
Mengapa soal “paling sedikit satu” sering lebih mudah diselesaikan menggunakan komplemen?
Apa perbedaan mendasar antara kejadian saling lepas dan kejadian saling bebas?
Kapan kombinasi lebih efisien daripada menghitung peluang tahap demi tahap?
Mengapa ruang sampel dapat berubah ketika soal memberikan informasi “diketahui bahwa”?
Bagaimana cara mengenali bahwa sebuah soal olimpiade sebenarnya dapat dipersingkat menggunakan simetri?
Refleksi
Jika dua cara berbeda menghasilkan peluang yang sama, misalnya metode kombinasi dan metode bertahap, mengapa hal itu masuk akal?
Apakah dua kejadian yang mempunyai peluang sama harus saling bebas? Jelaskan alasanmu.
Jika pengambilan tanpa pengembalian diubah menjadi dengan pengembalian, bagian mana dari perhitungan yang berubah?
Dalam soal sulit, kapan menghitung komplemen dapat mengurangi banyaknya kasus secara drastis?
Kesimpulan
Peluang matematika menjadi jauh lebih mudah ketika kita melihat hubungan antarkonsep, bukan menghafal rumus secara terpisah.
Untuk ruang sampel dengan hasil yang sama mungkin, peluang kejadian A adalah
$$\displaystyle P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$$
Komplemen memenuhi
$$\displaystyle P(A^c)=1-P(A)$$
Gabungan dua kejadian memenuhi
$$\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
Jika kedua kejadian saling lepas, irisan bernilai nol.
Peluang bersyarat diberikan oleh
$$\displaystyle P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$
dan aturan perkalian dapat ditulis
$$\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$$
Jika A dan B saling bebas,
$$\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)$$
Frekuensi harapan untuk \(N\) percobaan adalah
$$\displaystyle F_h=N\cdot P(A)$$
Permutasi digunakan ketika urutan penting, sedangkan kombinasi digunakan ketika hanya pilihan anggota yang penting.
Pada level HOTS dan olimpiade, kekuatan utama bukan banyaknya rumus yang dihafal. Yang lebih penting adalah mengenali struktur.
Apakah lebih mudah menghitung komplemen?
Apakah terdapat simetri?
Apakah syarat soal mengubah ruang sampel?
Apakah urutan penting?
Apakah pengambilan berikutnya bergantung pada hasil sebelumnya?
Jika pertanyaan-pertanyaan itu menjadi kebiasaan, soal peluang yang panjang mulai terlihat seperti puzzle yang mempunyai pola.
Strategi akhirnya sederhana: tentukan ruang kemungkinan → pilih metode pencacahan → identifikasi hubungan kejadian → hitung peluang → periksa kewajaran hasil.
FAQ
Apa rumus dasar peluang matematika?
Jika seluruh hasil pada ruang sampel mempunyai peluang sama, maka \(P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}\), yaitu banyak hasil yang mendukung A dibagi banyak seluruh hasil.
Apa perbedaan permutasi dan kombinasi dalam soal peluang?
Permutasi digunakan jika urutan atau posisi membuat hasil berbeda. Kombinasi digunakan jika yang penting hanya objek mana yang terpilih tanpa memperhatikan urutan.
Apa perbedaan kejadian saling lepas dan saling bebas?
Kejadian saling lepas tidak dapat terjadi bersamaan sehingga \(P(A\cap B)=0\). Kejadian saling bebas dapat terjadi bersamaan, tetapi terjadinya satu kejadian tidak mengubah peluang kejadian lainnya.
Kapan menggunakan peluang bersyarat?
Peluang bersyarat digunakan ketika terdapat informasi bahwa suatu kejadian telah terjadi. Informasi itu membatasi ruang kemungkinan yang relevan. Rumusnya adalah \(P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\) untuk \(P(B)>0\).
Bagaimana cara menghadapi soal peluang HOTS dan olimpiade?
Jangan langsung menghitung. Periksa apakah terdapat komplemen yang lebih mudah, simetri, kombinasi atau permutasi, kasus yang dapat dikelompokkan, serta informasi bersyarat yang mengubah ruang sampel. Strategi yang tepat sering menghemat sebagian besar perhitungan.
Setelah memahami konsep dasar peluang, aturan pencacahan, serta berbagai jenis kejadian, sekarang saatnya menguji pemahaman melalui latihan soal. Kerjakan soal secara bertahap dan perhatikan setiap proses penyelesaiannya agar konsep peluang semakin kuat dan siap digunakan untuk menghadapi asesmen maupun ujian.
Tinggalkan komentar